Solution Hints to Exercise Sheet 11

Transkript

1 Avance algebra Homological algebra an representation theory Wintersemester 24/5 Prof. C. Schweigert Algebra an Number Theory Department of Mathematics University Hamburg Aufgabe Solution Hints to Exercise Sheet un 2: Ja, in er Vorlesung wure gezeigt, ass homotope Kettenabbilungen gleiche Abbilungen auf er Homologie inuzieren. Also inuziert speziell eine ein Paar von Abbilungen f g i un g f i ein Paar inverser Abbilungen auf er Homologie. 3: Nein, betrachten wir beispielsweise: Z 2 Z Z 2 Die Kohomologie-Gruppen sin isomorph, aber ie einzige Abbilung Z 2 nach Z ist ie Nullabbilung, also wären f g, g f ientische Nullabbilungen. Aber es existiert im zweiten Komplex keine Homotopie von er Null- zur Ientitätsabbilung, a alle Differentiale Null sin. Es gibt viele topologische Gegenbeispiele, beispielsweise ie sogenannte Poincare- Sphäre, ie auch rein formal urch Dreiecke trianguliert verstanen weren kann (Blatt ): Sie ist efiniert urch einen Doekaeer, bei em alle gegenüberliegenen Flächen geeignet ientifiert weren (oer als Konfigurationsraum es Doekaeers SO(3)/A 5 ). Die Homologie ieses Raums ist ientisch mit em einer 3-Sphäre, jeoch sin beie nicht Homotopieäquivalent (Funamentalgruppe A 5 ). Anere Gegenbeispiele ergeben sich aus Komplementen von verschieenen Knoten. Aufgabe 2 Wir betrachten ie gemeinsame projektive Auflösung P 2 P A P 2 P B P 2 P C

2 Wir tensorieren mit Y, ie Zeilen sin ann nicht mehr exakt un haben Homologiegruppen T ork R(A, Y ), T orr k (B, Y ), T orr k (C, Y ). Die Spalten P i, P i, P i sin nach wie vor exakt, a eine exakte Sequenz von projektiven Mouln spalten P i P i P i. Leiglich the erste Spalte A, B, C ist nach tensorieren nicht mehr zwingen exakt, genauer ist Y A Y B nicht mehr zwingen injektiv. Wir können iese Spalte jeoch weglassen un urch ersetzen - ie Zeilen sin onehin nicht exakt (as änert aber natürlich ie Homologie). Das liefert uns nach em Schlangen-Lemma genau ie gewünschte eine lange exakte Sequenz T or R 2 (A, Y ) T or R 2 (B, Y ) T or R 2 (C, Y ) T or R (A, Y ) T or R (B, Y ) T or R (C, Y ) A Y B Y C Y wobei ie ie Verbinungshomomorphismen sin un ie restlichen Abbilungen einfach von A B C inuziert sin. Für as Beispiel Z a Vorlesung b Z ab Z b un R Z, Y Z n verwenen wir ass gemäss T or Z k (Z m, Z n ) Also ist ie lange exakte Sequenz { Z ggt(m,n), k,, else Z ggt(a,n) b Z ggt(ab,n) Z ggt(b,n) Z ggt(a,n) b Z ggt(ab,n) Z ggt(b,n) wobei alle Verbinungshomomorphismen verschwinen. Aufgabe 3 Sei Z g. Die genannte freie Auflösung ist: g Z[Z n ] +g+ +gn Z[Z n ] g ɛ Z[Z n ] Z Wir berechnen Hom R (, Z) für iesen Komplex: Es gilt Hom R (Z[Z n ], Z) Z, weil jeer Homomorphismus φ urch sein Bil φ() n Z gegeben ist. Da φ nämlich ein R-Moul-Homomorphismus in en trivialen R-Moul Z ist, gilt ann φ(g k ) k, also φ kɛ. Für einen Morphismus f : Z[Z n ] Z[Z n ] wir ann er inuzierte Morphismus: Wir erhalten also: Z Hom R (Z[Z n ], Z) Hom R (Z[Z n ], Z) Z f : k kɛ kɛ f kɛ(f()) Z n Z Z Z Also sin ie Ext n R (Z, Z) abwechseln un Z n. Aufgabe 4 2

3 . Zuerst betrachten wir für Ext Z (Z, Z n) ie triviale freie Auflösung Z Z un ie Ableitung Hom(, Z n ), wobei Hom(Z, Z n ) Z n Z n Z n Damit ist Ext Z (Z, Z n) un azu passen ist jee Erweiterung Z n X Z trivial, spaltet also, a Z frei ist, insbesonere projektiv. 2. Nun betrachten wir für Ext Z (Z n, Z) ie freie Auflösung Z n Z Z n un ie Ableitung Hom(, Z), wobei Hom(Z n, Z) Z n Z Damit ist Ext Z (Z n, Z) Z n (insbesonere ist Z nicht injektiv). Wir beschreiben im iesem Fall ie n verschieene Erweiterungen bis auf Isomorphie von Erweiterungen: Z X t Z n wobei t Z n. Sei ggt (t, n) un a Z n. Die zugruneliegene Partition von Z n nach Ornung n soll in er folgenen Konstruktion jeweils verschieene Isomophietypen von X t als abelsche Gruppe wieerspiegeln: Z n n Z n Im strengen Sinne geben wir aber nur eine Reihe von Konstruktionen von Erweiterungen, bis wir ie insgesamte Anzahl n erreicht haben. Wir unterscheien ie Fälle t Z n, un t, n un alle aneren Fälle: a) Für t betrachten wir als einziges ie spaltene Erweiterung Z Z Z n Z n 3

4 b) Nun konstruieren wir Erweiterung für jeen t Z n vom Typ Z Z Z n n t Dies sin offenbar exakte Sequenzen un für jeen Homomorphismus von Erweiterungen Z n Z t φ Z n Z n Z t Z n gilt wegen em linken Diagramm φ i un amit im rechten Diagramm t t. Diese Erweiterungen sin offenbar alle verschieen. c) Wir betrachten nun t un nichtinvertierbar. Sei ggt(t, n), es gibt offenbar Z n viele t mit iesem ggt. Wir konstruieren nun für jees t, ie folgene exakte Sequenz: Z Z Z n Z n ±( t, ) (x, y) x + ty Die Wohlefiniertheit er Abbilungen ist gegeben, weil nach Definition von gilt t n mo n. Der Kern er zweiten Abbilung ist offenbar ( kt, k), also genau as Bil er ersten Abbilung. Wir haben also eine exakte Sequenz. Schliesslich ist nachzuweisen, ass es keine Isomorphie von Erweiterungen zwischen iesen gibt (offenbar bei gleichem ). Z ( t,) Z Z n (x+ty) Z n Sei φ(, ) (, a), a Z n Z ( t,) (x+t Z Z y) n Zn φ (wegen Wohlefiniertheit arf kein Element in er unenlichen zyklischen Gruppe auftauchen) un sei φ(, ) (±, b) (wegen Invertierbarkeit von φ, u.a. nach em Neunerlemma). Dann muss, amit as linke Diagramm kommutiert, gelten ( t, )! φ( t, ) ( t, a tb) also t ±t un a + tb mo n Für t +t erhalten wir ie gleiche Erweiterung, sei also t t un φ(, ) (, b). Damit as rechte Diagramm kommutiert, muss für (, ) bzw. (, ) gelten: + t b tb mo n 4

5 t at at mo n Aus er zweiten Gleichung folgt a mo n. Aus er ersten Gleichung tb 2 mo n folgt entweer t invertierbar mo n also (was wir in iesem Fall ausgeschlossen haben) oer 2. Aus em linken Diagramm haben wir oben gefolgert tb 2 mo n, also 4 mo n. Dann ist aber wieer t 2 t mo n un wir erhalten also wieer ie gleiche Erweiterung. Insgesamt erhalten wir also keine Isomorphismen von Erweiterungen zwischen en oben konstruierten Erweiterungen vom Typ Z Zn. Wir haben also n verschieene Erweiterungen konstruiert. 3. Die Mouln über R C[x]/(x n ) sin Paare (M, X) aus einem Vektorraum M zusammen mit einer Matrix X En(M) soass X n. Der einzige irreuzible Moul ist er triviale Moul V : (C, ). Unzerlegbare Mouln sin urch geeignete Jorankästchen gegeben, insbesonere ist ie reguläre Darstellung urch Linksmultiplikation V n : C[x]/(x n ) (C n, X) mit X em n- Jorankästchen, wobei ie Basis von C n urch ie x k gegeben ist. Bemerkung: Höhere Jorankästchen als V n erfüllen nicht mehr ie Beingung X n, wir haben also alle unzerlegbaren Mouln gefunen. Wir finen eine freie Auflösung von V urch V n R via V n x V n x n V n x V n ɛ V wobei ɛ(x k ) δ k,, er Kern ist also as Ieal xv n (x) R, er Kern von x (also er Annihilator es Ieals) ist as Ieal x n V n (x n ) R, was wieerum Annihilator (x) hat usw. Wir berechnen nun ie Hom R (, V ), wobei Hom R (V, V ) C {a } Hom R (V n, V ) C {aɛ} Damit ist Ext C (V, V ) C. C C C C i C Wir klassifizieren alle Erweiterung V X V bis auf Isomorphie von Erweiterungen. Wir unterscheien nach em Isomorphie-Typ un ornen jeer Erweiterung ein λ C zu. λ : Sei X V V C 2, ann ist jee mögliche Erweiterung gegeben urch (v,v 2 ) V T (w,w 2 ) V V V wobei v, w (, ) un v T w. Ein Isomorphismus zwischen zwei solchen Erweiterungen 5

6 (v,v 2 ) V T (w,w 2 ) V V V (v V,v 2 )T (w V V,w 2 ) V ist gegeben urch eine Matrix A GL(C 2 ) mit v T Av T un w w A. Da GL(C 2 ) transitiv auf er Menge er Basen es C 2 wirkt, gibt es also nur eine Isomorphieklasse von Erweiterungen. λ : Sei A X V 2 (C 2, ( ) ) wobei wir ie Basis mit x n, x n 2 bezeichnen (ies ist eine Einbettung als Ieal (x n 2 ) R). Da Hom(V, V 2 ) C {ax n } ie Einbettung in ie erste Koorinate un Hom(V 2, V ) C {bɛ} ie Projektion auf ie zweite Koorinate, ist jee mögliche Erweiterung gegeben urch (a,) V T (,b) V 2 V wobei a, b C. Wir stuieren nun Isomorphismen zwischen solchen Erweiterungen. Es ist Aut ( R (V) 2 ) ie Menge aller invertierbaren ( ) 2 2 Matrizen A ie mit X vertauschen, also. Ein solches A c inuziert einen Isomorphismus zwischen zwei solchen Erweiterungen (a,) V T (,b) V V V (a V,) T (,b V V ) A V wenn a a un b b (insbesonere sin ie strikt oberen Dreiecksmatrizen also Automorphismen von einer jeen Erweiterung). Insbesonere ist as Verhältnis λ : ab C offenbar eine Invariante, ie ie Erweiterung bis auf Isomorphie festlegt. Bemerkung: Wir geben in ieser Aufgabe leiglich eine Klassifikation aller Erweiterungen un stellen sie Ext gegenüber. Man könte irekt versuchen nachzurechnen wie ie Bijektion nach er Konstruktion im Skript aussieht un wie sich ie Verknüpfung zweier Erweiterungen auf Multiplikation in Ext überträgt. 6