Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades -

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Helmuth Bader
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1 GS gara_0_berechnenns.mcd Ganzraionale Funkionen (Polynomfunkionen) - Berechnung von, Gleichungen höheren Grades -. Gleichungen höheren Grades Gegeben is der Funkionserm f( ) a n n + a n n a a + a + a 0 bedingung: n a n + a n n a a + a + a 0 0 Allgemeine : Durch Abspalung von möglichs vielen Linearfakoren wird der Grad der Gleichung bis zum Eponenen k erniedrig, dann Anwendung der Miernachsformel. ( ) ( ) ( ) b + b + c 0. Polynomdivision ohne Res Ergebnis: Die Polynomdivision ohne Res erniedrig den Grad des höchsen Eponenen von. gara_0.mcd /

2 Redukionssaz: Gegeben is die Polynomfunkion n-en Grades f( ) n a k k mi a n 0. k 0 ( ) eilbar. Is eine der Gleichung f( ) 0, so is f( ) durch i Es gil dann: n f( ) i ( ), wobei q( ) b k k ein Polynom ( n )-en Grades is. ( ) q k 0 Hinweis: Die wird durch Erraen gefunden, wobei zu zeigen is, dass gil: f Um dieses Raen so effekiv und kurz wie möglich zu gesalen, folgender ( ) 0 Saz: n Ha die Funkion f( ) a n + a n n a a + a + a 0 die ganzzahlige Nullselle, so is ein Teiler von a 0. gara_0.mcd /

3 Beispiel : Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term bedingung: f( ) : wird geraen, und zwar probier man nur die Teiler von 0: f( ) keine f( ) 0 : Polynomdivision: der quadraischen Gleichung: Mahcad - : in Parialbrüche zerleg, ergib auflösen, NS : auflösen, Fakorisierer Funkionserm: f( ) 5 5 ( + 5) ( ) ( ) Drei einfache Graph von f() -Achse gara_0.mcd 3 /

4 Beispiel : Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term Definiion der f( ) p( ) : wird geraen, und zwar probier man nur die Teiler von 0. f( 5) keine f( 5) 0 : 5 : bedingung: wird geraen, und zwar probier man nur die Teiler von 0. f( ). 8 0 keine f( ) keine f( ) 0 : Polynomdivision: der kubischen Gleichung: ergib Polynomdivision: in Parialbrüche zerleg, ergib der rein quadraischen Gleichung: 0 auflösen, Mahcad - : NS : auflösen, 5 Vier einfache Fakorisierer Funkionserm: f( ) ( ) ( ) 5 ( + 5) + ( ) gara_0.mcd /

5 Graph von f() -Achse 3. Subsiuion Bei achsensymmerischen Funkionen. Grades reen nur gerade Poenzen von auf: f( ) a + b + c. Die bedingung a + b + c 0 liefer eine biquadraische Gleichung, die mi der Subsiuion anschließender Resubsiuion gelös wird. Es gil: a über die sformel für quadraische Gleichungen und + b + c 0 auflösen, a a ( ) b b + a c ( ) b b a c gara_0.mcd 5 /

6 Beispiel 3: Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term f( ) : bedingung: Subsiuion: der quadraischen Gleichung: auflösen, 9 Resubsiuion: auflösen, 9 auflösen, 3 3 Mahcad - : NS : auflösen, 3 3 Vier einfache Fakorisierer Funkionserm: f( ) 0 ( + 3) ( + ) ( ) ( 3) Achse Graph von f() gara_0.mcd /

7 Beispiel : Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term f( ) : bedingung: Subsiuion: der quadraischen Gleichung: auflösen, 9 Resubsiuion: 9 auflösen, 3 3 auflösen, i i keine Mahcad - : NS : auflösen, Fakorisierer Funkionserm: f( ) 3 3 i i keine keine 0 ( + 3) ( 3) + Zwei einfache Achse Graph von f() gara_0.mcd 7 /

8 Beispiel : Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term. f( ) : bedingung: Subsiuion: der quadraischen Gleichung: auflösen, Resubsiuion: auflösen, auflösen, idenische en Mahcad - : NS : auflösen, Zwei zweifache Fakorisierer Funkionserm: f( ) 0 ( + ) ( ) Achse Graph von f() gara_0.mcd 8 /

9 . Erweierung der Subsiuion Bei Funkionen höheren Grades der "Bauar biquadraisch" reen nur die Poenzen n bzw. n auf: f( ) a n + b n + c. Die bedingung a n + b n + c 0 liefer auch hier eine biquadraische Gleichung, die mi der Subsiuion n über die sformel für quadraische Gleichungen und anschließender Resubsiuion gelös wird. Es gil: a + b + c 0 auflösen, a a ( ) b b + a c ( ) b b a c Beispiel 5: Gesuch sind die und der vollsändig fakorisiere Term f( ) : bedingung: Subsiuion: der quadraischen Gleichung: auflösen, 8 Resubsiuion: 3 auflösen, + i 3 i 3 keine keine 3 8 auflösen, + i 3 i 3 keine keine gara_0.mcd 9 /

10 Mahcad -: NS : auflösen, i 3 i i 3 i 3 keine keine keine keine Zwei zweifache Das Fakorisieren is hier nich so ganz einfach, weil es nur zwei Linearfakoren gib.. Möglichkei: Zweimalige Polynomdivision Funkionserm: f( ) Raen: f( ) 0 is. Polynomdivision: ergib Raen: f( ) 0 is. Polynomdivision: ergib keine weiere Zerlegung Fakorisierer Funkionserm: f( ) 0 ( ) ( + ) gara_0.mcd 0 /

11 . Möglichkei: Teilweises Fakorisieren und dann Anwendung einer Zerlegungsformel Fakoren vor der Resubsiuion: Zerlegungsformeln: f( ) ( ) a 3 + b 3 ( a+ b) a a b + b 3 + fakor, ( + ) + a 3 + b 3 ( a+ b) a a b + b 3 8 fakor, ( ) + + ( ) Mahcad - : fakor, ( + ) ( ) Fakorisierer Funkionserm: f( ) ( ) 0 ( ) ( + ) Achse Graph von f() gara_0.mcd /

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