Mecklenburg-Vorpommern Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel

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1 Abiturprüfung 016 Mecklenburg-Vorpommern Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel Zuerst nur die Prüfungsaufgaben, dann die sehr ausführlichen Musterlösungen und Hintergrundwissen zum Trainieren Datei Nr Stand 1. Juli 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel Vorwort Es wurden zwei Gruppen von Aufgaben gestellt A und B Teil A Teil B ist von allen Prüfungsteilenhmern zu bearbeiten. Aufgabe A0 ist ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk oder Taschenrechner zu bearbeiten. Bearbeitungsdauer 45 Minuten. Von den Aufgaben A1, A und A3 sind zwei auszuwählen ist für Prüfungsteilnehmen, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen (LK-Niveau) ablegen. Diese Schüler müssen die Pflichtaufgabe B0 ohne Hilfsmittel bearbeiten und zusätzlich aus den Aufgaben B1 und B eine auswählen. Dieser Aufgabensatz enthält Aufgaben, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind.

3 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 3 Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1-3 des Arbeitsblattes) Arbeitsblatt 1 Analysis BE Gegeben ist die Zahlenfolge (a k ) mit ak1 ak 4 und a 3 = 17, wobei k, k 0 gilt. 1.1 Berechnen Sie a Die Glieder von (a k ) können auch mit Hilfe der Gleichung a t k r t,r werden. Bestimmen Sie die Werte für t und r. k berechnet 3

4 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 4 Analysis BE Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f x x 1 und x. Ihr Graph ist G..1 Berechnen Sie die Stelle x, an der die Gerade mit der Gleichung Tangente an G ist. 13 y 3x eine 4. Die x-achse und G begrenzen eine Fläche vollständig. 3 Begründen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche kleiner als ist.

5 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 5 3 Analytische Geometrie BE Gegeben sind die Punkte A4 6, B6 3 8 und für jeden Wert von z ein Punkt C 1 z. 3.1 Bestimmen Sie z so, dass der Punkt C auf der Geraden AB liegt 3. Der Punkt A liegt in der Ebene x yz 0. 3 Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der einen Abstand 6 zu dieser Ebene besitzt.

6 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 6 4 Stochastik BE In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Zahlen 1,, 3 und 4 beschriftet sind. Zwei Kugeln werden mit einem Griff gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln an. 4.1 Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeiten der Werte von X nicht gleichverteilt sind. 4. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. 3

7 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 7 Aufgabe B0 (beinhaltet die Aufgaben 1-4 des Arbeitsblattes) Arbeitsblatt 1 Analysis BE Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion f Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für f x dx 3 Die Funktion F ist die in definierte Stammfunktion von f mit F Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der 1 Stelle x = an. 1.3 Zeigen Sie, dass Fb b f xdx mit b gilt. 3

8 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 8 Analysis BE a x ist die Funktion f a gegeben durch fa x a e Die Tangente an den Graphen von f a im Punkt 1 fa 1 wird mit t a bezeichnet. Für jeden Wert von a a,a 0 x..1 Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Tangente t a durch die Gleichung 3 y a e x a e a1 a1 beschrieben werden kann.. Für jeden Wert von a schließen die Tangenten t a und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a.

9 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 9 3 Analytische Geometrie BE Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFG. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D0 0, E 0 0, F 0, H Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punktes A an. 3. Der Punkt P liegt auf der Kante FB des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.

10 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 10 4 Stochastik BE Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: ZZ, WW, ZWZ, ZWW, WZZ, WZW, 4.1 Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. 4. Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. 3 Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

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12 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 1 Lösung: Aufgabe A0 Arbeitsblatt 1 Analysis BE Gegeben ist die Zahlenfolge (a k ) mit ak1 ak 4 und a 3 = 17, wobei k, k 0 gilt. 1.1 Berechnen Sie a 5. a4 a , a5 a Oder so: a5 a Die Glieder von (a k ) können auch mit Hilfe der Gleichung a t k r t,r werden. Bestimmen Sie die Werte für t und r. k berechnet 3 Zur Bestimmung von zwei Unbekannten t und r benötigt man zwei Gleichungen: (1) Für k = 3: a3 t3r 17 3t r () Für k = 4: a4 t4r 1 4t r Elimination von r durch () (1): 4 t In (1): 17 1 r r 5 Ergebnis: ak 4k 5

13 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 13 Analysis BE Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f x x 1 und x. Ihr Graph ist G..1 Berechnen Sie die Stelle x, an der die Gerade mit der Gleichung Tangente an G ist. 13 y 3x eine 4 Die Tangente hat die Steigung -3. Diese kann mit 3 f' x x 3 x f' x berechnet werden:. Die x-achse und G begrenzen eine Fläche vollständig. 3 Begründen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche kleiner als ist. 1. Begründung: Das Schaubild zeigt es Begründung: A x 1 dx x x Oder A x 1 dx x x 1 1 x Begründung: Die Parabel durchschneidet zwei Einheitsquadrate, also ist die Fläche kleiner als. y

14 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 14 3 Analytische Geometrie BE Gegeben sind die Punkte A4 6, B6 3 8 und für jeden Wert von z ein Punkt C 1 z. 3.1 Bestimmen Sie z so, dass der Punkt C auf der Geraden AB liegt 1. Lösung: Gleichung der geraden (AB): 4 x t t t 1 Punktprobe mit C: 1 t1 1 t t 1 z 6 z 6t z 4. Lösung: C liegt genau dann auf der Geraden (AB), wenn gilt: AC k AB d. h. k 1 k1 k 1 k 1 z 6 Damit folgt: z6 z 4 3. Der Punkt A liegt in der Ebene x yz 0. 3 Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der einen Abstand 6 zu dieser Ebene besitzt. Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet man mit Hilfe der Hesseschen xyz30 Normalform: 0 3 Setzt man einen Punkt ein, soll das Ergebnis 6 sein: xyz30 6 x y z Jetzt kann man zwei Koordinaten frei wählen, z.b. y = z = 0 x30 18 x 48 Ergebnis: P48 0 0

15 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 15 4 Stochastik BE In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Zahlen 1,, 3 und 4 beschriftet sind. Zwei Kugeln werden mit einem Griff gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln an. 4.1 Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeiten der Werte von X nicht gleichverteilt sind. Die Augensumme X = tritt auf mit der Wahrscheinlichkeit Die Augensumme X = 3 tritt doppelt auf, also bei 1+ und +1 mit der Wahrscheinlichkeit P X 3 P X Das Baumdiagramm war nicht verlangt. 4. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. 3 x P X x E X

16 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 16 Lösung: Aufgabe B0 Arbeitsblatt 1 Analysis BE Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion f. Hinweis (nicht verlangt): Die Funktion f hat diese Gleichung: (x,45)/ f x x e Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für Die Fläche hat näherungsweise die Form eines Trapezes. Flächeninhaltsformel: ATr m h Die Mittelparallele ist gestrichelt eingezeichnet und hat etwa die Länge 1,. Die Höhe h ist hier eine waagerechte Strecke mit h =. Damit erhält man,4 (FE) ATr f x dx 3 Die Funktion F ist die in definierte Stammfunktion von f mit F Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der 1 Stelle x = an. Wenn F die Stammunktion von f ist, dann gilt: F' x fx Daher folgt: F() f() 0,5 1.3 Zeigen Sie, dass Fb b 3 f x dx F b F 3 F b 0 b f xdx mit b gilt. 3

17 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 17 Analysis BE a x ist die Funktion f a gegeben durch fa x a e Die Tangente an den Graphen von f a im Punkt 1 fa 1 wird mit t a bezeichnet. Für jeden Wert von a a,a 0 x..1 Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Tangente t a durch die Gleichung 3 y a e x a e a1 a1 beschrieben werden kann. a 1 y-koordinate: fa 1 a e a x Ableitung: f a ' x a e a 1 Tangentensteigung: f a ' 1 a e Tangentengleichung: yfa1 f a' 1 x 1 a 1 a 1 d. h. y a e ae x 1 Daraus folgt y ae xa e a 1 a1. Für jeden Wert von a schließen die Tangenten t a und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a. Schnitt der Tangente t a mit der x-achse: a1 a1 a1 a1 y 0 0 a e x a e a e x a e x Schnitt der Tangente t a mit der y-achse: a1 a1 a1 a 1 x 0 y ae 0 ae a e B0 ae a 1 Damit hat die Grundseite die Länge und die Höhe a e. 1 1 a 1 a 1 Flächeninhalt des Dreiecks: A gh ae a e : A 0

18 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 18 3 Analytische Geometrie BE Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFG. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D0 0, E 0 0, F 0, H0 0 0 z y x 3.1 Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punktes A an. A 0 3. Der Punkt P liegt auf der Kante FB des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P. Die Gerade (BF) ist parallel zur z-achse und hat die Gleichung Also ist P r und daher Bedingung: OP 4 4 r r 0 x r0 0 1 OP 3 8 r 3 8 r 9 r 1 r 1. P liegt unterhalb von F, also kommt nur r = -1 in Frage. Ergebnis: P 1

19 75160 MV Abitur 016 Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel 19 4 Stochastik BE Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: ZZ, WW, ZWZ, ZWW, WZZ, WZW, 4.1 Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen Das Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit PZZ, aber P 4 ZWZ 8 4. Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. 3 Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Ergebnis ZZ WW ZWZ ZWW WZZ WZW p n Erwartungswert für die Anzahl n der Münzwürfe: En 3 41,5 4 8