Wellen und Dipolstrahlung

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1 Wellen und Dipolstrahlung Florian Hrubesch. März 00 Inhaltsverzeichnis Wellen. Wellen im Vakuum Lösung der Wellengleichung Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor Wellen in Nichtleitern Superpositionsprinzip und Fourieranalyse Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten Wellen Die allgemeinen Maxwellgleichungen lauten: D = ρ B = 0 ) E = B. Wellen im Vakuum.. Lösung der Wellengleichung H = D + ) Im Vakuum ist ρ = 0 und = 0, und außerdem gibt es keine induzierten Dipolmomente also wird: D = ɛ 0 E + P = ɛ0 E H = µ 0 B M = µ 0 B 3)

2 Die Maxwellgleichungen reduzieren sich also zu: E = 0 B = 0 4) E = B B = µ 0 ɛ 0 E Wendet man auf die Gleichungen 5 die Rotation an, so erhält man durch geschickte Verwendung der übrigen Maxwellgleichungen die Wellengleichung fürs Vakuum: E µ0 ɛ 0 E = 0 B µ0 ɛ 0 B = 0 6) wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Phasengeschwindigkeit der Welle) c 0 = µ0 ɛ 0 ist. Lösungen davon sind u.a. Kugelwellen oder ebene Wellen. Wir beschränken uns auf ebene Wellen. Die Lösung ist dann Ez, t) = E 0 e ikz ωt) Bz, t) = B0 e ikz ωt) 7) für eine Ebene Welle mit dem Wellenvektor k = k e z Ausbreitungsrichtung) und der Amplitude E 0. Setzt man die Lösung der Ebenen Wellen in die Wellengleichung ein, so erhält man noch die folgende Dispersionsrelation: 5) k = ω c 0 8) Der physikalisch sinnvolle Wert ist der Realteil der komplexen Felder. Die Behandlung als komplexe Zahl ist aber vom Rechnen her schöner. Man darf bloß am Ende nicht vergessen, wieder den Realteil zu nehmen. Aufgrund von E = 0 muss die z-komponente der Amplitude verschwinden analog für B 0 ). Es gibt also keine longitudinalen Elektromagnetischen Wellen. Die Amplituden E 0 und B 0 sind ebenfalls über die Maxwellgleichungen verknüpft und es gilt: B 0 = k w e z E 0 ) = c 0 e z E 0 ) 9) D.h. das elektrische und das magnetische Feld stehen in Wellen im Vakuum senkrecht aufeinander. Abgesehen davon kann man in der Ebene senkrecht zum Wellenvektor die Richtung des E oder B Feldes noch beliebig wählen. Wir legen das E-Feld fest, B ist damit automatisch festgelegt. Man unterscheidet drei verschiedene Arten der Polarisation:. Lineare Polarisation: E0x E 0y ) = e iα ηx η y ) η x, η y R 0) Florian Hrubesch

3 . Zirkulare Polarisation: E0x E 0y ) = E 0 e iα ) ±i ) Je nachdem ob der Vektor in Ausbreitungsrichtung rechts oder links herum Kreist ist die Welle rechts-, bzw links-zirkular Polarisiert. 3. Elliptische Polarisation: Allgemeinster Fall. E 0x und E 0y sind komplexe Zahlen, haben keinen gemeinsamen imaginären Faktor, den man ausklammern könnte und sind vom Betrag her nicht gleich... Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor Elektromagnetische Wellen transportieren Energie von A nach B. Die Energieflussdichte Energie pro Zeit pro Fläche) ist durch den Poynting Vektor gegeben: S = µ 0 E B) ) = c 0 ɛ 0 E 0 cos kz ωt) e z 3) Achtung: Hier muss der Realteil der Wellen eingesetzt werden! Die Impulsdichte lässt sich ebenfalls über den Poynting Vektor darstellen: P = c 0 S = ɛ0 E B) 4) = ɛ 0 E0 cos kz ωt) e z 5) c 0 In der Regel ist man nur an dem zeitlichen Mittel der Energieflussdichte oder des Impulses interessiert. Man integriert also über mindestens eine Periode T = π. Dabei wird der ω cos zu und die gemittelte Energieflussdichte und Impulsdichte ergeben: S = c 0ɛ 0 E0 e z 6) P = ɛ 0 E0 e z 7) c 0 Die Intensität einer Welle ist Definiert als der Betrag des zeitlich gemittelten Poynting Vektors: I = S = c 0ɛ 0 E0 8) Der Strahlungsdruck einer Elektromagnetischen Welle auf eine Fläche berechnet sich wie folgt: p = P Ac 0 t 9) P = A p t = I c 0 0) Florian Hrubesch 3

4 . Wellen in Nichtleitern Ausgehend von Bereichen, in denen keine freien Ladungen ρ f = 0 und keine freien Ströme f = 0 existieren, erhalten wir die Maxwellgleichungen: D = 0 H = 0 ) E = B H = D Für anisotrope Medien ist ɛ ɛ i ein Tensor, der einfacheren Betrachtung wegen, beschränken wir uns auf isotrope lineare Medien, also gilt: Und wir erhalten: ) D = ɛ E H = µ B 3) 4) E = 0 B = 0 5) E = B B = µɛ E Gegenüber dem Vakuum muss also lediglich µ 0, ɛ 0 durch µ, ɛ ausgetauscht werden. Hier können wir noch die Näherung µ µ 0 anwenden, da die meisten optischen Medien nichtmagnetisch sind. D.h. die Phasengeschwindigkeit im Medium beträgt: 6) c = = c 0 7) ɛµ n ɛµ mit: n = = µ r ɛ r µ r ɛ r 8) ɛ 0 µ 0 Der Poynting Vektor und alle anderen Ergebnisse für Wellen im Vakuum können dann dadurch übernommen werden, dass man überall ɛ 0 = ɛ, µ 0 = µ setzt. Die Phasengeschwindigkeit c 0 muss dann natürlich auch durch die Phasengeschwindigkeit c im Medium ersetzt werden..3 Superpositionsprinzip und Fourieranalyse Wenn E und E die Wellengleichung löst, so löst auch E ges = E + E die Wellengleichung. Das macht es möglich Wellenpakete aus vielen unterschiedlichen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen ω zu konstruieren. Der zeitliche Verlauf ist dabei durch die Fourier-Transformation der Amplituden in Abhängigkeit der Kreisfrequenz gegeben: E t) = π E ω) e iωt dω 9) Florian Hrubesch 4

5 Und rückwärts: E ω) = π E t) e iωt dt 30) um also die zeitliche Entwicklung einer Welle mit einer Amplitudenverteilung E ω) zu erhalten wendet man die Fouriertransformation an: E z, t) = π dω E ω) e ikω)z ωt) 3) Dabei verhält sich k ω) entsprechend der Dispersionsrelation aus 8. Im Vakuum ist das einfach eine lineare Abhängigkeit, in Material hängt die Dispersionsrelation noch vom Brechungsindex ab: k = ω c = ωn c 0 3) Der Brechungsindex selber kann dann auch wieder Frequenzabhängig sein. Siehe.4) Wir wollen ein Wellenpaket betrachten, dessen Frequenzspektrum nur in direkter Umgebung einer Mittenfrequenz ungleich Null ist. Wir können die Wellenzahl nun Taylor-entwickeln ω = + Ω mit Ω << : ) dk k ω) = k ) + Ω + ) d k ) dω dω Setzt man dies in 3 ein so erhält man: E z, t) = π e ik 0z t) = k 0 + Ωk ) + Ω k ) 34) dω E + Ω) e iωk )+ Ω k )+...)z Ωt) 35) = π e ik 0z t) A z, t) 36) Damit haben wir das Wellenpaket in eine Welle mit der Phasengeschwindigkeit v ph = k 0 = c und eine sich langsam ändernde Einhüllende aufgetrennt. n Für die Ableitung der Gruppengeschwindigkeit müssen wir etzt die Ausbreitung der Einhüllenden betrachten. Wir wollen dabei nur den konstanten und den linearen Term der Taylorentwicklung betrachten: A z, t) = dω E + Ω) e iωk )+ Ω k )+...)z Ωt) 37) dω E + Ω) e iωk )z t) Die Bewegung der Einhüllenden ist dann durch die Bedingung ) dk t z = const 39) dω 38) Florian Hrubesch 5

6 Und wir erhalten die Gruppengeschwindigkeit zu ) dω v gr = 40) dk Beziehungsweise anders dargestellt ω = v ph k): ) dω v gr = = v ph dk dk dk + k dv ph dk = c 0 n kc 0 dn n dk = c 0 n + λc 0 dn n dλ = c 0 n + λ ) dn n dλ Die vernachlässigten Terme von k, bewirken eine Änderung der Einhüllenden mit der Zeit. I.d.R. eine Verbreiterung) Die Gruppengeschwindigkeit ist nicht die Signalgeschwindigkeit, sie kann u.u. sogar die Lichtgeschwindigkeit überschreiten. Die Signalgeschwindigkeit hängt von der Frontgeschwindigkeit ab: v F R = lim k ω k) k = lim ω = ω k ω) =.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten 4) 4) lim v P H 43) k, ω Ein einfaches Modell um die Frequenzabhängigkeit der Permittivität herzuleiten, ist sich die Elektronen mit einer Feder an die Moleküle gebunden vorzustellen. Man erhält dann einen gedämpften, getriebenen Oszillator, der durch das einfallende Licht angeregt wird: d x dt + γ dx dt + x = q m E 0e iωt 44) Um auf die Permittivität zu kommen löst man diese Differentialgleichung im eingeschwungenen Zustand und konstruiert sich mit der Lösung die induzierten Dipolmomente: pt) = qxt) = q /m ω 0 ω iγω E 0e iωt 45) Dies erweitert man auf alle Elektronen in dem besagten Molekül und Teilchendichte N der Moleküle im Volumen. ) P = Nq f m ω E 46) ω iγ ω Dabei ist f die Anzahl der Elektronen mit Eigenfrequenz ω in einem Molekül. Die komplexe Permittivität erhält man über die Annahme, dass P proportional zu E ist. P = ɛ 0 χ e E 47) Florian Hrubesch 6

7 und daraus die komplexe Dielektrizitätskonstante: ɛ r = + Nq f mɛ 0 ω ω iγ ω 48) Normalerweise ist der Imaginäre Anteil vernachlässigbar, aber wenn man nahe genug an die Resonanzfrequenzen kommt wird er wichtig, denn er führt zu einer komplexen Wellenzahl k = k + iκ und damit zu einer Dämpfung der Elektromagnetischen Welle. E z, t) = E 0 e i kz ωt) = E0 e κz e ikz ωt) 49) Der Absorptionskoeffizient ist definiert als α = κ. Die Phasengeschwindigkeit und der Brechungsindex hängen dabei nur vom Realteil ab: c = ω k n = ck ω 50) In Gasen ist der zweite Term in Gleichung 48 sehr klein und man kann die Wellenzahl genähert berechnen: ) k = ω ɛr ω + Nq f c 0 c 0 mɛ 0 ω 5) ω iγ ω Und damit den Brechungsindex und die Eindringtiefe: n = c 0k ω + Nq f ω ω ) mɛ 0 ω ω ) 5) + γ ω α = κ Nq ω f γ mɛ 0 c 0 ω ω ) 53) + γ ω n α ω Florian Hrubesch 7

8 Für ω < ω < ω mit den Extrema ω, ω gilt: dn dω < 0 54) Dieses Phänomen nennt man anomale Dispersion im Gegensatz zur normalen Dispersion, die für alle transparenten Medien typisch ist. Für Frequenzen die weit von den Resonanzfrequenzen entfernt liegen, kann man den Term mit der Dämpfung vernachlässigen und die Formel für den Brechungsindex wird zu: n = + Nq f mɛ 0 ω 55) ω Dispersion in Metallen In Metallen kann man die Resonanzfrequenz ω auf Null setzen, da hier praktisch keine Rückstellkräfte existieren. Wir erhalten also: ɛ r = Nq mɛ 0 ω + iγω 56) Kaum Energie- Mit der Plasmafrequenz ωp = Nq und der Näherung ω >> ɛ 0 m τ verluste durch Streuung) erhält man: Nun gilt: ɛ r = ω p ω 57) ω > ω p : n reell ω < ω p : n imaginär Starke Absorption Da für sichtbares Licht gilt ω << ω p wird Licht in Metallen sehr stark absorbiert. Florian Hrubesch 8