Mathematik Übungsklausur 2013 Ausführliche Lösungen
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- Wilhelmine Brodbeck
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1 Mathematik Übungsklausur 0 Ausführliche Lösungen Analysis Aufgabe Die Nullstellen einer Funktion f mit Definitionsbereich D f sind die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 in D f. Damit erhält man: a) f: x x, x [; [ f(x) = 0 x = 0 x - = 0 x =. Da im Definitionsbereich von f enthalten ist, ist (die einzige) Nullstelle von f. b) f: x e x, x R 04 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. f(x) = 0 e x = 0 e x = x = ln. ln ist (die einzige) Nullstelle von f. c) f: x ln (x ), x [; [ f(x) = 0 ln (x ) = 0 x - = ( ist die einzige Nullstelle des ln) x =. ist (die einzige) Nullstelle von f. Aufgabe Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f: x ln (5-x ) im Punkt P(/f()) ist die Ableitung f (). Die Ableitung von f bestimmt man mit Hilfe der Kettenregel: f (x) = (-x). Also ist 5 x f () = -4. Die gesuchte Tangente hat demnach die Gleichung y = -4x + m. Da der Punkt P auf der Tangente liegt, erhält man mit f() = 0: 0 = -4 + m und daraus m = 8. Die gesuchte Tangentengleichung ist also y = -4x + 8. Aufgabe a) Wenn man weiß, dass der Ursprung des Koordinatensystems ein Terrassenpunkt für den Graphen der Funktion x x ist, dann ist unmittelbar klar, dass der Graph der Funktion a: x x + im Punkt (0/) einen Terrassenpunkt besitzt. Seite
2 Alternativ: Wenn der Graph von a im Punkt (0/) einen Terrassenpunkt haben soll, dann muss die Ableitung von a an der Stelle 0 gleich 0 sein und darf dort ihr Vorzeichen nicht wechseln. Ein einfacher Kandidat für a ist also z.b. die Funktion x x. Daraus ergibt sich für die Funktion a die Form a: x x + c mit einer reellen Konstanten c. Da der Funktionswert an der Stelle 0 gleich sein soll, ist dann c = zu wählen. Für a erhält man damit a: x x +. Offensichtlich ist a als ganzrationale Funktion auch in ganz R definiert. Da es für das Verhalten der Ableitung an der Stelle 0 nicht auf den Koeffizienten von x ankommt, kann man für a auch die Funktionsvorschrift a(x) = c x + mit einer beliebigen Konstanten c R {0} wählen. b) Da für die in ganz R definierte Funktion b nur die Nullstellen π und π vorgegeben sind, dann bietet sich als naheliegende Lösung die ganzrationale Funktion b : x (x-π) (x- π ) an. In der Aufgabenstellung ist allerdings nicht verlangt, dass π und π die einzigen Nullstellen von b sind, also wäre auch die Nullfunktion x 0 eine Lösung der Aufgabe. 04 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. Denkt man dagegen an eine trigonometrische Funktion, so kann man die Funktion b : x sin(x) als Lösung wählen, da der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Sinusfunktion durch eine Stauchung mit dem Faktor in Richtung der x-achse hervorgeht und sin die Nullstellen π und π besitzt. c) Unter den Funktionen, die man im Laufe des Mathematikunterrichts kennen gelernt hat, sind es zunächst nur die Exponentialfunktionen, die in ganz R definiert sind und für x oder x den Grenzwert 0 haben und deren Graph zusätzlich streng monoton ist. Die Forderungen streng monoton fallend und lim x c(x) = 0 " ist z.b. für c: x e -x erfüllt. Die Potenzfunktionen mit negativem Exponenten wie p - : x, an die man wegen des x Grenzwerts zunächst denken mag, sind weder in ganz R definiert, noch ist ihr Graph in ihrem Definitionsbereich streng monoton. Da aber der Graph von p - für x > 0 streng monoton fallend ist, wäre eine zusammengesetzte Funktion wie z.b. die Funktion x +, x < c c(x) =, x x ebenfalls eine Lösung der Aufgabe (siehe Skizze). Seite
3 Anmerkung: Die Aufgabe macht deutlich, wie wichtig es ist, die Eigenschaften und die Graphen der wichtigsten Funktionen zu kennen und parat zu haben. Aufgabe 4 04 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. a) Offensichtlich ist H(x) = F(x) +. Dass F eine Stammfunktion der Funktion f ist, also gilt F = f, braucht da in der Aufgabenstellung vorgegeben - nicht nachgewiesen zu werden. Zu zeigen ist lediglich, dass auch H eine Stammfunktion von f, die Ableitung von H also gleich f ist. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: H (x) = F (x) = f. b) Das Integral f(x)dx gibt die Flächenbilanz der Flächen zwischen dem Graphen von f 0 und der x-achse im Intervall [0;] wieder, wobei der Flächeninhalt im Intervall [0;] mit negativem Vorzeichen eingeht, weil das Flächenstück unterhalb der x-achse liegt. Also ist das Integral die Differenz der Flächeninhalte in den Intervallen [;] und [0;]. c) Zu berechnen ist das f(x)dx. Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der gegebenen Stammfunktion F von f erhält man: f(x)dx = F() F() = ( ) ( ( ) ) = =4. Aufgabe 5 a) Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt f(x)dx 0 Für F erhält man z.b. F(x) = -x + 6x +8x. Also ist f(x)dx = =. 0 = F() F(0). b) Wenn die Gerade g die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-achse im ersten Quadranten halbiert, dann hat das Dreieck, das von g, der Geraden mit der Gleichung x = und der x-achse begrenzt wird, den Inhalt 7 = 5. Andererseits ergibt sich der Inhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks aus dem halben Produkt der Katheten mit den Längen (a-) und 4, wenn der gesuchte Schnittpunkt von g mit der x-achse die Koordinaten (a/0) hat. Also gilt die Gleichung (a ) 4 = 5. Die Lösung dieser Gleichung ist a =7. Die Gerade g schneidet die x-achse an der Stelle a = 7. Seite
4 Stochastik Aufgabe a) Mindestens eines der Ereignisse A und B tritt ein ist gleichbedeutend damit, dass A oder B eintritt. Also gilt C = A B. Weder Ereignis A noch Ereignis B tritt ein ist gleichbedeutend damit, dass das Ereignis A nicht eintritt und auch das Ereignis B nicht eintritt. Also gilt D = A B. b) Zunächst kann man unmittelbar die rechte Randspalte ausfüllen, da die Summe der Randwahrscheinlichkeiten p(b) und p(b) gleich sein muss (s. nebenstehende Tabelle). A A B 0, 0,65 B 0,5 04 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. Die Voraussetzung, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, bedeutet, dass die Vierfeldertafel eine Multiplikationstafel ist, dass also in jedem der vier Innenfelder das Produkt der entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten steht, dass also insbesondere gilt p(a B) = p(a) p(b). Damit erhält man die Gleichung 0, = p(a) 0,65 und daraus p(a) = 0,0. Die (noch unvollständig ausgefüllte) Vierfeldertafel hat also die folgende Gestalt: A A B 0, 0,65 B 0,5 0,0 Da in jeder Spalte und jeder Zeile die Randwahrscheinlichkeit die Summe der zugehörigen Innenfelder ist, ergibt sich nun: p(a B) = 0,0 0, = 0,07 p(a B) = 0,5 0,07 = 0,8 p(a B) = 0,65 0, = 0,5 p(a) = 0,0 = 0,8.. Dies ergibt die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel: A A B 0, 0,5 0,65 B 0,07 0,8 0,5 0,0 0,80 (Man kann zusätzlich leicht überprüfen, dass die Vierfeldertafel insgesamt eine Multiplikationstafel ist.) Seite 4
5 Aufgabe a) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten p( Blau ) + p( Rot ) + p( Gelb ) muss gleich sein, also gilt p + p + p( Gelb ) = p + p( Gelb ) =. Zudem besteht das Glücksrad nach Voraussetzung aus den drei Sektoren, demnach sind alle drei Wahrscheinlichkeiten > 0. Daraus erhält man insgesamt 0 < p < und daraus 0 < p <. 04 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. b) Bei der Betrachtung des Ereignisses E interessiert nur, ob beim einmaligen Drehen des Glücksrads das Ereignis R: Rot oder das Ereignis R: Nicht-Rot auftritt. Damit lässt sich zweimalige Drehen des Glücksrads durch folgendes Baumdiagramm beschreiben: R p R p -p R p R -p R -p R Aus diesem Baumdiagramm liest man unmittelbar ab: p(e) = p(rr) + p(rr) + p(rr) = 4p + p (-p) + (-p) p =4p 4p. Einfacher und vor allen Dingen auf ähnliche Situationen anwendbar, die nicht mehr so einfach durch einem Baum darstellbar sind, ist die folgende Überlegung: Das Gegenereignis E ("Beim zweimaligen Drehen des Glücksrads tritt zweimal R ein ) von E tritt mit der Wahrscheinlichkeit p(e) = (-p) ein. Also gilt: p(e) = (-p) = (-4p+4p ) = 4p 4p. Diese Überlegung ist immer dann anwendbar, wenn bei n-maliger Wiederholung eines Bernoulli-Experiments mit den Wahrscheinlichkeiten p und q = -p (also einer Bernoulli- Kette der Länge n) nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E gefragt ist, dass das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit p mindestens einmal eintritt. Dies bedeutet ja, dass das andere Ergebnis des Bernoulli-Experiments keinmal eintritt und das ist mit der Wahrscheinlichkeit q n = (-p) n das Fall. Also ist dann p(e) = (-p) n. Seite 5
6 Geometrie Aufgabe a) Der Vektor v steht auf den Vektoren PQ und PR senkrecht, wenn die Skalarprodukte v PQ und v PR gleich 0 sind. 0 PQ =, PR =. Also gilt: v PQ = 0 = 0 + = 0 und v PR = = + 4 = Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin. b) Da die Strecke [PS] die Höhe der Pyramide ist und der Vektor v nach Teilaufgabe a) ein Lotvektor zur Grundfläche PQR ist, muss der Vektor PS ein Vielfaches von v sein. Die Länge von v ist v = 9 =, die Länge von PS lt. Aufgabenstellung gleich 6. Also gilt: PS = v oder PS = - v bzw. PS = 4 oder PS = Für S kommen demnach nur die Punkte mit den Koordinaten (- 4 4) bzw. ( -4-4) in Frage. Aufgabe a) Die Länge der Seite [AB] ist AB = ( + ) + (5 ) + (6 4) = 4. Diese Länge ist konstant, während die Längen der Seiten [AC t ] und [BC t ] von der Wahl des Parameters t abhängen. Also ist zu zeigen, dass [AC t ] und [BC t ] für jede Wahl von t gleich lang sind. + t + t AC t =, BC t = + t t Damit ergibt sich unmittelbar: AC t = BC t = (t-) + + (+t) = - t + t t + t = t + 6. Also sind [AC t ] und [BC t ] für jede Wahl von t gleich lang. Jedes der Dreiecke ABC t ist gleichschenklig. b) Das Dreieck ABC t ist gleichseitig, wenn die Schenkel [AC t ] und [BC t ] ebenfalls die Länge 4 haben (siehe a)). AC t = BC t = AB t + 6 = 4 t = 9 t = t = -. Für t = und für t= - ist das Dreieck ABC t gleichschenklig. Seite 6
)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
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