M A. B a a a a. Aufgabe 1. Lösungsvorschlag 1 zu Aufgabe 1 G 2V A V. Lösungsvorschlag zur Klausur Mechanik I vom 27. März 2007 Seite 1 von 19

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Dennis Pohl
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1 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 Aufgbe A B C Berechnen ie für ds drgestellte ystem die Auflgerrektionen. Gegeben:, Gesucht: Auflgerrektionen Lösungsvorschlg zu Aufgbe unbeknnte Lgerrektionen Gelenkschnitte 3 Teilsysteme Teilsystem : A G H A H A V G V : A + G = () H H V : A G = () ( A ) y V : G = (3) Teilsystem : A V G H G V G H G V : G + G = (4) H H V G V = : G () : G = (6) ( G ) y Teilsystem 3: V

2 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 G H GV C B : G C = (7) H V + B= : G (8) : B C = (9) ( G ) y Durch Umformen ergibt sich: ( ): AV = () ( ): G V = () ( 6 ): G V = () () in (3): A = () in (8): B = (3) (3) in (9): C = (4) (4) in (7): GH = () () in (4): GH = (6) (6) in (): AH = A A B C H V A

3 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 3 von 9 Lösungsvorschlg zu Aufgbe A B C umme der omente um G, LT: A+ AV = (.) umme der omente um G, LT: A+ AV + = (.) Aus (.) und (.) Elimintion von A : AV = (.3) Einsetzen in (.) A = (.4) G: : AV + B= B= (.) umme der omente um G, RT: + B C = C = B = (.6) G: AH C = AH = (.7)

4 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 4 von 9 Aufgbe F Berechnen ie sämtliche tbkräfte in diesem Fchwerk. Gegeben: F, Gesucht: tbkräfte A F B Lösungsvorschlg Aufgbe III 4 VI F 3 II V VIII AH I 9 IV 3 VII 4 IX A V F B : A + F = A = F () H H : AV + B F = () A: F F 3+ B = B = 7F (3) 7 B = F (4) (4) in ():

5 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 7 AV = F + F AV = F Bestimmung des Winkels α: α sinα = cosα = Offensichtliche Nullstäbe: =, = (*) 4 Ferner. = F, 8 = F, 9 = F (**) Knotenpunktverfhren: II: 3 : = : = ( ) ( 6) 8 6 IV: : = : = ( 7) ( 8) 3

6 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 6 von 9 V: : + = : = 7 ( 9) ( ) 7 VI: 4 F α 3 : F + cosα = F + = : 3 sinα = ( ) 3 = ( ) VII: 3 4 : + = 3 4 ( 3) F VIII: α : cosα + cosα = + = : + sinα sinα = ( 4) + = ( )

7 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 7 von 9 IX: 4 α B = 7 F : cosα = 4 4 = 7 : F + sinα = 7 F + = 7 = F ( 6) ( 7) (7) in (6): (8) in (3): 4 4 = = F 4 = F F ( 8) ( 9) (**) und (9) in (): 7 = F F 7 = F F = F = F ( ) () und (7) in (4). 7 = F F 4 4 = F F () und (*) in (): ( ) = F

8 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 8 von = F F = F F = F = F () und () in (): 6 = F + F = F + F 4 = F ( ) ( ) () in (): 7 4 = F ( 3) () in (9): ( ) = F 4 (4) und () in (): 6 = F F = F F 6 8 = F ( ) F F F F F F F F F F F F F

9 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 9 von 9 Aufgbe 3 4 y m x m m m Gegeben:, m, m =, m = (sse je Länge für mssebehftete Linien) Gesucht: chwerpunktkoordinten x, y für ds eingezeichnete x-y -Koordintensystem s s m Der Boxer Krl-Gustv Glskinn ht einen hrten chlg gegen sein Kinn bekommen, so dss er schwnkt. ein Körper besteht us einer Rumpffläche mit der sse, einer Kopffläche mit der sse m = m und mssebehfteten Linien für die Arme und die Beine. Diese mssebehfteten Linien hben eine sse je Länge von m= m ( ). Berechnen ie für ds eingezeichnete x-y -Koordintensystem die chwerpunktkoordinten von Krl-Gustv Glskinn.

10 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 Lösungsvorschlg zur Aufgbe 3 m y m x 4 m m Geg.:, m, m =, sse je Länge für mssebehftete Linien: m = Ges.: x, y für d eingezeichnete x-y-koordintensystem trt: Aufteilung von Gustv Glskinns Körper wie oben eingezeichnet in Teilkörper m sse eines Linienelementes: Länge des Linienelementes * i x i [] y i [] l i [] m i bzw. mi= l i m [m ] Gesmtmsse: 8 + m = m llgemeine Lösung: x 8 i i= - s = 8 si i= 8 i= x m m i i, dito für y s

11 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 Tbellenwerte eingesetzt: m x s = = = = ( + m ) und m y s = = = = ( + m )

12 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 Aufgbe 4 q A F F Bestimmen ie die Verläufe von Normlkrft, Querkrft und oment im drgestellten ystem. F Gegeben:, F, q = Gesucht: chnittgrößenverläufe (-, N- und Q-Linie) Lösungsvorschlg zur Aufgbe 4. FKB, Festlegung der chnitte

13 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 3 von 9. Bestimmung der Lgerrektionen : AH + q + F = AH = 4F : A = F V ( A) y : q + F F A = A = F 3. chnitt I, negtives chnittufer : N = : Q = ( x) y = : = 4. chnitt II, negtives chnittufer : N = : Q= F ( x) x y = : = F

14 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 4 von 9. chnitt III, positives chnittufer : Q=+ F : N = ( x) = : =+ xf y 6. chnitt IV, negtives chnittufer : N = F : Q= F ( x) x y = : = 4 F

15 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite von 9 7. chnitt V, positives chnittufer x x : Q= 4F+ x q = 4 F : N = F 3 ( x) 8 x 8 x x y = : = F x 4F+ x q x = F N-, Q- und -Linie

16 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 6 von 9

17 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 7 von 9 Aufgbe reibungsfreie Prllelführung g m µ α=4 reibungsfreie Umlenkrolle m m 3 µ α=4 Die oben drgestellte Konstruktion besteht us einem Keil der sse, der mit seiner Unterseite uf einem ngeschrägten Block ufliegt. An der Oberseite des Keils befindet sich eine zweite sse m, die uf den Keil drückt. Die sse m ist durch eine reibungsfreie senkrechte Prllelführung geführt. Die Kontktflächen des Keils seien ru (Hftungskoeffizient µ ). Die dritte sse m 3 ist durch ein eil mit dem Keil verbunden. Ds eil wird über eine reibungsfrei gelgerte Umlenkrolle umgelenkt. Wie groß muss die sse m 3 mindestens, wie groß drf sie höchstens sein, dmit der Keil nicht rutscht? Geg.:,,, µ, Keilwinkel α = 4 g m m Ges.: m und m so, dss der Keil gerde nicht rutscht. 3,mx 3,min m Lösungsvorschlg zur Aufgbe T I T II T III F reibungsfreie Prllelführung m g H N m g µ 4 m 3 g F Y H N N H µ 4 X

18 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 8 von 9. Annhme einer Bewegung des Keils in negtive X-Richtung (Keil bewegt sich nch links) Im Teilsystem I (T I) Kräftegleichgewicht in Y-Richtung: F Y = = F m g 3i und drus folgt: F 3 = m i g () Aufgrund der reibungsfreien eilumlenkung ist die eilkrft im gesmten eil konstnt! Im T II Kräftegleichgewicht in Y-Richtung: FY = = Ni Hi m ig und mit der Gleichung (3) für die Grenzhftung H = µ i N (3) folgt: () F N N m g N µ m i g (4) Y = = i µ i i i = i ( ) ufgelöst nch N ergibt sich: N = m i ig ( ) i µ () Im T III Kräftegleichgewicht in Y-Richtung: FY = = Ni + Hi mig+ Ni Hi und mit den Gleichungen (3) und () folgt: (6) m i ig m i ig FY = = i + µ i i mig+ Ni Hi i und vereinfcht ( µ ) i( µ ) m ig F = = i( µ ) m ig+ N i H i = ( m + m ) ig+ N i Hi (7) Y µ Im T III Kräftegleichgewicht in X-Richtung: FX = = F + Ni + Hi + Ni + Hi und mit den Gleichungen (), (3) und () folgt: (8) m i ig m i ig FX = = m3ig+ i + µ i i + Ni + Hi i und vereinfcht ( µ ) i( µ )

19 Lösungsvorschlg zur Klusur echnik I vom 7. ärz 7 eite 9 von 9 m ig F = = m ig+ i + + N i + H i ( µ ) X 3 µ (9) und mit der Gleichung () für die Grenzhftung H = µ i N () folgen us (7) und (9): FY = = ( m+ m) ig+ Ni i ( µ ) () und m ig F = = m ig+ i( + µ ) + N i i ( + µ ) () X 3 µ Gleichung () nch N ufgelöst liefert: N = g i i ( ) ( i µ m + m ) (3) Ds Ergebnis von Gleichung (3) in Gleichung () eingesetzt und nch m3 ufgelöst ergibt: m + µ m = i + µ + i m + m i i + µ = i m + i (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ 3 µ i µ Diese Lösung für m 3 ist die größtmögliche sse die n dem eil hängen drf!. Annhme einer Bewegung des Keils in positive X-Richtung (Keil bewegt sich nch rechts) Für den nderen Fll, ds der Keil sich in positive X-Richtung bewegt, ist für die Berechnung der sse m 3 ein erneutes Aufstellen obiger Gleichungen nicht notwendig! Die Lösung für diesen Teil lässt sich uf einfche Art und Weise us der Lösung us Gleichung (4) berechnen. Vorgehensweise: Reibungskoeffizienten µ in Gleichung (4) mit einem negtiven Vorzeichen versehen. Dieser Wert für die sse m 3 ist dnn der inimlwert, der nicht unterschritten werden drf! Dmit ergibt sich der Bereich, in dem sich die sse m3 bewegen drf, zu µ + µ i( m+ im) m3 i( m+ i m) + µ µ m ) ()

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