Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 2 Elektrizitätslehre. Protokollant: Harald Meixner, Sven Köppel
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- Hertha Geier
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1 Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 2 Elektrizitätslehre Protokoll Versuch 9 & 10 Kondensator und Spule im Wechselstromkreis Resonanzkreise (manuell und rechnergesteuert) Harald Meixner Sven Köppel Matr.-Nr Matr.-Nr Physik Bachelor 2. Semester Physik Bachelor 2. Semester Versuchsdurchführung: Donnerstag, 25. Juni 2009, 14:00-18:00 Abgabe des Protokolls: Donnerstag, 09. Juli 2009 Assistent/Tutor: Protokollant: Verantwortliche: Tagesprotokoll: Umfang des Protkolls: Batu Klump Harald Meixner Harald Meixner, Sven Köppel 8 Seiten (6 Blätte), anliegend 9 Seiten Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Seite 1 von 9
2 Aufgabenstellung Bestimmung von Kapazitäten und Induktivitäten im Wechselstromkreis; Bestimmung des Resonanzverhaltens von Schwingkreisen Bei den Versuchen 9 und 10 sollen die Kenngrößen und physikalischen Eigenschaften einiger Kapazitäten und Induktivitäten in Wechselstromkreisen eingehend untersucht werden. Zunächst sperariert wird Phasenverschiebung und Verhalten in Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten und Induktivitäten untersucht. Für Induktivitäten wird ferner die Auswirkung der variierten Anwesenheit verschiedener Eisenkerne im Spuleninneren untersucht. Am gleichen Messplatz werden Kapazität und Induktivität anschließend zum Schwingkreis zusammengeführt, dessen Resonanzverhalten in Parallel- und Reihenschaltung unter Variation der Induktivität untersucht wird. Physikalischer Hintergrund Kapazitäten im Wechselstromkreis Die Kapazität C eines Kondensators berechnet sich bekanntermaßen zu C=Q /U (siehe Theorieteile vorherige Protokolle zur exipliten Herleitung). Im Gleichstromkreis ist die extern anliegende Spannung konstant, es fließt kein Strom, denn nach Einschalten der Spannung lädt sich der Kondensator auf und es herrscht eine elektrostatische Situation. Im Wechselstromkreis hingegen beschreibt die externe Spannung einen sinusförmigen Verlauf. Eine Möglichkeit, die Wechselstromtheorie zu behandeln, ist mit dem komplexen Ansatz, bei dessen Verwendung sich herausstellt, dass die reellen Anteile der physikalischen Größen deren wirklichen Verbauch wiedergeben, wohingegen die imaginären Anteile für Effekte wie Blindwiderstände, Blindleistung und Phasenverschiebung verantwortlich sind. Setzt man in der obigen Formel diesen komplexen Ansatz U t =U 0 e i t I t =I 0 e i t ein, so ergibt sich C= Q = I t dt = 1 I t U U t i U t = 1 i e Z = I U = 1 i C = i C für den komplexen Widerstand. Betrachtet man die Realteile, so fällt auf, dass die Spannung mit = /2 vorläuft. Hierbei habe ich bereits den komplexen Widerstand verwendet, die Impedanz: Z = U 0 e I 0 Für den realen Widerstand kann man also Rechnen: R= U 0 = U eff = 1 I 0 I eff C wobei die X eff -indizierten Größen deren Effektivwerte meinen, die im Stromkreis mit Messinstrumenten aufgenommen werden können. Da die Frequenz vom Netzbetreiber (zeitlich als konstant anzusehend) vorgegeben ist, kann im Wechselstromkreis allein durch Strom- und Spannungsmessung eine Kapazität ausgemessen werden: C= I U Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Physikalischer Hintergrund Seite 2 von 9
3 Konduktivitäten im Wechselstromkreis Eine Konduktivität verhält sich im Gleichstromkreis ähnlich unspektakulär wie eine Kapazität, allerdings fließt bei ihm nach Aufbau des Magnetfelds ein konstanter Strom, der durch die zugeführte Spannung U und den ohmschen Widerstand R der Spule gegeben ist: I = U R Legt man an eine Spule hingegen einen Wechselstrom an, so berechnet sich seine Impedanz nach dem obigen vorgestellten Formalismus zu Z =i L wobei L die Eigeninduktivität der Spule ist. Diese einfache Identität gilt jedoch nur für ideale Spulen, die eben keinen ohmischen Widerstand haben. Ein einfaches Standardmodell zur Berechnung einer realen Spule ist die Einführung eines Ersatzschaltbildes, in dem eine ideale Spule seriell nach einem ohmschen Widerstand geschaltet ist, der den Widerstand des Drahtes repräsentiert. In diesem Fall addiert sich zu der idealen, rein imaginären Impedanz noch der rein reale Widerstand, sodass Z =i L R. Betrachtet man hier nur den Betrag (reeller Ansatz), so ergibt sich R ges = U I = L 2 R 2 Nach Bestimmung des Gleichstromwiderstandes einer Spule kann man sich also im Wechselstromkreis mit bekannter Frequenz wiederum nur auf die Messung von Strom und Spannung beschränken und kann damit bereits nach Umstellung der Gleichung die Induktivität berechnen: 2 U I R 2 L= Schiebt man in die offene Spule magnetisierbare Objekte, so nimmt die Induktivität im Allgemeinen zu. Von einem massiven Eisenkern würde man eine enorme Erhöhung erwarten, mehr aber sogar noch von einem lamillierten Eisenkern. Bei einem solchen Eisenkern können nämlich im idealen Fall keine Wirbelströme entstehen, die dazu führen würden, dass selbst eine ideale Spule einen realen Impedanzanteil aufzuweisen hätte, da diese durch die Induktivität induzierten Wirbelströme zu einer Erwärmung des Eisenkerns führen würden. Einfache Reihen- und Parallelschaltung im Wechselstromkreis Wendet man die kirchhoffschen Gesetze auf zwei Impedanzen im Wechselstromkreis an, so findet man für deren Reihenschaltung Z ges =Z 1 Z 2 und für deren Parallelschaltung Z 1 ges =Z 1 1 Z 1 2. Setzen wir die oben hergeleiteten Impedanzen für Kapazitäten und Induktivitäten ein, so erhalten wir die bereits aus dem Gleichstromkreis bekannten Verhältnisse, beispielsweise für zwei Kapazitäten Z 1 = i C 1 1, Z 2 = i C 2 1 ergibt die Gesamtkapazität C ges = i Z ges 1 : 1 1 =i 1 1 = 1 1 = 1 = 1 1 C ges i C 1 i C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 Analog gilt für Induktivitäten die bereits bekannte Identität (die Herleitung bleibt dem Leser als einfache Übungsaufgabe überlassen): I ges =I 1 I 2 Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Physikalischer Hintergrund Seite 3 von 9
4 Zusammengesetzte Schaltung von Kapazität und Induktivität Schaltet man Induktivität, Kapazität, ohmschen Widerstand und Spannungsquelle seriell, so ergibt sich für die Impedanz nach obiger Regel Z =R i L i C Und damit messbar U I = R2 L 1 2 C Ableiten nach zeigt, dass = 1 LC ein Minimum dieser Gleichung ist. Damit gelangt man zur Thomsonschen Schwingungsgleichung für elektrische Schwingkreise. An dieser Stelle haben wir es jedoch mit einem Resonanzkreis zu tun, d.h. ein extern angeregter Schwingkreis. kann daher nur durch Variation der Kapazität oder Induktivität verändert werden; im Versuch wird die Induktivität durch Zuführung eines Eisenkerns variiert. Trifft man auf diese Weise die externe Anregfrequenz von 50Hz, hat man den Resonanzfall gefunden und es kann zu sehr hohen Strömen und Spannungen kommen, denen nur der ohmsche Widerstand eine Schranke setzt. Für den Parallelschwingkreis ist der Zusammenhang etwas komplizierter. In der Konfiguration, dass Kapazität und Induktivität parallel geschaltet sind, addieren sich die Ströme, während die Spannung überall gleich ist (Kirchhoff...). Nach obiger Identität gilt also für den Betrag der Impedanz: U 0 I 0 = R 2 2 L C R2 L 1 2 C Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Physikalischer Hintergrund Seite 4 von 9
5 Beschreibung der Messmethode (Durchführung) Es wird mit einem 50Hz-Wechselstromkreis bei kleinen Spannungen (etwa 5V) gearbeite. Messung der Kapazitäten Zwei Kapazitäten werden in allen Variationen (einzeln, in Reihe, Parallel) im Wechselstromkreis geschaltet, dabei wird Strom an und Spannung über dem/den Kondensator/Kondensatoren gemessen. Schließt man ein Oszilloskop über Strom- und Spannungsmessgerät, so kann man den Phasenversatz betrachten. Messung der Induktivitäten Es wird mit einer Spule gearbeitet, für die jeweils zwei 34cm lange Eisenkerne, davon einer lamilliert, zur Verfügung stehen, die über eine Apparatur beliebig weit in die Spule geschoben werden können. Zunächst wird der ohmsche Widerstand der eisenfreien Spule bei Gleichstrom gemessen. Anschließend wird die gleiche Messung bei Wechselstrom durchgeführt. Nachdem man sich nach Anschluss eines Oszilloskops über Strom- und Spannungsmessgerät auch hier von dem zu erwartenden Phasenversatz überzeugt hat, werden sowohl für Massivkern als auch für den lammillierten Kern 34 Messungen von Strom- und Spannung in Abhängigkeit der Einschubtiefe des entsprechenden Kerns durchgeführt. Messung am Schwingkreise Der Stromkreis wird nun so umgebaut, dass Kondensator und Spule, bestückt mit lammilliertem Eisenkern, in einer Reihe geschaltet sind. Man misst nun über Spule und Kondensator die Spannung und vor dem Gesamtkreis den Strom und erhält damit den Reihenschwingkreis. Anschließend baut man die Schaltung um, sodass Spule und Kondensator parallel geschaltet sind. Nun misst man jeweils vor Spule und Kondensator (sowie auf der Zuleitung) den Strom und erhält die Grafik des Parallelschwingkreises. Schaltpläne Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Schaltpläne Seite 5 von 9
6 Messergebnisse Siehe auch das Tagesprotokoll am Anhang dieses Protokolls für die Original-Messdaten Alle Strom/Spannungsmessungen im Wechselstrom sind Messungen des Effektivwertes. Kondensatormessung Bauteil U ~ U I I C= I / U C C 1 4,35 V 0,5 V 14 ma 0,9 ma 10,2 µf 1,8 µf C 2 4,36 V 0,5 V 22 ma 0,9 ma 16,1 µf 2,5 µf In Reihe 4,36 V 0,5 V 8,6 ma 0,3 ma 6,3 µf 0,9 µf Parallel 4,37 V 0,5 V 36 ma 3 ma 26,3 µf 5,2 µf C 1 1 C berechnet 6,24 µf 1,1 µf C 1 C 2 berechnet 26,3 µf 4,3 µf Eine qualitative Skizze von Strom und Spannung bei einem Kondensator, die den Phasenversatz verdeutlicht: Spulenmessung Spule U U I I R R Gleichstrom, Eisenfrei 5 V 0,5 V 370mA 30 ma 13,51 Ω 0,18 Ω Spule U ~ U I I L L Eisenfrei 4,35 V 0,5 V 130 ma 9 ma 97 mh 17 mh Für die weiteren 68 Messwerte verweise ich auf das Tagesprotokoll bzw. die Grafiken. Letztlich geht es bei dem Versuch m.e. nicht um jedes einzelne quantitative Ergebnis, daher habe ich die Werte für L und deren Fehler nicht mühsam berechnet, sondern mit der Datenerfassungssoftware Origin mit den oben angegeben Formeln ausrechnen lassen. Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Messergebnisse Seite 6 von 9
7 Eine qualitative Skizze von Strom und Spannung, die den Phasenversatz verdeutlicht: Parallel- und Reihenschwingkreis Im Tagesprotokoll finden sich die grafischen Darstellungen in Abhängigkeit von der Induktivität für Parallel- und Reihenschwingkreis. Fehlerrechnung Kondensatormessung Die zur Berechnung der Kapazitäten benutzte Formel lautete C= I U Da man davon ausgehen kann, dass die Elektrizitätswerke =50Hz sehr konstant liefern, kann man als Konstante ansehen und errechnet den maximalen Fehler zu C= C I I C U U = I U I U U =C I U 2 I U Für die errechneten Werte gilt es jeweils die Fehler der Formeln zu bestimmen, für den einfacheren Parallelschaltungsfall ist das einfach C Parallel =C 1 C 2 C Parallel = C 1 C 2 Für den komplizierteren Reihenschaltungsfall 2 hingegen kommt man auf 1 C Reihe = C C 1 1 Reihe =C C 1 1 C 2 C C C 2 Wie man sieht, ligen die errechneten Werte absolut exakt auf den gemessenen Werten. Interessant ist, dass der Maximalfehler für den errechneten Wert in der Reihenschaltung größer ist als der für den gemessenen Wert, für die Parallelschaltung hingegen kleiner. Spulenmessung Der Fehler bei der Gleichstrommessung berechnet sich trivial aus R=U / I zu R= U U I I Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Fehlerrechnung Seite 7 von 9.
8 Bei der Wechselstrommessung berechnet sich die Induktivität zu L= 1 U I 2 R 2 = 1 Z 2 R 2 Während wir beim eisenfreien Fall den Messfehler noch etwas unschön ausführlich ausrechnen müssen L= L Z Z L R R = Z Z R R = Z 2 2 R 2 L Z Z R R vereinfacht sich dieser Term deutlich, wenn der ohmsche Widerstand gegenüber der idealen Impedanz verschwindet, d.h. L R. Das dies gilt, kann man sofort an der y-skala der Graphen ablesen, die sich im Bereich von 0 bis 2 Henry bewegt, wenn man bedenkt, dass bei 50Hz Wechselstrom =314s 1 ist und R nur R=13,51 beträgt. Parall- und Reihenschwingkreis Da hier nur eine grafische Auftragung verschiedener Spannungen und Ströme, die an Messinstrumenten abgelesen wurden, gefordert war, ist keine Fehlerrechnung notwendig. Lediglich die Umrechung der abgelesenen Einschubtiefe zur Induktivität anhand der Messwerte, die im Versuch 9 aufgenommen wurden ist mit den dort aufgenommenen Fehlern behaftet, d.h. die Fehler auf der x-achse beider graphischen Darstellungen sind genau die Fehler L, die man aus den y- Fehlern der zugehörigen graphischen Darstellung der Induktivität gegen die Einschubtiefe entnehmen kann. Der graphsichen Darstellung zum Reihenschwingkreis ist recht gut ein Maximum aller Kurven bei etwa L=0,9H zu entnehmen, dies entspricht der Resonanzsituation. Offensichtlich steigen Strom und Spannung im Schwingkreis exorbitant an, Spannung an Kondensator und Spule befinden sich im Resonanzfall bei etwa dem zehnfachen der externen Anregungsspannung. Dies ist erschreckend würde man mit nur geringfügig höherer Anregungsspannung und besseren Bauteilen (mit weniger ohmschen Widerstand) arbeiten, könnte man auf diese Weise bereits tödliche Ströme erzeugen. Schlussfolgerung Im Gegensatz zu einigen anderen Experimenten im Praktikum sind die gewonnen Werte und deren Fehler in diesem Experiment durchaus plausibel. Mit einem Computermesswerterfassungssystem wären die Versuche jedoch um einige Zehnerpotenzen schneller durchgeführt und der systemische Fehler der Ermüdung bei Aufnahme von mehr als 340 Messdaten jeweils mit variablem Messbereich also insgesamt mehr als 780 Zahlen (!) der in obigen Rechnungen ohnehin nicht beachtet wurde (da vom idealen Studenten ausgegangen wurde, bei dem solche Effekte nicht auftreten), würde sich nicht negativ auf das Messergebnis auswirken. Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Schlussfolgerung Seite 8 von 9
9 Anfängerpraktikum II - Versuch 9 & 10: Schlussfolgerung Seite 9 von 9
Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 2 Elektrizitätslehre. Protokollant: Sven Köppel Matr.-Nr Physik Bachelor 2.
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