Der Differenzenquotient

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1 Der Differenzenquotient Von den linearen Funktionen kennen wir den Begriff des Differenzenquotienten k = y 2 y 1 x 2 x 1 mit dem die Steigung einer Geraden festgelegt wird. Der Begriff des Differentialkoeffizienten wird nun für beliebige reelle Funktionen verallgemeinert Definition: Sei Zahl f : A R eine reelle Funktion und [a ; b] A. Dann heißt die reelle f b f a der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a ; b]. Betrachten wir einen Luftballon, der aufgeblasen wird. Sein Volumen hängt mit dem Radius über die folgende Beziehung zusammen: V r = 4 3 r 3 Wir berechnen z.b. das Volumen für die Radien r = 5, r = 6 und r = 7 : V 5 = = 523,6 V 6 = = 904,8 V 7 = = 1436,8 Wir betrachten nun die Änderungsraten des Volumens, wenn sich der Radius von r = 5 cm auf r = 6 cm und anschließend auf r = 7 cm ändert. V 6 V 5 = 381,2 V 7 V 6 = 532 Es ist leicht zu erkennen, dass sich das Volumen bei einer Änderung des Radius nicht einen konstanten Betrag ändert. Die Änderung wächst mit steigendem Radius. Der Differenzenquotient kann nun als mittlere Änderungsrate im Intervall [5; 7] betrachtet werden:

2 V 7 V ,8 523,6 = 7 5 = 913,2 2 = 456,6 = = Ändert sich der Radius des Ballons von 5 auf 7 cm, ändert sich das Volumen im Durchschnitt um 456,6 cm³ je cm. Vorzeichen des Differenzenquotienten Ist [a ; b] ein Intervall, dann gilt 0 und es folgt: 0 0 f a f b 0 0 f a f b = 0 = 0 f a = f b Definition: Sei f : A R eine reelle Funktion und [a ; b] A. Ist der Differentialkoeffizient von f in [a ; b] positiv, so sagt man, f steigt insgesamt (im Mittel) in [a ; b] negativ, so sagt man, f Fällt insgesamt (im Mittel) in [a ; b] gleich 0, so bedeutet dies, dass f an den Stellen a und b den selben Wert annimmt. Deutung des Differentialkoeffizienten: f b f a Der Differenzenquotient kann als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in einem Intervall [a ; b] verstanden

3 werden. Der Differentialkoeffizient f b f a kann aber auch als mittlere Änderung der Funktionswerte je Argumenteinheit interpretiert werden. Eine weitere Möglichkeit, den Differentialkoeffizienten zu interpretieren ergibt sich folgender Überlegung: = k = k Der Differentialkoeffizient ist also jene Konstante, mit der die Änderung der Argumente multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte in einem Intervall [a ; b] zu erhalten. Verhältnisdeutung: Einheitsdeutung: Faktordeutung: f b f a ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a ; b]. ist gleich der mittleren Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a ; b]. f b f a ist gleich dem Faktor, mit dem die Änderung der Argumente in [a ; b] multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte in [a ; b] zu erhalten. Differentialkoeffizient als Steigung der Sekantenfunktion Wir berechnen die Steigung der der Sekante durch die Punkte a f a und b f b : k = y 2 y 1 x 2 x 1 = Die Steigung der Sekante durch die Punkte a f a und b f b entspricht also der mittleren Änderungsrate der Funktionswerte. Es gilt der Satz:

4 Satz: Der Differentialkoeffizient (die mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f mit f x = k x d ist in jedem Intervall [a ; b] gleich der Steigung k. Der Differentialkoeffizient Definition: Sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert f ' x = lim z x f z f x z x heißt der Differentialkoeffizient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. Deutungen des Differentialkoeffizienten Der Differentialkoeffizient f ' x (die Änderungsrate) von f an der Stelle x ist ungefähr gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in der Nähe von x, der mittleren Änderung von f pro Argumenteinheit in der Nähe von x, dem Faktor, mit dem die Änderung der Argumente in der Nähe von x multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte zu erhalten. Der Differentialkoeffizient f ' x gibt näherungsweise an, wievielmal stärker die Funktionswerte in der Nähe von x wachsen bzw. fallen als die Argumente wachsen.

5 Differentialkoeffizient als Steigung Satz: Der Differentialkoeffizient einer linearen Funktion f mit f x = k x d ist an jeder Stelle x gleich der Steigung k. Definition: Es sei f eine reelle Funktion und f ' x ihr Differentialkoeffizient an der Stelle x. Die Gerade durch den Punkt X = x f x mit der Steigung f ' x bezeichnet man als Tangente an den Graphen f im Punkt X. Die Steigung f ' x dieser Tangente heißt Steigung der Funktion f an der Stelle X. Satz: Ist das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle x, so gilt: f ' x = tan Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Satz: 1. Ableitung einer konstanten Funktion: f x = c f ' x = 0 2. Potenzregel für natürliche Exponenten: f x = x n n x n 1, n N 3. Ableitung der identischen Funktion: f x = x f ' x = 1 4. Regel vom konstanten Faktor:: f x = c g x f ' x = c g ' x 5. Summenregel: f x = g x h x f ' x = f ' x g ' x 6. allgemeine Summenregel: f x = f 1 x f 2 x f n x f ' x = f 1 ' x f 2 ' x f n ' x Höhere Ableitungen Definition: Es sei f eine reelle Funktion. Man bezeichnet 1. die Funktion f ' als erste Ableitung von f 2. die Funktion f ' ' = f ' ' als zweite Ableitung von f 3. die Funktion f ' ' ' = f ' ' ' als dritte Ableitung von f

6 Untersuchung von Polynomfunktionen Monotonie und Extremstellen von Funktionen Monotonie Definition: Es sei f : A R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt 1. Monoton steigend in M, wenn für all x 1, x 2 M gilt: x 1 x 2 f x 1 f x 2 2. streng monoton fallend in M, wenn für all x 1, x 2 M gilt: x 1 x 2 f x 1 f x 2 Die Funktion f heißt (streng) monoton in M, wenn sie (streng) monoton steigend in M oder (streng) monoton fallend in M ist. Globale Extremstellen Definition: Es sei f : A R eine reelle Funktion und M A. Eine Stelle p M heißt 1. Maximumstelle von f in M, wenn f x f p für alle x M,

7 2. Minimumstelle von f in M, wenn f x f p für alle x M. Eine Stelle p M heißt Extremstelle von f in M, wenn sie eine Maximumstelle oder eine Minimumstelle von f in M ist. Eine Extremstelle von f in der Definitionsmenge oder kurz Extremstelle von f. A heißt globale Extremstelle von f Lokale Extremstellen Definition: Unter einer Umgebung U p verstehen wir ein beliebiges (offenes, abgeschlossenes oder halboffenes) Intervall, das p als innere Stelle enthält (d.h. p ist nicht Randstelle des Intervalls). Lokale Extremstellen werden nun wie folgt definiert: Definition: Es sei f : A R eine reelle Funktion. Eine Stelle p A heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U p gibt, sodass p Maximumstelle von f in U p ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U p gibt, sodass p Minimumstelle von f in U p ist.

8 Zusammenhang zwischen Monotonie und lokalen Extremstellen: Satz1: (Monotoniebedingung für lokale Extremstellen): es sei f : A R eine reelle Funktion und seien a, p, b A mit a p b. 1. Ist f in [a; p] monoton steigend und in [ p ; b] monoton fallend, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. 2. Ist f in [a; p] monoton fallend und in [ p ; b] monoton steigend, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Satz2: (Ausschluss von lokalen Extremstellen): es sei f : A R eine reelle Funktion und seien a, p, b A mit a p b. 1. Ist f in [a; p] und in [p; b] streng monoton steigend, dann ist p keine lokale Maximumstelle von f. 2. Ist f in [a; p] und in [ p; b] monoton fallend, dann ist p keine lokale Minimumstelle von f. Zusammenfassend kann man sagen: Ändert eine Funktion f an der Stelle p ihr Monotonieverhalten, so ist p eine lokale Extremstelle von f. Besitzt f zu beiden Seiten von p dasselbe strenge Monotonieverhalten, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. Untersuchung von Polynomfunktionen mit Hilfe der Ableitung Satz: (Monotoniesatz): es sei f : A R eine Polynomfunktion und I A ein Intervall, dann gilt: 1. Ist f ' x 0 für alle inneren Stellen von x I, dann ist f x streng monoton steigend in I. 2. Ist f ' x 0 für alle inneren Stellen von x I, dann ist f x streng monoton fallend in I. Für lokale Extremstellen gilt die folgende, notwendige Bedingung: Satz: ist p eine lokale Extremstelle einer Polynomfunktion f, dann ist f ' p = 0

9 ist f ' ' p 0, ist ist f ' ' p 0, ist p ein lokales Maximum, p ein lokales Minimum, Zwischen zwei lokalen Extremstellen hat eine Polynomfunktion ein einheitliches Monotonieverhalten. Es gilt der Satz: Satz: ist f : A R eine Polynomfunktion und I A ein Intervall, dann gilt: Besitzt f ' x keine Nullstellen im Inneren von A, dann ist f streng monoton in I. Krümmung Definition: Es sei f : A R eine reelle Funktion, f ' : A R ihre Ableitung und I A ein Intervall/ Die Funktion f heißt linksgekrümmt in I, wenn f ' streng monoton steigend in I ist, rechtsgekrümmt in I, wenn f ' streng monoton fallend in I ist, einheitlich gekrümmt in I, wenn f entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Die Krümmung einer Funktion kann mit dem folgenden Satz bestimmt werden: Satz (Krümmungssatz): ist f : A R eine Polynomfunktion und I A ein Intervall, dann gilt: 1. ist f ' ' x 0 für alle inneren Stellen x I, dann ist f linksgekrümmt in I. 2. ist f ' ' x 0 für alle inneren Stellen x I, dann ist f rechtsgekrümmt in I. Für Polynomfunktion gilt, analog zum Satz vom einheitlichen Monotonieverhalten, der Satz vom einheitlichen Krümmungsverhalten: Satz: ist f : A R eine Polynomfunktion und I A ein Intervall, dann gilt: Besitzt f ' ' x keine Nullstellen im Inneren von I, dann ist f in I einheitlich gekrümmt. Wendestellen Definition: Es sei f : A R eine reelle Funktion. Eine Stelle p A heißt

10 Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt p f p heißt Wendepunkt des Graphen von f, die Tangente an den Graphen in diesem Punkt heißt Wendetangente. Notwendige Bedingung für Wendestellen: Satz: ist p eine Wendestelle einer Polynomfunktion f, dann ist f ' ' p = 0. Hinreichende Bedingung für Wendestellen: Satz: ist f : A R eine Polynomfunktion, I A ein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: ist f ' ' p = 0 und f ' ' ' p 0, dann ist p eine Wendestelle von f. Quotienten- und Produktregel Satz (Quotientenregel): f x = u x g x f ' x = v x u ' x v ' x u x v x 2 Satz (Produktregel): f x = u x g x f ' x = v x u' x v' x u x Ableitungsregeln f(x) f'(x) f x = x n f ' x = n x n 1 x R {0} f x = x f ' x = 1 f x = x f ' x = 1 2 x f x = sin x f x = cos x f ' x = cos x f ' x = sin x

11 f x = tan x f ' x = 1 cos 2 x = 1 tan2 x f x = e x f x = a x f ' x = e x f ' x = a x ln a f x = ln x f ' x = 1 x a f x = log x f ' x = Quotientenregel: f x = u x g x f ' x = 1 x ln a v x u' x v ' x u x v x 2 Produktregel: f x = u x g x f ' x = v x u' x v' x u x Kettenregel: f x = u g x = u v x f ' x = u' v x v' x Wurzelregel: f x = g x f ' x = g ' x 2 g x