Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen

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1 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen 21 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen 22 Die trigonometrischen und die Hyperbelfuntionen 23 Konvexe Funtionen und Ungleichungen 24 Approximation durch das Taylorpolynom; der Satz von Taylor und die Taylorreihe 25 Einseitige Differenzierbareit; Differenzierbareit von Funtionen auf beliebigen Teilmengen von R C 1

2 21 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen 21.1 n-malige Differenzierbareit und n-te Ableitung 21.4 Hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eines loalen Extremums 21.6 Konvergenzradius für Potenzreihen 21.8 Stetigeit der durch Potenzreihen definierten Funtionen Beliebig oftmalige Differenzierbareit der durch Potenzreihen definierten Funtionen Identitätssatz für Potenzreihen Eindeutigeit der Stammfuntion bis auf eine additive Konstante Die Potenzreihenentwiclung der Logarithmusfuntion Die Potenzreihenentwiclung der allgemeinen Potenzfuntion Schon beim Begriff der Beschleunigung (siehe auch die einführenden Betrachtungen des 18 taucht der Begriff der zweiten Ableitung auf, d.h. die Ableitung der Ableitung. Suzessiv lassen sich so höhere Ableitungen gewinnen. Wir definieren also indutiv die n-malige Differenzierbareit und die n-te Ableitung n-malige Differenzierbareit und n-te Ableitung Sei D R und f : D R. (i Es wird indutiv für n N 0 eine Menge D (n D und eine Funtion f (n : D (n R folgendermaßen definiert: Ist n 0, so setzt man D (0 : D und f (0 : f. Angenommen, für n N 0 sind D (n D und f (n : D (n R definiert. Dann setzt man D (n+1 : {t 0 D (n : f (n ist in t 0 differenzierbar} und f (n+1 (t 0 : (f (n (t 0 für t 0 D (n+1. [21] 1 C 1

3 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen (ii Für n N und t 0 D heißt f n-mal differenzierbar in t 0, wenn t 0 D (n ist. Die Funtion f (n : D (n R heißt die n-te Ableitung von f. Ist t 0 D (n, dann heißt f (n (t 0 die n-te Ableitung von f in t 0. (iii f heißt beliebig (oder unendlich oft differenzierbar in t 0, wenn f n-mal differenzierbar in t 0 für alle n N ist. (iv f heißt n-mal (beliebig oft differenzierbar, wenn f n-mal (beliebig oft differenzierbar für jedes t 0 D ist. Wegen f (0 f ist also nach 21.1(i D (1 {t D : f ist in t 0 differenzierbar}. Diese Bezeichnung ist also mit der Bezeichnung in 18.1(iii onsistent. Wegen f (0 f ist f (1 f. Entsprechend schreibt man für f (2 (f auch f und für f (3 auch f usw.. Man ann sich sofort per Indution überzeugen, daß für, n N 0 gilt: (D (n ( D (n+, (f (n ( f (n+. Ist f in t 0 n-mal differenzierbar, so ist nach Definition f (n 1 in t 0 differenzierbar, insbesondere ist also t 0 innerer Punt von D (n 1 ; es existiert also die (n 1-te Ableitung in einer Umgebung von t 0. Erst recht existieren also alle Ableitungen f ( für n 1 in dieser Umgebung von t 0. Nach Definition existiert die n-te Ableitung f (n einer beliebigen Funtion f : D R. Es ann jedoch schon D (1 sein, d.h. f ist in einem Punt von D differenzierbar. In diesem Fall sind alle f (n für n N die leere Abbildung Beliebig oftmalige Differenzierbareit von Polynomen und rationalen Funtionen (i (ii Ist P ν0 α νx ν ein Polynom, so ist P beliebig oft differenzierbar. Es gilt: P (n νn (ν nα ν x ν n für 1 n und P (n 0 für n >. Jede rationale Funtion ist (auf ihrem Definitionsbereich beliebig oft differenzierbar. Beweis. (i Mit Indution nach n N. (A Nach 18.4(i und der anschließenden Bemerung (beachte (ν 1 ν. C 1 [21] 2

4 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen (S Ist n >, so ist P (n 0 und daher P (n+1 (P (n 0. Ist n, so (I.V. gilt P (n+1 (P (n νn+1 (ν n(ν nα ν x ν n Insgesamt gilt also die Aussage für n + 1. νn+1 (ν n+1α ν x ν (n+1 ( 0 für n. (ii Nach 18.4(ii ist eine rationale Funtion auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar. Nun ist die Ableitung einer rationalen Funtion Q P gegeben durch: ( Q P P Q P Q. 18.2(v Q 2 Die Ableitung ist also wieder eine rationale Funtion mit gleichem Definitionsbereich wie die ursprüngliche rationale Funtion. Mit Indution erennt man daher, daß eine rationale Funtion beliebig oft differenzierbar ist Beliebig oftmalige Differenzierbareit der allgemeinen Exponentialfuntion bzw. Potenzfuntion und der allgemeinen Logarithmusfuntion (i Sei a R +. Dann ist a x beliebig oft differenzierbar, und es gilt für n N : (a x (n a x (ln(a n. (ii Sei b R. Dann ist die Funtion x b : R + R beliebig oft differenzierbar, und es gilt: (iii (x b (n (b n x b n. Sei a R + \ {1}. Dann ist log a (x beliebig oft differenzierbar, und es gilt: (log a (x (n ( 1 n 1 1 x n ln(a. Beweis. Alle drei Beweise erfolgen indutiv für n N. (i (A (a x (1 (a x 18.7 a x (ln(a 1, (S (a x (n+1 ((a x (n (I.V. (a x (ln(a n 18.7 a x ln(a(ln(a n a x (ln(a n+1. (ii (A (x b (1 (x b 18.11(ii bxb 1 (b 1 x b 1. (S (x b (n+1 ((x b (n (I.V. ((b n x b n 18.11(ii (b n(b nx b n 1 (b n+1x b (n [21] 3 C 1

5 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen (iii (A (log a (x (1 (log a (x 1 x (i ln(a ( x 1 ln(a. (S (log a (x (n+1 ((log a (x (n (( 1 n 1 1 x n ln(a ( 1 n 1 ( n 1 x n+1 ln(a ( 1 n 1( 1 (n 1 1 x n+1 ln(a ( 1 1 n 3.17 x n+1 ln(a. Notwendig dafür, daß eine im Punte t 0 differenzierbare Funtion ein loales Extremum besitzt, ist f (t 0 0. Die in 19.5 angegebene zusätzliche Bedingung, die die Existenz eines loalen Extremums sicherstellt, ist erfüllt, wenn die zweite Ableitung in t 0 existiert und 0 ist: 21.4 Hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eines loalen Extremums Sei f : D R und f in t 0 zweimal differenzierbar mit f (t 0 0. Gilt dann (i (ii f (t 0 > 0, so hat f in t 0 ein strites loales Minimum. f (t 0 < 0, so hat f in t 0 ein strites loales Maximum. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine Umgebung von t 0, in der f differenzierbar ist. Nach 19.5 reicht es daher zu zeigen: (i f ist in t 0 streng wachsend; dies folgt aber wegen (f (t 0 > 0 aus 18.13(i, angewandt auf f an Stelle von f und D (1 an Stelle von D. (ii folgt entsprechend mit 18.13(ii. Wir haben in 21.2 und 21.3 gesehen, daß alle rationalen Funtionen, die allgemeine Exponentialfuntion, die allgemeine Potenzfuntion und die allgemeine Logarithmusfuntion beliebig oft differenzierbar sind. Wir werden im folgenden zeigen, daß auch jede durch eine Potenzreihe dargestellte Funtion beliebig oft differenzierbar ist. Wir untersuchen als erstes die Konvergenzmenge (siehe 20.1 einer Potenzreihe. Diese Konvergenzmenge erweist sich als ein Intervall oder ein Punt. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funtion ist auf der gesamten Konvergenzmenge stetig und im Innern der Konvergenzmenge beliebig oft differenzierbar. Die Ableitungen erhält man durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe. Potenzreihen sind spezielle Reihen n0 f n mit Funtionen f n a n (x t 0 n. Wir önnen daher für Beweise über Potenzreihen insbesondere die Ergebnisse des 20 anwenden. Zunächst aber eine Umformulierung des Wurzelriteriums, die sich im Satz über den Konvergenzradius von Potenzreihen als nützlich erweisen wird. C 1 [21] 4

6 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen 21.5 Umformulierung des Wurzelriteriums (i (ii Sei 0 b eine Reihe. Ist lim b < 1 (bzw. > 1, so ist die Reihe 0 b absolut onvergent (bzw. divergent. Ist α R +, so gilt für jede Folge (b n n N0 lim(α b n α lim b n. Beweis. (i Nach 13.13(ii gibt es ein q ]0, 1[ (bzw. q > 1 mit sup{ b : n} q für n n 0, (bzw. sup{ b : n} > 1 für n n 0. Also ist n b n q für fast alle n mit q ]0, 1[ (bzw. n b n 1 für unendlich viele n. Die Behauptung folgt daher aus 10.3(i (bzw. 10.3(ii. (ii lim(αb n 13.13(ii lim n (sup({α b : n} lim n (α sup{b : n} 13.16(iv α lim n (sup{b : n} 13.13(ii α lim b n Konvergenzradius für Potenzreihen Sei 0 a (x t 0 eine Potenzreihe mit Mittelpunt t 0. (i Es existiert genau ein r [0, ], so daß für t R gilt: { 0 a (t t 0 onvergent für t t0 < r, ist divergent für t t 0 > r. (ii a 0 a (t t 0 ist für t t 0 < r absolut onvergent. b Für jedes r 1 mit 0 < r 1 < r ist 0 a (x t 0 auf [t 0 r 1, t 0 + r 1 ] normal und somit insbesondere gleichmäßig onvergent. (iii Die Zahl r in (i heißt Konvergenzradius der Potenzreihe 0 a (x t 0. r ist gleich für lim a 0 und sonst gleich 1/lim a. (iv Sind fast alle a 0 und existiert lim a /a +1 in R, so ist r lim a /a +1. Beweis. (i,(ii(a,(iii Zur Eindeutigeit von r in (i seien indiret r 1, r 2 zwei verschiedene Elemente von[0, ], für die beide die in (i angegebenen Bedingungen erfüllt sind. Sei o.b.d.a. r 1 < r 2 und wähle r mit r 1 < r < r 2. [21] 5 C 1

7 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen Wegen t 0 + r t 0 > r 1 müßte dann 0 a ((t 0 + r t 0 divergent, wegen (t 0 + r t 0 < r 2 aber onvergent sein. Dieser Widerspruch zeigt, daß es höchstens ein r mit den in (i angegebenen Eigenschaften gibt. Sei nun t R mit 0 < t t 0 < 1/lim a (mit 1/lim a für lim a 0 gegeben. Dann gilt lim a (t t (ii t t 0 lim a < 1, und somit ist 0 a (t t 0 nach 21.5(i absolut onvergent. Somit gilt (ii(a und der erste Teil von (i. Betrachte jetzt t R mit t t 0 > 1/lim a. Dann ist lim a > 0 und somit 1 < t t 0 lim a lim a (t t 0. Nach 21.5(i folgt daher 21.5(ii die Divergenz von 0 a (t t 0. Somit genügt r 1/lim a den in (i angegebenen Bedingungen. Insgesamt ist damit (i bewiesen. Da die Eindeutigeit eines den beiden Bedingungen genügenden r schon gezeigt worden war, folgt somit auch (iii. (ii(b Setzt man b n : a n r1 n, so ist nach (iia (setze t : t 0 + r 1 die Reihe n0 b n onvergent. Da mit f n (t : a n (t t 0 n gilt: f n (a b n für alle a D : [t 0 r 1, t 0 + r 1 ], folgt die Konvergenz von n0 f n D nach dem Majorantenriterium. Nach Definition ist daher n0 a n(x t 0 n normal und somit insbesondere gleichmäßig onvergent auf [t 0 r 1, t 0 + r 1 ] (siehe 20.8(i. (iv Es reicht nach (i zu zeigen: (1 0 < t t 0 < lim a /a +1 0 a (t t 0 onvergent, (2 t t 0 > lim a /a +1 0 a (t t 0 divergent. Nun gilt: (3 lim a +1 /a 1/ lim a /a +1. (Im Fall lim a /a +1 > 0 folgt (3 aus 13.16(v, im Fall lim a /a +1 0 folgt (3 unter Benutzung von a /a +1 > 0 für fast alle. Zu (1: Ist nun 0 < t t 0 < lim a /a +1, so gilt: lim a +1(t t 0 +1 a (t t 0 t t 0 lim a +1 a 13.16(iv < 1. (3 Somit folgt die Konvergenz von 0 a (t t 0 nach der Folgerung aus dem Quotientenriterium für Reihen (siehe Zu (2: Ist nun t t 0 > lim a /a +1, so gilt: lim a +1 (t t 0 +1 a (t t 0 t t 0 lim a +1 a 13.16(iv > 1. (3 Wiederum 10.5 liefert die Divergenz von 0 a (t t 0. C 1 [21] 6

8 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen 21.7 Konvergenzintervall und eventuelle Konvergenz in den Randpunten (i Die durch die Potenzreihe 0 a (x t 0 definierte Funtion besitzt als Definitionsbereich K die einpuntige Menge {t 0 } oder ein Intervall. Ist r der Konvergenzradius der Potenzreihe, so gilt: ]t 0 r, t 0 + r[ K ]t 0 r, t 0 + r[ {t 0 r, t 0 + r}. Ist r 0, so heißt die Potenzreihe nirgends onvergent, ist r, so heißt die Potenzreihe beständig onvergent. Generell heißt K das Konvergenzintervall 0 a (x t 0. der Potenzreihe (ii Ist r R +, so ann die Potenzreihe 0 a (t t 0 in beiden Randpunten t 0 r, t 0 + r onvergent, in einem Randpunt onvergent und in dem anderen divergent, oder in beiden Randpunten divergent sein. Beweis. (i Ist r 0, so onvergiert die Potenzreihe nach 21.6(i höchstens für t t 0. Da jede Potenzreihe für t t 0 onvergent ist, ist somit K {t 0 }. Der Fall r > 0 folgt aus 21.6(i. (ii Wegen lim n 1 1, lim n 1 n lim n 1 n 1 (siehe 7.21(iii und lim n 1 n 2 lim n 1 n lim n 1 n 1 besitzen die Reihen n1 xn, n1 xn n, n1 xn den n 2 Konvergenzradius 1 (nach 21.6(iii. Die erste Potenzreihe ist in beiden Randpunten divergent. Die zweite ist im Punte 1 divergent (siehe 7.21(viii im Punte 1 onvergent (siehe das Leibniz-Kriterium Die dritte Potenzreihe ist im Punte 1 und 1 onvergent (benutze die Konvergenz von n1 1 nach 17.8(i. n 2 Der Konvergenzradius r 0 bzw. r ann auftreten: n1 nn x n ist eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 0. n0 xn n! ist überall onvergent und stellt die Exponentialfuntion dar (siehe 10.12, der Konvergenzradius ist daher. Also ist lim n 1 0 und daher lim n n!. n! 21.8 Stetigeit der durch Potenzreihen definierten Funtionen Sei f durch eine Potenzreihe definiert. Dann ist f auf dem gesamten Konvergenzintervall K loal gleichmäßig onvergent und somit insbesondere stetig. [21] 7 C 1

9 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen Beweis. Ist r 0, d.h. K {t 0 }, so ist nichts zu beweisen. Da die Funtionen a n (x t 0 n stetig sind, reicht es wegen 20.15(ii, die loal gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen. Um jeden Punt von ]t 0 r, t 0 + r[ gibt es aber (benutze 21.6(ii b eine Umgebung, auf der die Potenzreihe gleichmäßig onvergiert. Somit ist für den Fall r alles bewiesen. Sei nun r R +, dann ist, wenn die Potenzreihe in t 0 + r (bzw. t 0 r onvergent ist, die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe über K U mit einer Umgebung von t 0 + r (bzw. t 0 r nachzuweisen. Wir betrachten nun nur den Fall t 0 + r (der Fall t 0 r folgt analog. Ist die Potenzreihe im Punte t 0 + r onvergent, also n0 a nr n onvergent, so ist die Potenzreihe auf [t 0, t 0 + r] gleichmäßig onvergent (siehe U ]t 0, t 0 + 2r[ ann daher z.b. als Umgebung von t 0 + r gewählt werden Konvergenzradius der durch gliedweise Differentiation gebildeten Potenzreihe Die Potenzreihe 0 ( + 1a +1(x t 0 hat denselben Konvergenzradius wie 0 a (x t 0. Beweis. Zu zeigen ist (siehe 21.6(iii: (1 lim a lim ( + 1 a +1. Wir zeigen hierzu (2 lim a lim a +1, (3 lim + 1 1, (4 lim ( + 1 a +1 lim a +1. Aus (2 und (4 folgt (1. Zu (2: Es ist für t t 0 0 a +1(t t 0 vgt. 9.9(iii 0 a +1(t t 0 +1 vgt. 1 a (t t 0 vgt. 0 a (t t 0 vgt. 9.13(i 9.8(i Der Konvergenzradius von 0 a +1(x t 0 ist also derselbe wie der Konvergenzradius von 0 a (x t 0. Aus 21.6(iii folgt daher (2. Zu (3: Da 1 (siehe 7.21(iii, reicht es +1 aus (benutze 7.21(iii und Zu (4: Es reicht, in (4 zu zeigen und hierzu für ε R + (5 lim ( + 1 a +1 (1 + εlim a +1. Nun gibt es nach (3 ein n 0 mit ( ε für alle n0. 1 zu zeigen. Dies folgt C 1 [21] 8

10 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen Daher ist für alle n n 0 (7 sup{ ( + 1 a +1 : n} (1 + ε sup{ a +1 : n}. (6 Aus (7 folgt mit n (5 (benutze 13.13(ii. Der folgende Satz zeigt nun, daß eine Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzintervalls beliebig oft differenzierbar ist. Die Ableitung der Potenzreihe gewinnt man dadurch, daß man die Glieder der Potenzreihe - also die Polynome - einzeln differenziert. Insbesondere ist also die Ableitung einer Potenzreihe wieder eine Potenzreihe Beliebig oftmalige Differenzierbareit der durch Potenzreihen definierten Funtionen Sei f die durch die Potenzreihe 0 a (x t 0 mit positivem Konvergenzradius definierte Funtion. f ist in allen Punten von K beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen gilt für t K und n N : (i f (t 1 a (t t ( + 1a +1(t t 0 ; (ii f (n (t n ( na (t t 0 n 0 ( + n na +n (t t 0. Ferner ist a n für n N 0 gegeben durch: a n f (n (t 0 n!. Beweis. Wir zeigen später: Ist r > 0 der Konvergenzradius von 0 a (x t 0 und g(t : 0 a (t t 0 für t ]t 0 r, t 0 + r[, so ist (1 r der Konvergenzradius von 0 ( + 1a +1(x t 0, (2 g für t ]t 0 r, t 0 + r[ differenzierbar, (3 g (t 0 ( + 1a +1(t t 0 für jedes t ]t 0 r, t 0 + r[. Nun ist g f ]t 0 r, t 0 + r[, und somit ist f nach (2 in allen Punten von ]t 0 r, t 0 + r[ differenzierbar mit (benutze auch 18.8 f (t 18.8 g (t (3 0 ( + 1a +1(t t a (t t 0 1. Also folgt hieraus zunächst (i. Wendet man nun (1, (2, (3 an auf f (t 0 ( + 1a +1(t t 0 für t ]t 0 r, t 0 + r[, wobei r der Konvergenzradius von 0 ( + 1a +1(x t 0 ist, so ist (setze a : ( + 1a +1 (1 r der Konvergenzradius von 0 ( + 1a +1(x t 0 0 ( + 2( + 1a +2(x t 0, (2 f für t ]t 0, r, t 0 + r[ differenzierbar, (3 f (t 0 ( + 2( + 1a +2(t t 0 für jedes t ]t 0 r, t 0 + r[. [21] 9 C 1

11 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen Wegen 0 ( + 2( + 1a +2(t t 0 0 ( + 2 2a +2 (t t ( 2a (t t 0 2 folgt dann (ii für n 2. n-malige Anwendung (exat mit Indution liefert daher, f ist n-mal differenzierbar in ]t 0 r, t 0 + r[ mit f (n (t (3 0 ( + n... ( + 1a +n(t t 0 0 ( + n na +n (t t n ( na (t t 0 n. Somit gilt (ii und f ist beliebig oft differenzierbar auf K ]t 0 r, t 0 + r[. Für t t 0 gilt f (n (t 0 (n n a n n!a n, d.h. a n f (n (t 0 n!. Es verbleibt daher (1 (3 zu zeigen. Satz 21.9 liefert (1. Zum Nachweis von (2 und (3 soll Satz verwandt werden. Setze für die Anwendung von zunächst I : ]t 0 r, t 0 + r[ und f (t : a (t t 0 für N 0 und t I. Dann ist g(t : 0 f (t für t I und 0 f (t 1 a (t t (+1a +1(t t 0 ist nach 21.8 (benutze (1 loal gleichmäßig onvergent auf I. Nach 20.18(i folgt daher (2 und aus 20.18(iii daher (3. Ein Polynom n-ten Grades ist durch Werte an (n + 1 Stellen eindeutig bestimmt (siehe 6.4(ii. Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius verhalten sich in vielem ähnlich wie Polynome, z.b. sind sie wie diese beliebig oft differenzierbar. Ist eine Potenzreihe daher durch abzählbar unendlich viele Werte des Konvergenzintervalls eindeutig bestimmt? Die Sinusfuntion, die wir im nächsten Paragraphen als Potenzreihe mit Konvergenzradius r einführen, verschwindet jedoch an abzählbar unendlich vielen Stellen, ohne identisch Null zu sein. Die Vermutung, daß eine Potenzreihe durch abzählbar unendlich viele Werte eindeutig bestimmt ist, trifft jedoch dann zu, wenn diese abzählbar unendlich vielen Stellen sich im Entwiclungspunt t 0 der Potenzreihe häufen. Genauer gilt: Identitätssatz für Potenzreihen Seien 0 a (x t 0 und 0 b (x t 0 zwei Potenzreihen mit jeweils positivem Konvergenzradius. Gibt es eine gegen t 0 onvergierende Folge (t n n N mit t n t 0 und 0 a (t n t 0 0 b (t n t 0 für alle n N, dann ist a b für N 0. Insbesondere reicht also die Übereinstimmung von 0 a (x t 0 und 0 b (x t 0 auf einer beliebigen Umgebung von t 0 aus, um auf a b für alle N 0 schließen zu önnen. C 1 [21] 10

12 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen Beweis. Wir beweisen indutiv a l b l für l N 0. (A Da die durch Potenzreihen dargestellten Funtionen im Konvergenzintervall stetig sind (siehe 21.8, gilt: a 0 lim n 0 a (t n t 0 lim n 0 b (t n t 0 b 0. Vor. (S Nach Indutionsvoraussetzung haben wir a 0 b 0,..., a l b l. Daher folgt aus der Voraussetzung 0 a (t n t 0 0 b (t n t 0 zunächst l+1 a (t n t 0 l+1 b (t n t 0 (benutze 9.8(ii und dann l+1 a (t n t 0 l 1 l+1 b (t n t 0 l 1 (benutze 9.9(iii. Also gilt 0 a +(l+1(t n t 0 0 b +(l+1(t n t 0. Die Potenzreihen 0 a +(l+1(x t 0 und 0 b +(l+1(x t 0 besitzen also insbesondere positiven Konvergenzradius. Wie in (A folgt daher a l+1 b l+1. Gilt z.b. für alle t aus einer Umgebung von t + 9t 2 0 a t, so ist a 0 10, a 1 7, a 2 9 und a 0 für Eindeutigeit von Stammfuntionen bis auf eine additive Konstante Sei I ein Intervall. Seien F, G : I R stetig und es gelte F (t G (t für alle t I. (i Dann gibt es ein c R mit F G + c, d.h. also mit F (t G(t + c für alle t I. (ii Ist für ein t 0 I außerdem F (t 0 G(t 0, so gilt F G. Beweis. (i f : F G : I R ist stetig, und es gilt f (t F (t G (t 0 für alle t I nach Voraussetzung. Nach 19.4(i gibt es daher ein c R mit f(t c für alle t I, d.h. F (t G(t + c für alle t I. (ii nach (i ist c F (t 0 G(t 0 0. Als Anwendung von und erhalten wir Potenzreihenentwiclung der Logarithmusfuntion (i (ii Für jedes t ] 1, 1] gilt: ln(1 + t ( t t t2 2 + t3 3 t Insbesondere ist ln(2 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5.... Für jedes t ] 1, 1[ gilt: ln( 1+t 1 t 2 0 t (t + t3 3 + t5 5 + t [21] 11 C 1

13 Beweis. (i Betrachte zur Anwendung von Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen (1 F (t : ln(1 + t für t ] 1, 1] : I (2 G(t : ( t für t I. Dann gilt: (3 F ist stetig, F (t 1+t 1 für t I. Wegen ( ist 1 der Konvergenzradius von 1 ( 1 1 t (siehe 21.6 (iii. Da nach dem Leibnizschen Kriterium G(1 existiert (siehe 9.14, ist (benutze 21.8 und 21.10: (4 G stetig; (5 G (t 0 ( 1 t für t I. Nun ist für t I ] 1, 1[: (6 0 ( 1 t 0 ( t (v 1 ( t 1+t 1. Aus (3, (5 und (6 folgt daher (7 F (t G (t für t I. Ferner ist (8 F (0 (1 ln(1 0 (2 G(0. Aus (3, (4, (7 und (8 folgt nach 21.12(ii nun F G, d.h. es gilt (i wegen (1 und (2. (ii Da mit t ] 1, 1[ auch t ] 1, 1[ ist, folgt nach (i ln(1 + t 1 Hieraus erhält man (ii wegen ln( 1+t 1 t 17.1 ( 1 1 t, ln(1 t ( ( t. ln(1 + t ln(1 t t t ( 1 1 (1 ( 1 t Aus ergibt sich natürlich sofort eine Potenzreihenentwiclung von ln(t für t ]0, 2] nämlich ln(t ( (t 1 für t ]0, 2] (setze in für 1 + t zunächst t ein, lasse dann den Strich weg. C 1 [21] 12

14 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funtionen, Potenzreihen Die Potenzreihenentwiclung der allgemeinen Potenzfuntion; die Binomialreihe (i (ii Sei b R. Dann heißt die Potenzreihe 0 x die Binomialreihe zum Exponenten b. Für b N 0 ist x (1 + x b b 0 0 x. Für b R \ N 0 ist der Konvergenzradius der Potenzreihe gleich 1, und es gilt für t ] 1, 1[ (1 + t b 0 t. Für b R und t ]0, 2[ gilt: t b 0 (t 1. Beweis. (i Für b N 0 gilt für alle t R (1 + t b b t 0 t. 3.18(iii Sei nun b R \ N 0. Dann ist b(b 1 (b ( und daher ( b ( b b 1. Also ist der Konvergenzradius von 0 t gleich 1 (benutze 21.6(iv. Setzt man somit (1 f(t : 0 t für t ] 1, 1[, so ist f nach differenzierbar mit (2 f (t 0 ( t 0 b 1 t für t ] 1, 1[, (+ wobei (+ aus +1 b(b 1 ((b 1 ( 1 ( b 1 folgt. Aus (2 folgt durch Multipliation mit (1 + t (1 + tf (t b( 1 0 t + Somit gilt: 9.8, (i 3.18(i (1 b + b( 1 1 b + b( 1 [ 1 b + b( 1 bf(t. 1 0 t + 1 ( + b 1 t t 1 ]t t b( t (3 (1 + tf (t bf(t für t ] 1, 1[. [21] 13 C 1

15 Mehrfache Differenzierbareit und Potenzreihen Aus der Kettenregel für differenzierbare Funtionen (siehe 18.6 und der Differenzierbareit der allgemeinen Potenzfuntion (siehe 18.11(ii folgt, für die durch (4 g(t (1 + t b, t ] 1, 1[ definierte Funtion, g (t b(1 + t b 1, t ] 1, 1[ also (5 (1 + tg (t bg(t für t ] 1, 1[. Da g(t 0 für t ] 1, 1[ ist, ist nach (5 auch g (t 0 für t ] 1, 1[. Division von (3 durch (5 liefert dann f (t/g (t f(t/g(t für t ] 1, 1[. Also ist ( f g (t f (tg(t f(tg (t g 2 (t 0 für t ] 1, 1[. Daher ist (f/g(t c für t ] 1, 1[ (siehe 19.4(i, und somit ist wegen f(0 1 g(0 auch f(t g(t für t ] 1, 1[. Aus (1 und (4 folgt daher die Behauptung. (ii Nach (i gilt für alle b R und t ] 1, 1[ (6 (1 + t b 0 t. Setze man nun t : 1 + t, so folgt aus (6: d.h. es gilt (ii. t b 0 (t 1 für alle t ]0, 2[, C 1 [21] 14