DIGITALE PARTICLE IMAGE VELOCIMETRY: VERGLEICH VON FENSTER-KORRELATION UND ENSEBLE-KORRELATION

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1 Fachtagung Lasermethoden in der Strömungsmesstechnik September 211, Ilmenau DIGITALE PARTICLE IMAGE VELOCIMETRY: VERGLEICH VON FENSTER-KORRELATION UND ENSEBLE-KORRELATION Sven Scharnowski, Christian J. Kähler Institut für Strömungsmechanik und Aerodynamik, Universität der Bundeswehr München, 877 Neubiberg, Zusammenfassung Bei der Auswertung von digitalen Particle Image Velocimetry Daten wurden in der Vergangenheit zwei wesentliche Verfahren entwickelt: Fenster-Korrelation und Ensemble- Korrelation. Mit der Fenster-Korrelation können momentane Geschwindigkeitsfelder berechnet werden, jedoch führt die Verwendung von Auswertefenstern zu einer räumlichen Filterung und gegebenenfalls zu einer geringen Ortsauflösung mit schlechter Dynamik. Die Ensemble-Korrelation hingegen vermag nur mittlere Größen zu bestimmen, weist aber hohe Ortsauflösung mit entsprechend guter Dynamik auf. Sofern ausreichend viele Bilder vorliegen, liefert Ensemble-Korrelation nicht nur deutlich bessere Auflösung, sondern auch quantitativ bessere Ergebnisse für mittlere Geschwindigkeitsfelder sowie Reynolds-Normal- und Schubspannungsverteilung. Einleitung Digitale Particle Image Velocimetry (DPIV) ist eine effiziente Methode zur ortsaufgelösten Messung der Strömungsgeschwindigkeit in transparenten Fluiden. Mit ihr können viele Punkte einer Ebene oder eines Volumens gleichzeitig untersucht werden, ohne einen Sensor in die Strömung einzubringen. Damit ist DPIV besonders geeignet, um numerische Verfahren zu validieren oder komplexe strömungsmechanische Größen wie Rotation oder Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes zu bestimmen. Das Messverfahren beruht auf einer Abschätzung der Geschwindigkeit aus der Verschiebung von Partikelbildern in zwei digitalen Bildern, die in einem zeitlichen Abstand Δt aufgenommen wurden. Folglich repräsentiert jeder Vektor die mittlere Bewegung der Partikel innerhalb des abgebildeten Volumens, von denen ausreichend Streulicht zum Kamerasensor gelangt. Um den Einfluss von gekrümmten Bahnen und Beschleunigungen zwischen den beiden Messpunkten zu minimieren, ist es erforderlich, Strömungsbereiche mit starken Geschwindigkeitsgradienten entsprechend zu vergrößern. Die Beobachtung von Strömungsphänomenen verschiedener Skalen über viele Größenordnungen hinweg stellt andererseits hohe Anforderungen bezüglich der Dynamik der Ortsauflösung an die jeweilige Messmethode. Je nach Größe der Auswertefenster und des Kamerasensors werden für die Dynamik der Ortsauflösung Werte von 1:2 bis 1:2 mit Fenster- Korrelation erreicht, was bedeutet, dass in einer Richtung nur 2 bis 2 unabhängige Vektoren aus 1 bis 4 Pixel ermittelt werden können. Die Entwicklung von Single-Pixel

2 Y Y Methoden (siehe Westerweel et al 24, Kähler et al 26) führte zu einer deutlich gesteigerten Dynamik von bis 1:2 für einen 4 Pixel. Mit diesen Methoden erwirbt man allerdings keine Information über den momentanen Zustand turbulenter Prozesse. In diesem Beitrag werden die beiden Auswerteverfahren Fenster-Korrelation und Ensemble- Korrelation hinsichtlich ihrer Anforderungen und Möglichkeiten verglichen. Außerdem wird gezeigt, dass statistische Größen wie Reynolds-Spannungen im Fall der Ensemble- Korrelation aus der Form der Korrelationsfunktion bestimmt werden können (Scharnowski et al 211) und dass diese Methode zu zuverlässigeren Ergebnissen führt als auf Fenster- Korrelation basierende. Prinzip der Fenster-Korrelation Bei der Auswertung von DPIV-Daten mit Fenster-Korrelation wird die Bildfläche in Auswertefenster zerlegt. Jedes Auswertefenster A wird mit dem zugehörigen Partner aus dem zweiten DPIV-Bild B im Rahmen einer Kreuzkorrelation verglichen: ( ). (1) Aus der Position des Maximums der Korrelationsfunktion C kann somit die lokale Verschiebung des Partikelbildmusters ermittelt werden. In Abb. 1 sind beispielhaft zwei Bildausschnitte und die dazugehörige Korrelationsfunktion dargestellt. 1 1 Bild A 1 1 X 1 1 Bild B 1 1 X -1 1 Abb. 1: Prinzip der DPIV-Auswertung mit Fenster-Korrelation: aus Bild A und Bild B zur Zeit t und t + Δt wird die Korrelationsfunktion berechnet und aus deren Maximum die lokale Veschiebung bestimmt. 1-1 Fenster-Korrelation Die Größe der Auswertefenster bestimmt bei der Fenster-Korrelation die räumliche Auflösung und ist daher so klein wie möglich zu wählen. Die minimale Fenstergröße ergibt sich aus der Forderung, mindestens 6 8 Partikelbilder zu beinhalten, um die Anzahl der Fehlvektoren zu minimieren. Für zu kleine Auswertefenster mit zu wenigen Partikelbildern entsteht unter Umständen kein eindeutiges Maximum in der Korrelationsfunktion. Die Dichte der Partikelbilder und deren Größe bestimmen also die räumliche Auflösung und deren Dynamik. Die höchste Genauigkeit bei der Geschwindigkeitsbestimmung wird für Partikelbilddurchmesser von erreicht (Raffel et al 27). Daraus ergibt sich in Abhängigkeit von der Dichte der Partikelbilder eine typische Größe der Auswertefenster von bis. Der größte Vorteil der Fenster-Korrelation besteht darin, dass momentane Vektorfelder berechnet werden können. Somit lassen sich charakteristische Frequenzen von Strömungsphänomenen ermitteln, aber auch statistische Größen wie Reynolds-Spannungen berechnen: ( ) ( ) (2)

3 Y Prinzip der Ensemble-Korrelation Für eine Zeitserie oder ein Ensemble von DPIV-Bildern kann Ensemble-Korrelation zur Auswertung genutzt werden, um die räumliche Auflösung zu verbessern. Ensemble-Korrelation ermöglicht die Berechnung einer Korrelationsfunktion für jeden einzelnen Pixel der digitalen PIV-Bilder. Dabei wird das Signal für einen festen Ort (einen Pixel) aber über die gesamte Anzahl der ersten Bilder (dem Ensemble) zur Korrelation herangezogen. Verglichen wird dieses Signal mit solchen aus dem zweiten Bildersatz an der gleichen Position und in der Umgebung. Dabei berechnet sich die Korrelationsfunktion ( ) wie folgt: ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )], (3) wobei ( ) die Koordinaten der Korrelationsebene, ( ) die Bildkoordinaten und ( ) die Standardabweichung bezeichnen. Gleichung (3) kann in eine kontinuierliche Beschreibung überführt werden, in die neben der Form der Partikelbilder im Bild A und B auch die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion PDF eingeht (Scharnowski et al 211): [ ]. (4) In Abb. 2 ist das Zusammenwirken von Partikelbild und PDF dargestellt. Die Korrelationsfunktion ergibt sich aus der Faltung der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion mit dem Partikelbild. Folglich kann aus der Form des Korrelationspeaks zusammen mit der Größe des Partikelbildes die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion abgeschätzt werden. Das Maximum des Korrelationspeaks repräsentiert auch hier die mittlere Geschwindigkeit. Partikelbild PDF Ensemble-Korrelation Y X X Abb. 2: Prinzip der DPIV-Auswertung mit Ensemble-Korrelation: die Korrelationsfunktion ergibt sich für ein Ensemble von PIV Bildern aus der Faltung von (mittlerem) Partikelbild und Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des Verschiebevektors. Gauß-förmige Partikelbilder stellen eine gute Näherung für die Beugungsbegrenzte Abbildung einer Punktlichquelle dar und lassen sich mathematisch relativ leicht behandeln. Des Weiteren wird eine Gauß-förmige Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion mit elliptischem Querschnitt angenommen, die viele Strömungen hinreichend genau beschreibt: ( ) [ ( ) ( ) ] () Für die in Gl. () definierte Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion können die Reynolds- Spannungen wie folgt berechnet werden (Scharnowski et al 211): ( ), (6a)

4 ( ) und (6b) ( ). (6c) Die Parameter, und in den Gleichungen () und (6) bezeichnen dabei die zwei Halbachsen und den Drehwinkel des elliptischen Querschnitts der PDF, wie Abb. 3 verdeutlicht. Kleine Buchstaben stehen für Größen in der Messebene und Großbuchstaben bezeichnen Größen in der Bildebene (auf dem Kamerasensor). Der Zusammenhang ergibt sich aus dem Abbildungsmaßstab M, der Zeitdifferenz Δt zwischen den Laserpulsen sowie aus der Pixelgröße des Kamerasensors S. Für die Schwankungsgrößen der Geschwindigkeit gilt folgendes: ( ) ( ) ( ). (7) Abb. 3: Parameter der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion. Für rotationssymmetrische Partikelbilder und die beschriebene PDF lässt sich die Korrelationsfunktion C analytisch berechnen. Es ergibt sich wieder eine Gauß-Funktion mit elliptischem Querschnitt: ( ) [ ( ) ( ) ], (8) wobei der Drehwinkel erhalten bleibt ( ), sofern Geschwindigkeitsgradienten vernachlässigbar sind. Aus den Halbachsen der Korrelationsfunktion und können die Parameter, der PDF berechnet werden:,. (9a), (9b) Die Berücksichtigung von Geschwindigkeitsgradienten führt zu einem deutlich komplizierterem Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion und der Korrelationsfunktion. In Scharnowski et al (211) ist eine analytische Lösung unter Berücksichtigung von angegeben. Ensemble-Korrelation bietet die Möglichkeit, für jeden Pixel eines Datensatzes eine Korrelationsfunktion zu berechnen (Gl. (3)), aus dieser die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion zu bestimmen (Gl. (9a) und (9b)) sowie die Reynold-Spannungen abzuschätzen (Gl. (6a) (6c)). Bemerkenswert ist, dass die Auflösung der auf Ensemble-Korrelation basierenden Methode für statistisch stabile Strömungen nicht von der Dichte der Partikelbilder abhängt. Um einen hinreichend glatten Korrelationspeak zu erhalten, ist lediglich eine gewisse Anzahl an DPIV- Bildern erforderlich, die wiederum (unter anderem) von der Partikelbilddichte abhängt.

5 Auflösungstest mit synthetischen DPIV-Bildern In diesem Abschnitt wird die verbesserte räumliche Auflösung für die Bestimmung der Reynolds-Normal- und Schubspannung demonstriert. Hierfür werden 1. synthetische DPIV-Bilder mit einer Siemensstern-förmigen Spannungsverteilung sowohl mit Single-Pixel Ensemble-Korrelation als auch mit Fenster-Korrelation ausgewertet. Die generierten Bilder haben eine Größe von, der Partikelbilddurchmesser beträgt und die Partikelbilddichte wurde so gewählt, dass 2% der Bildfläche beleuchtet sind. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit beträgt Null. Dennoch sind die Partikelbilder im jeweiligen zweiten Bild gegenüber dem ersten verschoben, um gewisse Geschwindigkeitsfluktuationen zu simulieren. Die Bewegungen der einzelnen Partikelbilder sind unkorreliert, dadurch werden sehr kleine turbulente Strukturen simuliert. Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Fluktuationen wird Gauß-förmig simuliert (wie in Gl. ()). Für die Parameter, und wurden folgende räumliche Verteilungen angenommen: ( ) [ ( ) ] [ ( ) ], (1a) ( ) und (1b) * ( ) +. (1c) Aus den Reynolds-Normalspannungen und wurde der Turbulenzgrad Tu berechnet, der für den 2-D Fall wie folgt definiert ist:. (11) Die Ergebnisse für den Turbulenzgrad und die Reynolds sche-schubspannung sind in Abb. 4 dargestellt, in der linken Spalte für die analytische Lösung, in der Mitte für Ensemble- Korrelation und rechts für Fenster-Korrelation. Dabei hatten die Auswertefenster eine Größe von und waren zu % überlappt. Obwohl die Single-Pixel Ergebnisse in der mittleren Spalte, besonders für kleine Turbulenzlevel, leicht verrauscht sind, ist deutlich zu erkennen, dass selbst kleinste Strukturen in der Bildmitte aufgelöst werden können. Die mit Fenster-Korrelation berechneten Werte hingegen zeigen eine wesentlich schlechtere räumliche Auflösung. Des Weiteren fällt auf, dass hier die Spannungswerte unterschätzt werden. Dies ist eine Folge der räumlichen Tiefpass- Filterung durch die Größe der Auswertefenster. Abbildung verdeutlicht den Einfluss der Fenstergröße. Für Turbulenzgrad und Schubspannung ist jeweils eine Schnittdarstellung bei für Ensemble-Korrelation sowie für Fenster-Korrelation mit den Fenstergrößen, und dargestellt. Während große Fenster die einzelnen Geschwindigkeitsvektoren über einen großen Bereich mitteln und folglich die Spannungen unterschätzen, führen kleinere Auswertefenster zu mehr Fehlvektoren und somit zu künstlich erhöhten Spannungen. Für den generierten Testfall mit sehr kleinen turbulenten Strukturen ist Fenster-Korrelation weniger zuverlässig zur Bestimmung der Reynolds-Spannungen. Ensemble-Korrelation hingegen liefert auch quantitativ gute Ergebnisse und überzeugt durch die enorm gesteigerte räumliche Auflösung.

6 Abb. 4: Reynolds Schubspannung (oben) und Turbulenzlevel (unten) für einen synthetischen Testfall: theoretische Werte sowie Ergebnisse berechnet mit Ensemble-Korrelation und Fenster-Korrelation. Abb. : Schnittdarstellung der Ergebnisse aus Abb. 4 für Fenster-Korrelation mit drei verschiedenen Größen der Auswertefenster sowie Single-Pixel Ensemble-Korrelation. Experimentelles Beispiel: runder Freistrahl Dieser Abschnitt zeigt, dass Ensemble-Korrelation auch für experimentelle Daten eines runden Freistrahls in Wasser wesentlich verbesserte räumliche Auflösung bei der Bestimmung der Reynolds-Schubspannung liefert. In Abb. 6 ist der Versuchsaufbau skizziert: ein Rohr mit einem Innendurchmesser von mm mündet in ein Wasserbecken mit einer Düse, deren engster Querschnitt mm ist. Die Strömungsgeschwindigkeit im Zentrum des Freistrahls direkt nach der Düse betrug etwa m/s Somit ergibt sich eine auf den Düsendurchmesser d bezogene Reynolds-Zahl von. DPIV-Daten wurden im Bereich direkt nach der Düse aufgenommen, da dieser Bereich Abb. 6: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus mit Laser-Lichtschnitt und Messbereich.

7 aufgrund seiner starken Gradienten und dünnen Scherschicht besonders interessant ist. Die Messungen wurden mit einer CMOS Hochgeschwindigkeitskamera (Phantom V12, Vision Research Inc.) zusammen mit einem mm Objektiv (Makro-Planar T* 2/1, Carl Zeiss AG) bei einem Arbeitsabstand von durchgeführt. Insgesamt wurden Doppelbilder der Größe mit einer Frequenz von Hz aufgenommen. Der Abbildungsmaßstab betrug, womit jeder Pixel des Kamerasensors einer Fläche von ( ) in der Messebene entspricht. Ein CW-Laser (Millennia, Spectra-Physics) mit W optischer Leistung und einer Wellenlänge von nm erzeugte einen µm breiten Lichtschnitt, mit dem µm große hohle Glaskugeln (Dantec Dynamics) beleuchtet wurden. Die Auswertung der DPIV-Daten ergab einen mittleren Partikelbilddurchmesser von px, wobei nur etwa 1% der Fläche beleuchtet war. Folglich sind im Mittel 1,3 Partikelbilder in einem Fenster. Abbildung 7 zeigt einen Vergleich der Reynolds-Schubspannungsverteilung berechnet mit Fenster-Korrelation sowie mit Ensemble-Korrelation. Die Fenster-Korrelation wurde mit einer Standardsoftware durchgeführt (DaVis, LaVision GmbH). Es wurde ein Algorithmus mit mehreren Durchgängen ausgewählt, wobei die Auswertefenstergröße von auf reduziert wurde. Somit konnten 2. Vektorfelder mit jeweils 384 unabhängigen Datenpunkten bestimmt werden. Abb. 7: Reynolds Schubspannungsverteilung und Geschwindigkeitsfelder für einen runden Freistrahl direkt nach der Düse, berechnet mit Fenster-Korrelation (links) sowie mit Ensemble-Korrelation (rechts). Für die auf Ensemble-Korrelation basierende Auswertung wurde der gleiche Datensatz benutzt. Es konnten Korrelationsfunktionen (eine für jeden Pixel) aus den Doppelbildern berechnet werden. Da die effektive räumliche Auflösung nicht 1 Pixel ist, sondern durch die Partikelbildgröße definiert wird (siehe Kähler 211), beträgt die Anzahl der unabhängigen Datenpunkte etwa (statt 384 im Fall der Fenster-Korrelation). In Abb. 8 ist ein Schnitt durch die Schubspannungsverteilungen aus Abb. 7 sowie die Auswertung mit zwei weiteren Fenstergrößen dargestellt. Der Vergleich von Fenster-Korrelation und Ensemble-Korrelation zeigt ähnliche Ergebnisse für die Schubspannungs- und Geschwindigkeitsverteilung. Es bilden sich zwei Scherschichten mit entgegengesetzten Schubspannungen sowie ein spiegelsymmetrisches Geschwindigkeitsfeld aus. Dies stimmt überein mit Ergebnissen von Wygnanski und Fiedler (1969), die im selbstähnlichen Bereich eines Freistrahls in Luft erhoben wurden. Abgesehen von den Gemeinsamkeiten gibt es aber auch signifikante Unterschiede: zum einen sind die Beträge der Spannung bei der Fenster-Korrelation Abb. 8: Schnittdarstellung der Ergebnisse aus Abb. 7 für X px.

8 wie erwartet wesentlich geringer und zum anderen können hier die starken Gradienten direkt nach der Düse nicht aufgelöst werden. Beide Phänomene lassen sich mit der zuvor diskutierten Tiefpasswirkung der Auswertefenster erklären und sind konsistent mit denen von simulierten Daten aus dem vorherigen Abschnitt (Spannungen) und in Kähler 211 (für Geschwindigkeitsbestimmung). Die Ergebnisse der Ensemble-Korrelation liefern nicht nur eine bessere räumliche Auflösung, sondern auch zuverlässigere Werte für Reynolds-Spannungen und mittlere Geschwindigkeit. Schlussfolgerungen Die vorliegende Arbeit zeigt, dass mit Hilfe der Ensemble-Korrelation aus DPIV-Daten neben der mittleren Geschwindigkeit auch Reynolds-Normal- und Schubspannungen mit Single- Pixel Auflösung berechnet werden können, sofern genügend DPIV-Bilder vorliegen. Gegenüber herkömmlicher Fenster-Korrelation bedeutet dies eine erhebliche Steigerung der räumlichen Auflösung sowie deren Dynamik um mehr als eine Größenordnung. Darüber hinaus führt die vorgestellte Methode nicht zu einer Tiefpassfilterung, sodass das gesamte turbulente Spektrum erfasst wird und Reynolds-Spannungen quantitativ zuverlässiger bestimmt werden können. Da die Auflösung bei Ensemble-Korrelation im Falle statistisch stabiler Strömung nicht durch die Partikelbilddichte beschränkt wird können mit dieser Methode auch Strömungsproblem untersucht werden, bei denen Verschmutzung oder Mehrphaseneffekte eine Rolle spielen. Eine geringe Dichte kann durch Erhöhung der Bildanzahl kompensiert werden. Diese Verbesserung ist von fundamentaler Bedeutung für die Analyse von Scherschichten und Grenzschichten bei hohen Geschwindigkeiten und Reynolds-Zahlen. Danksagung Das dargestellte Forschungsprojekt wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) im Rahmen des Sonderforschungsbereiches SFB TR4 (Technologische Grundlagen für den Entwurf thermisch und mechanisch hochbelasteter Komponenten zukünftiger Raumtransportsysteme) unterstützt. Literatur Kähler, C. J., Scharnowski, S., 211: On the resolution of Digital Particle Image Velocimetry, Ninth International Symposium on Particle Image Velocimetry, Kobe, Japan Kähler, C. J., Scholz, U., Ortmanns, J., 26: Wall-shear stress and near wall turbulence measurements up to single pixel resolution by means of long-distance micro-piv, Experiments in Fluids, Vol. 41, pp Raffel, M., Willert, C. E., Wereley, S.T., Kompenhans, J., 27: Particle Image Velocimetry, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg Scharnowski, S., Hain, R., Kähler, C. J., 211: Reynolds stress estimation up to single-pixel resolution using PIV-measurements, Experiments in Fluids, (eingeladen zur Veröffentlichung) Westerweel, J., Geelhoed, P.F., Lindken, R., 24: Single-pixel resolution ensemble correlation for micro-piv applications, Experiments in Fluids, Vol. 37, pp Wygnanski, I., Fiedler, H., 1969: Some measurements in the self-preserving jet, Journal of Fluid Mechanics, 38:77-612