Schaubilder von Funktionen

Transkript

1 Schaubilder von Funktionen Das Buch: Dieses Kapitel ist Teil eines Buches. Das vollständige Buch können Sie unter bestellen (falls Sie das möchten). Sie werden in diesem Buch ein paar Sachen finden, die nicht aus dem Internet herunter geladen werden können. Dazu gehören: Inhaltsverzeichnis, Stichwortverzeichnis, und viele Aufgaben zum Selberrechnen. Die Strukturierung: Die Struktur und die Nummerierung des Buches (und somit dieses Kapitels) ist genau gleich wie die von, von welcher Sie diese Datei vermutlich bezogen haben. Somit können Sie recht einfach zwischen Lernfilmen der MatheSeite und den schriftlichen Erklärungen des Buches hin- und her springen. Auf diese eise sollten Sie sich (hoffentlich) optimal vorbereiten können. Nutzungsbedingung: Sie können diese Datei gerne beliebig für den eigenen Gebrauch verwenden. Nicht gestattet sind Änderungen sowie kommerzielle Nutzung. Havoni 07

2 Schaubilder von Funktionen A.7 Schaubilder von Funktionen A.7.0 Standard-Funktionen ( ) Es gibt sechs Tpen von Funktionen, von denen Ihr wissen solltet, wie sie in etwa aussehen. Die letzten zwei Funktionstpen sind nicht etrem wichtig. ganzrationale Funktionen (Parabeln ten, 3ten,.. Grades) e-funktionen trigonometrische Funktionen Hperbeln ( einfache gebrochen-rationale Funktionen ) urzel-funktionen Logarithus-Funktionen Kreis- und Ellipsenfunktionen Glockenkurven Die Quadranten: [sind zwar keine Funktionen, sind aber trotzdem wichtig] Die Koordinatenebene wird von der - und -Achse in vier Felder eingeteilt. Diese Felder heißen Quadranten. Der erste Quadrant befindet sich rechts oben, dann wird im mathematischen Richtungssinn [also gegen den Uhrzeigersinn] bis zum vierten Quadranten weiter durchnummeriert..quadrant.quadrant 3.Quadrant 4.Quadrant = -. inkelhalbierende =. inkelhalbierende Die erste und zweite inkelhalbierende: Die erste inkelhalbierende hat die Gleichung =. Die zweite inkelhalbierende hat die Gleichung =-. Havoni 07

3 Schaubilder von Funktionen 3 Ganzrationale Funktionen bzw. Parabeln [nicht nur. Ordnung] Ganzrationale Funktionen haben keine Asmptoten. [eder senkrechte, noch waagerechte, noch sonstwelche, sie nähern sich also keiner Gerade an.] Für ± [also weit links und weit rechts im Schaubild] gehen die Funktionswerte immer gegen ±. [Also ganz runter oder ganz hoch] durchgezogene Linie: oder 4 oder 6... gepunktete Linie: - oder - 4 oder durchgezogene Linie: 3 oder 5 oder 7... gepunktete Linie: - 3 oder - 5 oder Üblicherweise haben ganzrationale Funktionen mehrere Etrempunkte. Normalerweise gibts einen Etrempunkt weniger als die höchste Potenz. [Es können jedoch auch noch weniger sein.] Eine Funktion 3. Grades kann also bis zu Etrempunkten haben, eine Funktion 4. Grades kann also bis zu 3 Etrempunkten haben, eine Funktion 5. Grades kann also bis zu 4 Etrempunkten haben, etc. f() = a f() = a f() = a Havoni 07

4 4 Schaubilder von Funktionen Hperbel-Funktionen [einfache gebrochen-rationale Funktionen] Hperbeln sind die Vorstufe von gebrochen-rationalen Funktionen. Man erkennt Hperbeln natürlich am Vorhandensein von senkrechten Asmptoten. durchgezogene Linie: durchgezogene Linie: oder oder oder oder gestrichelte Linie: gestrichelte Linie: oder 3 oder 5 oder 4 oder 6 urzel-funktionen urzelfunktionen haben die Form von halben quadratischen Parabeln, die auf der Seite liegen. Hauptmerkmal ist jedoch, dass urzeln in einem ganz bestimmten Punkt beginnen [hier in der Zeichnung beginnen alle im Ursprung] und es gibt sie nur auf der einen Seite [also nur links oder rechts von diesem Punkt]. Auf der anderen Seite gibt es keine Funktion [liegt an der Definitionsmenge]. f()= D={ 0} f()= D={ 0} f()= D={ 0} f()= D={ 0} Havoni 07

5 Schaubilder von Funktionen 5 Logarithmus-Funktionen Logarithmus-Funktionen haben als tpisches Merkmal eine senkrechte Asmptote und sind nur auf einer Seite davon definiert [also nur links davon oder nur rechts davon]. f()=ln(-) D={ <0} f()=ln() D={ >0} f()=-ln(-) D={ <0} f()=-ln() D={ >0} e - e e-funktionen e-funktionen nähern sich im Normalfall entweder links oder rechts einer waagerechte Asmptote [sehr oft die -Achse], auf der anderen Seite gehen die -erte nach + oder nach -. Es gibt selbstverständlich auch alle möglichen Ausnahmen, die muss man aber nicht aus dem Schaubild erkennen können. -e - -e Es gibt noch zwei Funktionen, die nicht so sehr zu den grundlegenden Funktionen gehören, auf die Sie aber trotzdem immer wieder stoßen werden, daher gebührt ihnen die Ehre, hier erscheinen zu dürfen. Havoni 07

6 6 Schaubilder von Funktionen Die Kreisfunktion Es gibt eine Funktion, die einen Kreis beschreibt [eigentlich beschreibt sie nur den oberen Halbkreis]: = r² ². Das ist ein Halbkreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Ursprung. Der untere Halbkreis hat dementsprechend die Form: = r² ². = r ² ² Liegt der Mittelpunkt nicht im Ursprung, sondern z.b. in M(a b), so lautet die Gleichung des oberen bzw. unteren Halbkreises: = r² ( a)² +b bzw. = r² ( a)² +b. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt in O(0 0) hat die Form: ² + ² =. a² b² Hierbei ist a die Halbachse [=halbe Durchmesser] in -Richtung, b ist die Halbachse in -Richtung. = r ² ² Die Glockenkurve (auch Gaußsche Glockenkurve) [Ist nicht sooo arg wichtig.] Es gibt nur wenige stetige Kurven, die achsensmmetrisch sind und eine waagerechte Asmptote haben. Die eine Funktion ist: f()= e ². Man kann die Breite, die Höhe und die senkrechte Lage durch drei Parameter a, b und c variieren: f()= b e a ² +c. Die gleiche Funktion kann man auch erhalten, wenn man keine e-funktion verwendet, sondern eine Bruchfunktion: f()= ²+. Die Form kann variiert werden durch die Parameter a, b und c, welche die Breite, die Höhe und die senkrechte Lage der Funktion verändern: f()= b ²+a². So. Jetzt wissen Sie mehr, als nötig. Herzlichen Glückwunsch! Havoni 07

7 Schaubilder von Funktionen 7 A.7.0 Zuordnung von Schaubildern ( ) enn man Schaubilder gegeben hat, die man diversen Funktionsgleichungen zuordnen soll oder man hat Schaubilder gegeben von denen man die Funktionsgleichung bestimmen soll, geht man in Gedanken alle Schaubilder der Grundfunktionen durch und überlegt ob man durch Streckungen, Verschiebungen oder Spiegelungen auf das gegebene Schaubild kommen kann. [Streckungen, Verschiebungen oder Spiegelungen: siehe Kap.A.3.] Aufgabe Ordnen Sie die drei Schaubilder den Funktionsgleichungen zu! f() = a ln(+3) g() = +b c h() = +d Bestimmen Sie die Parameter a,b,c und d! Abb. - - Abb. Lösung auf Seite 8. Abb. Abb.3 Abb. Abb. - - Abb. Aufgabe Ordnen Sie die drei Schaubilder den Funktionsgleichungen zu! f() = 3 ln(a ) g() = b (+c) h() = d e Bestimmen Sie die Parameter a,b,c und d! Abb.3 Lösung auf Seite 8. Aufgabe 3 Ordnen Sie die drei Schaubilder den Funktionsgleichungen zu! f() = a b +c g() = d (+e) (+f) h() = g e (+)² +h Bestimmen Sie die erte aller Parameter! Abb. Abb. - - Lösung auf Seite 9. Abb.3 Havoni 07

8 8 Schaubilder von Funktionen Lösung von Aufgabe (von Seite 7): Abb. ist zweigeteilt und hat offensichtlich zwei Asmptoten: eine waagerechte bei Abb. = und eine senkrechte bei =. Senkrechte Asmptoten und Zweiteilungen von Funktionen sind tpisch Abb. für gebrochen-rationale Funktionen. - Daher gehört Abb. zu g(). - Um die Parameter zu bestimmen, verwendet man Informationen der Kurve. Z.B. die senkrechte Asmptote bei =. Abb. Abb.3 Man berechnet senkrechte Asmptoten, indem man den Nenner Null setzt c =0. Da = gilt, erhält man: c =0 c= g()= +b. Eine weitere Information sind Punkte, durch die das Schaubild der Kurve verläuft. Z.B. verläuft die Kurve durch den Punkt O(0 0). =0 und =0 in g() einsetzen 0= 0+b 0 0=- b 0=b. Abb. zeigt eine Funktion, die im Punkt P(-5 -) beginnt. Nur urzelfunktionen beginnen in einem bestimmten Punkt. Abb. beschreiben daher das Schaubild von h(). Um den Parameter d zu bestimmen, setzen wir einfach einen Punkt des Schaubilds ein. Es gibt mehrere Punkte von h(), die man gut ablesen kann, z.b. P(-5 -): =-5 und =- in h()= +d -= 5+d 0= 5+d 0=-5+d d=5. Abb.3 muss damit f() sein. Man kann dieses auch damit begründen, dass Abb.3 eine senkrechte Asmptote besitzt [bei =-3] und die Funktion nur auf einer Seite dieser Asmptote eistiert [nur rechts von =-3]. Nur Logarithmusfunktionen tun das. Daher ist Abb.3 das Schaubild von f()=a ln(+3). Man setzt irgendeinen Punkt des Schaubilds ein, um a zu bestimmen. Verwendet man beispielsweise den Punkt (- 0) ist das eine super-tolle Sache, allerdings erhält man a nicht, sondern nur eine wahre Aussage 0=0. Setzt man hingegen den Punkt (0 -) ein, erhält man was underschönes: =0 und =- in f()=a ln(+3) -=a ln(0+3) a= ln(3). Zusammenfassung: Abb. ist g(), Abb. ist h(), Abb.3 ist f(). a=, b=0, c=, d=5. ln(3) Lösung von Aufgabe (von Seite 7): Abb. muss f() sein. Man kann das damit begründen, dass Abb. eine senkrechte Asmptote besitzt [bei =] und die Funktion nur auf einer Seite dieser Asmptote eistiert [nur links von =]. Nur Logarithmusfunktionen eistieren auf einer einzigen Seite der Asmptote. Daher ist Abb. das Schaubild von f()=3 ln(a ). Abb. Abb. Abb Abb. Havoni 07

9 Schaubilder von Funktionen 9 Die beste Methode, um a zu bestimmen, ist die Betrachtung der senkrechten Asmptote. Diese ist immer an der Stelle, an welcher das Argument [hier: a ] Null wird. a =0. Da die Asmptote bei = ist, gilt a =0 a=. Abb. hat zwar ebenfalls eine senkrechte Asmptote, aber im Gegensatz zu Abb. eistiert die Funktion auf beiden Seiten der Asmptote. Abb. zeigt daher eine gebrochen-rationale Funktion. Abb. ist g(). Die senkrechte Asmptote ist bei =- und ist immer die Nullstelle des Nenners. (+c) =0 +c=0 [mit =-] -+c=0 c=. Um b zu bestimmen, kann man entweder die Theorie der waagerechten Asmptoten verwenden [Die waagerechte Asmptote des Schaubilds liegt bei =. In der Funktionsgleichung ist die Zahl vor dem Bruch die waagerechte Asmptote b=] oder man setzt in g() z.b. den Punkt P(0 ) ein [und natürlich c=]. g()=b, =0 und = einsetzen =b =b b=. (+) (0+) Abb.3 muss damit h() sein. Man kann dieses auch damit begründen, dass Abb.3 eine waagerechte Asmptote hat. Da das Schaubild sich nur an einer Seite an die Asmptote anschmiegt [Sie schmiegt sich nur rechts an. Links entfernt sich das Schaubild von der Asmptote nach unten.] muss es sich um eine e-funktion handeln. Die waagerechte Asmptote einer e-funktion wird durch die Zahl angegeben, die vor dem e-term steht, also durch d. Die waagerechte Asmptote des Schaubilds ist bei =4 d=4. Zusammenfassung: Abb. ist f(), Abb. ist g(), Abb.3 ist h(). a=, b=, c=, d=4. Lösung von Aufgabe 3 (von Seite 7): Abb. hat die Form einer Parabel dritter Abb. Ordnung. Es muss also g() sein. Zur Bestimmung der Parameter sind die Nullstellen hilfreich. Das Schaubild hat bei = eine doppelte Nullstelle, daher enthält die Funktionsgleichung ( ). - Desweiteren hat das Schaubild eine Abb. - einfache Nullstelle bei =-5, also enthält die Funktionsgleichung (+5). g() hat also die Form: g()=?? ( ) (+5) Abb.3 f=-, e=5. Um den Parameter d zu bestimmen, setzen wir irgendeinen Punkt des Schaubilds ein. Z.B. P(- ). =- und = in g() einsetzen: =d (-+5) (--) =d 4 (-4) =d 64 d= 3 g()= 3 (+5) ( ) [Auf das Aufstellen von Funktionen gehen wir in Kap. A noch einmal detailliert ein!] Abb. hat die Form der Gaußschen Glockenkurve. Sie muss durch h() beschrieben werden. Da die waagerechte Asmptote des Schaubilds bei =- liegt, muss h den ert h=- haben. Um g zu bestimmen, setzen wir den einzigen Punkt ein, den man gut ablesen Havoni 07

10 0 Schaubilder von Funktionen kann: P(- ). =- und = in h(): =g e (-+)² =g e 0 3=g. Abb.3 muss natürlich f() sein. Das erkennt man schon allein deswegen, weil das Schaubild in einem bestimmten Punkt, nämlich in (4 ) beginnt. Das Schaubild beschreibt somit eine urzelfunktion. Die Funktion beginnt bei =4, der Term unter urzel muss also für =4 Null ergeben. b =0 b 4=0 b=4. Setzen wir den Punkt (4 ) in die Funktion ein und schauen, was passiert. =4 und = in f() [und natürlich b=4] = a 4 4+c =a 0+c =c f()= a 4 +. Nun setzen wir noch irgendeinen Punkt in f() ein. Z.B. (3 0) =3 und =0 in f() 0= a =a + -=a f()= 4 +. Zusammenfassung: Abb. ist g(), Abb. ist h(), Abb.3 ist f(). a=-, b=4, c=, d=, e=5, f=-, g=3, h=-. 3 A.7.03 Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung ( ) Die zentrale Idee bei Schaubildern von einer Funktion und deren Ableitung ist, dass die Steigung der Funktion der -ert der Ableitung ist. Mit dieser Idee könnte man zwar jede Aufgabe lösen, allerdings wird das meistens recht umständlich. [siehe Aufgabe 4, Aufgabe 5 und Aufgabe 6] Die Steigung von f() ist der -ert von f'(). Kurz: m f = f' Es gibt ein paar nette Abkürzungen: z.b. die N-E--Tabelle N sind die Nullstellen, E sind die Etrempunkte, sind die endepunkte. Die Nullstellen von f() haben keine Bedeutung für die Ableitungsfunktion. Die Etrempunkte von f() sind die Nullstellen von f'() und die endepunkte von f() sind die Etrempunkte von f'(). Man kann die Tabelle auch viel ausführlicher gestalten. Damit kann man eigentlich jede Aufgabe recht einfach lösen. Der einzige Nachteil ist, dass man sie auswendig lernen muss. N sind die Nullstellen, N + ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, N + ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. N + + und N sind Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel [also Etrempunkte, die auf der - Achse liegen] und sind die endepunkte. [siehe Aufgabe 7 und Aufgabe 8] f() N E f'() N E Havoni 07

11 Schaubilder von Funktionen Es gibt auch eine Möglichkeit, die Stammfunktion genau zu zeichnen. Leider ist diese Methode recht zeitaufwändig und wird daher recht selten praktiziert. [siehe Aufgabe 9 und Aufgabe 0] f() N f'() Meist ist eine Kombination aus allen Möglichkeiten sinnvoll: Aus den Etrempunkten von f() macht man Nullstellen von f'(). Aus den endepunkten von f() macht man Etrema von f'(). Dann misst man noch ein paar Steigungen von f() und erhält damit -erte [und damit Punkte] von f'(). H N + T N + SP N + +, N steigend fallend H oder T oberhalb der -Achse unterhalb der -Achse Das Schaubild der Ableitung f'() zeichnen wir in Aufgabe 4, Aufgabe 5 und Aufgabe 6. Das Schaubild der Stammfunktion F() zeichnen wir in Aufgabe 7 bis Aufgabe 0. Aufgabe 4 Gegeben sei das Schaubild der Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild von f'()! Lösung auf Seite 3. f() - - f() - - Aufgabe 5 Gegeben sei das Schaubild einer Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild von f'()! Lösung auf Seite 4. Havoni 07

12 Schaubilder von Funktionen Aufgabe 6 Gegeben sei das Schaubild einer Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild von f'()! Lösung auf Seite f() f() - - Aufgabe 7 Gegeben sei das Schaubild einer Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild von F()! Lösung auf Seite 5. Aufgabe 8 Gegeben sei das Schaubild einer Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild von F()! Lösung auf Seite 6. f() - - f() Aufgabe 9 Gegeben sei das Schaubild der nebenstehenden Funktion f(). Skizzieren Sie das Schaubild von F()! Lösung auf Seite Fehler: Referenz nicht gefunden. Aufgabe 0 Gegeben sei das Schaubild der nebenstehenden Funktion f(). Skizzieren Sie hiermit ein Schaubild der Integralfunktion I ()! Lösung auf Seite 8. f() - - Havoni 07

13 Schaubilder von Funktionen 3 Lösung von Aufgabe 4 (von Seite ): t ir lesen die Steigung der Funktion f() ab. t f'() Der ert dieser Steigung ist der -ert der Ableitungsfunktion. Am einfachsten beginnt man mit Hoch- und Tiefpunkten von f(), denn da ist die Steigung Null! Also hat die Ableitungsfunktion f'() da Nullstellen [bei den gleichen - - -erten wie H und T]. eiterhin geschickt sind endepunkte, sofern man diese aus f() ablesen kann. f() Ein endepunkt von f() wird in der Ableitung immer zu einem Hoch- oder Tiefpunkt In unserer Skizze ist bei 0,5 ein endepunkt von f(). Die Steigung in diesem Punkt lesen wir über ein Steigungsdreieck ab. Das geht so: Man legt im gewünschten Punkt eine Tangente an [mit dem Lineal] und zeichnet sie ein [in der Skizze t w ]. Nun bewegt man sich von irgendeinem Punkt der Tangente nach rechts und schaut wieviel man hoch oder runter gehen muss, um wieder auf die Tangente zu treffen. Bei unserer Tangente t wäre es so, dass man nach rechts geht und dann ca. nach unten gehen müsste, um wieder auf die Tangente zu treffen. Daher ist die Steigung im endepunkt m -. Nun kann man einen Punkt von f'() konstruieren: Der -ert ist der gleiche wie der vom endepunkt [=0,5], der -ert ist der ert der Steigung: =-. Nun hat man drei Punkte von f'(): die beiden Nullstellen und den eben erhaltenen Tiefpunkt bei T(0,5 -). Theoretisch könnte man damit f'() bereits skizzieren. ir bestimmen jedoch noch ein paar Punkte von f'(). Völlig willkürlich suche ich mir z.b. den Punkt P (-,9) von f() aus. In diesem Punkt zeichne ich wieder eine Tangente ein [in der Skizze: t ], die eine Steigung von ca. m,5 hat. [Beachten Sie, dass die Ungenauigkeit beim Einzeichnen der Tangente normalerweise sehr hoch ist. Es könnte auch sein, dass Sie m oder m 3 erhalten.] f'() hat also einen Punkt bei Q (-,5). Völlig willkürlich suche ich mir noch einen weiteren Punkt aus, den am rechten Rand P (4-0,) von f() aus. In diesem Punkt zeichnet man abermals eine Tangente ein [in der Skizze: t ]. Sie hat eine Steigung von ca. m,75. f'() hat also einen Punkt bei Q (4,75). Nun hat man mehrere Punkte von f'() und kann daher die Ableitung skizzieren. In der Theorie hat man nun eine schöne Kurve. In der Prais sieht das Ergebnis meist ziemlich eckig aus. Man kann probieren, die Kurve ein bisschen zu glätten. Havoni 07

14 4 Schaubilder von Funktionen Lösung von Aufgabe 5 (von Seite ): ir probieren diesmal f'() mit Hilfe der ausführlichen Tabelle zu zeichnen. f() hat eine Nullstelle bei 4,8. Das bringt uns aber rein gar nicht. f() hat einen Tiefpunkt bei =4. Deswegen hat f'() bei =4 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. f() hat eine endestelle bei ungefähr =3. f'() hat daher einen Etrempunkt bei =3. Die Steigung bei =3 ist ungefähr m - [Tangente bei =3 an f() legen und Steigungsdreieck zeichnen]. Daher hat f'() bei =3 einen Tiefpunkt mit - ert von =-. Rechts von =4 ist f() steigend, also befindet sich f'() immer oberhalb der -Achse. Links von =4 ist f() fallend, also ist f'() hier unterhalb der -Achse. Man könnte noch anmerken, dass f() nach links hin, an die -Achse hin, immer flacher wird, f'() also gegen Null geht, also gegen die -Achse. - f() N f'() H N + T N + SP N + +,N steigend fallend - H oder T oberhalb der -Achse unterhalb der -Achse f'() f() Lösung von Aufgabe 6 (von Seite ): ir zeichnen f'() mit Hilfe der ausführlichen Tabelle. f() hat einen Hochpunkt bei 0,5. Deswegen hat f'() bei 0,5 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel [=VZ] von Plus nach Minus. f() hat einen Sattelpunkt bei =3. f'() hat daher bei =3 eine Nullstelle ohne VZ [N + + oder N ]. f() hat einen Tiefpunkt bei 5,5. Deswegen hat f'() bei 5,5 eine Nullstelle mit VZ von Minus nach Plus. Bei,5 und 4,5 hat f() jeweils einen endepunkt. In beiden endepunkten ist die Steigung ungefähr m - [die Steigung der Tangente beträgt in etwa m -]. Daher hat f'() bei,5 und 4,5 jeweils einen Etrempunkt mit den - erten von =-. Anhand vom Rest der Skizze kann man sehen, dass es Tiefpunkte sind. f() N f'() H N + T N + SP N + +,N steigend fallend H oder T oberhalb der -Achse unterhalb der -Achse Havoni 07

15 Schaubilder von Funktionen 5 Am rechten und am linken Rand der Skizze [also für ± ] ist f() stark steigend, d.h. m +. Die -erte von f'() gehen also gegen +, anders formuliert: Am rechten und linken Rand der Skizze läuft das Schaubild der Ableitung f'() nach oben. Nun kann man f'() skizzieren. - - f'() f() enn man das Schaubild einer Funktion f() gegeben hat und das Schaubild der Stammfunktion skizzieren will, denkt man rückwärts. Am einfachsten betrachten man wieder die Tabelle, nur bedeuten die Spalten nicht f() und f'(), sondern F() und f(). [f() ist ja die Ableitung von F()] Lösung von Aufgabe 7 (von Seite ): f() ist die Ableitung von F(). ir bemühen also wieder unsere Tabelle, bloß dass wir die Spalten nicht f() und f'(), sondern F() und f() nennen. Damit ergibt sich folgende Situation: Bei =-3 und =3 hat f() je eine Nullstelle mit VZ [Vorzeichenwechsel] von Minus nach Plus. F() hat bei =-3 und bei =3 also jeweils einen Tiefpunkt. Bei =0 haben wir eine Nullstelle mit VZ von Plus nach Minus, F() hat bei =0 also einen Hochpunkt. Die -erte dieser Etrempunkte kennen wir nicht, auf welcher Höhe man die Etrempunkte wählt, kann man sich also aussuchen. Die Etrempunkte von f() ergeben bei F() endepunkte. Die ignorieren wir alle, die sind in der Zeichnung ein bisschen ungeschickt anzuwenden. Eigentlich können wir nun eine Skizze von F() anfertigen. [Halten Sie sich nur bitte vor Augen, dass Ihre Skizzen sehr weit von der Musterlösung abweichen können, da man die -erte der Etrempunkte gar nicht angeben kann. In der rechten Skizze finden Sie verschiedene Möglichkeiten, wie Ihre Skizze von F() aussehen könnte. Zwar mathematisch nicht ganz korrekt, aber es geht ohne großen Aufwand nicht viel besser.] f() - F() N f() H N + T N + SP N + +,N steigend fallend - H oder T oberhalb der -Achse unterhalb der -Achse Havoni 07

16 6 Schaubilder von Funktionen Musterlösung für F() viele Möglichkeiten für F() F() f() F() Lösung von Aufgabe 8 (von Seite ): f() ist die Ableitung von F(). ir verwenden also wieder unsere Tabelle. Bei =- hat f() eine Nullstelle mit VZ [Vorzeichenwechsel] von Minus nach Plus. F() hat bei =- also einen Tiefpunkt. Bei =0 haben wir eine Nullstelle mit VZ von Plus nach Minus, F() hat bei =0 also einen Hochpunkt. Bei =- hat f() einen Etrempunkt, F() hat da also einen endepunkt. Allerdings ignorieren wir diesen überaus interessanten issenspunkt. enn wir f() am linken und rechten Rand betrachten, stellen wir fest, dass f() sich dem ert =- annähert. Da f() die Steigung von F() ist, bedeutet es, dass F() am linken und rechten Rand des Schaubilds eine Steigung von m=- hat. ir zeichnen also eine Funktion, die bei =- einen Tiefpunkt hat, bei =0 einen Hochpunkt und links und rechts jeweils eine Steigung von ca. m=-. ie weit F() in -Richtung hoch- oder runter verschoben wird, ist natürlich wieder beliebig. Ebenso wird Ihre Skizze vermutlich stark von der gezeichneten Musterlösung abweichen. f() - - F() f() - F() N - f() H N + T N + SP N + +,N steigend fallend H oder T oberhalb der -Achse unterhalb der -Achse Havoni 07

17 Schaubilder von Funktionen 7 F() eakt zeichnen!! ie bereits am Kapitelanfang erwähnt, gibt es eine Methode, mit deren Hilfe man Stammfunktionen sehr genau zeichnen kann. Leider ist das keine Methode, mit der man ruck-zuck fertig ist. Daher verwendet man diese Methode eher selten, nur wenn man eine recht genaue Skizze braucht. Die Idee ist die: F() ist ja die Funktion, die den Flächeninhalt zwischen f() und der -Achse angibt [normalerweise im Zusammenhang mit dem Integral]. ir machen das nun anders `rum. ir schätzen den Flächeninhalt zwischen f() und der -Achse ab [indem wir Kästchen zählen] und skizzieren damit die Stammfunktion F(). Vorgehensweise zum Zeichnen von Stammfunktionen: Für die Abschätzung der Flächeninhalte betrachtet man am besten immer senkrechte Flächenstreifen der Breite cm, zwischen f() und der -Achse. Flächen im. und 3. Quadranten [rechts oben und links unten] zählen positiv. Flächen im. und 4. Quadranten [rechts unten und links oben] zählen negativ. Die Fläche zwischen f() und der -Achse in einem Streifen der Breite ist der -ert der Stammfunktion. Der erste Punkt der Stammfunktion ist der Ursprung. Das erste Flächenstück liegt zwischen f(), der -Achse, =0 und =. Der ert dieser Fläche ist der -ert der Stammfunktion bei =. Das zweite Flächenstück liegt zwischen f(), der -Achse, = und =. Der ert dieser Fläche wird zu der vorhergehenden Fläche dazugezählt, das ergibt den -ert der Stammfunktion bei =. Das dritte Flächenstück liegt zwischen f(), der -Achse, = und =3. Der ert dieser Fläche wird zu den vorhergehenden Flächen addiert, das ergibt den -ert der Stammfunktion bei =3.... Um die Stammfunktion links von der -Achse zu malen, fängt man wieder von vorne (beim Ursprung) an. Lösung von Aufgabe 9 (von Seite ): F(0) = 0 Die Fläche zwischen =0 und = beträgt ca.,3cm² [grobe Schätzung] F() =,3. Die Fläche zwischen = und = beträgt ca. 0,6cm² F() =,3+0,6 =,9. Die Fläche zwischen = und =3 beträgt ca. -0,5cm² F(3)=,9+(-0,5)=,4. Die Fläche zwischen =3 und =4 beträgt ca. -,5cm² Die Fläche zwischen =4 und =5 beträgt ca. -,8cm² F(4)=-0,+(-,8)=-,9. 0,6 -,5,3 0,5 -,8 f() -0,9 F(4)=,4+(-,5)=-0,. Havoni 07

18 8 Schaubilder von Funktionen Die Fläche zwischen =5 und =6 beträgt ca. -0,9cm² F(5)=-,9+(-0,9)=-,8. Die Fläche zwischen =0 und =- beträgt ca. -,cm² F(-) = -,. Die Fläche zwischen =- und =- beträgt ca. -0,8cm² F(-)=-,+(-0,8)=-,9. Die Fläche zwischen =- und =-3 beträgt ca. -0,3cm² F(-3)=-,9+(-0,3)=-,. Die Fläche zwischen =-3 und =-4 beträgt ca. -0,cm² F(-)=-,+(-0,)=-,4. -0, -0,3-0,8 -, f() enn man die Punkte nun verbindet, erhält man die Stammfunktion F(). Vielleicht erinnern Sie sich noch daran, dass eine Stammfunktion im Koordinatensstem beliebig hoch- oder runter verschoben werden kann. So könnte man auch hier F() also noch beliebig hoch oder runter verschieben. f() F() Lösung von Aufgabe 0 (von Seite ): Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion [hier I ()] und einer Stammfunktion [F()] ist der, dass die Lage von F() nicht festgeschrieben ist. Man kann F() im Koordinatensstem beliebig hoch oder runter verschieben. Bei einer Integralfunktion geht das nicht. I () hat beispielsweise eine Nullstelle bei =. [Erkennt man an der kleinen unten im Inde. siehe Kap.A.8.0 Integralfunktionen.] ir kümmern uns erst einmal nicht um I (), sondern skizzieren F() wie im letzten Beispiel und verschieben erst zum Schluss das Schaubild von F() so, dass es bei = eine Nullstelle hat. ir beginnen wie immer mit einem Punkt im Ursprung und schätzen Flächeninhalte ab. [Denken Sie bitte dran, dass Flächeninhalte im ersten und dritten Quadranten positiv gezählt werden, im zweiten und vierten Quadranten jedoch negativ.] Die Fläche zwischen =0 und = beträgt f() -,7-0,4 ca.,7cm² [grobe Schätzung] F()=, , =-0, Die Fläche zwischen = und = besteht aus,4 zwei Teilstücken, deren Inhalt sich in etwa aufhebt. [Beide ca. gleich groß, eine jedoch oberhalb, - die andere unterhalb der -Achse] Der Inhalt ist - ungefähr 0 F()=,7+0=,7. +0,4,7 0, Die Fläche zwischen = und =3 beträgt ca. 0 -,4 =0, -,4cm² F(3) =,7+(-,4) = 0,3. Die Fläche zwischen =3 und =4 ist wieder zweiteilig und beträgt ca. -0,4+0,=-0, cm². F(4) = 0,3+(-0,) = 0,. Havoni 07

19 Schaubilder von Funktionen 9 Links von der -Achse sind die Flächeninhalte genau gleich, nur die Vorzeichen sind geändert. f() F(-)=-,7 F(-)=-,7 F(-3)=-0,3. Nun verbinden wir alle Punkte und erhalten das Schaubild von F() [in der Skizze gestrichelt]. Dieses Schaubild verschieben wir nun so weit nach unten, dass es bei = die -Achse schneidet. Das ist dann das Schaubild der Integralfunktion I (). I () - F() - A.7.04 Aussagen über f() anhand des Schaubilds von f'() ( ) [Dieses Kapitel ist eine Art Anwendung des letzten Unterkapitels A.7.03.] In den letzten Jahren sieht man öfter Aufgaben, in welchen das Schaubild einer Funktion angegeben ist und man Aussagen über das Schaubild der Stammfunktion [manchmal auch Ableitung] treffen muss. Eine Möglichkeit ist, das Schaubild der Stammfunktion oder Ableitung zu skizzieren und hieraus Eigenschaften abzulesen. ir werden die Fragen jedoch beantworten, ohne die kompletten Schaubilder zu skizzieren, weil das schneller geht. Aufgabe Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion h'(). Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind! h'(). Das Schaubild von h() ist im Bereich R + monoton.. h() hat für negative -erte mindestens eine Nullstelle. 3. Das Schaubild von h() hat im Intervall [-;0] einen Tiefpunkt. 4. Das Schaubild von h() hat eine waagerechte Asmptote. 5. Das Schaubild von h() hat die -Achse als Asmptote. 6. Die Tangente an h() in A(- h(-)) ist parallel zu = h''(-4) h'(-4). 8. h() weist Smmetrieeigenschaften auf. Havoni 07

20 0 Schaubilder von Funktionen Aufgabe Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion f'(). Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründen Sie Ihre Antwort! f'(). Das Schaubild von f() besitzt zwei - endepunkte. -. Das Schaubild von f() besitzt einen endepunkt bei (- -3). 3. In einem endepunkt von f() links von der -Achse hat f() die Steigung m= Bei =3 besitzt f() einen Etrempunkt. 5. f() besitzt drei Stellen, in denen die Tangente parallel zur Geraden g : + 3=0 ist. 6. Im Bereich [-4;-3] besitzt f() einen Etrempunkt. 7. f() besitzt mindestens eine waagerechte Asmptote. 8. f(0) f''(0). Lösung von Aufgabe :. Die Funktion, deren Schaubild wir sehen, ist nicht monoton, aber das ist ja auch h'() und nicht h(). h() ist monoton steigend, wenn h'() immer positiv ist und h() ist monoton fallend, wenn h'() immer negativ ist. In dieser Aufgabe [uns interessieren nur positive -erte] ist h'() immer positiv, da sich h'() immer oberhalb der -Achse befindet, h() steigt daher immer. Die Aussage ist damit wahr.. Über Nullstellen kann man von h() nichts aussagen, da h() die Stammfunktion von h'() ist und damit beliebig hoch oder runter geschoben werden kann. h() könnte Nullstellen haben oder auch nicht. Die Aussage ist also unentscheidbar. [Es gibt auch Fälle, in denen man doch Aussagen über die Nullstellen treffen kann. Das ist jedoch etwas schwerer und ich möchte das hier nicht behandeln. Bei Interesse: siehe Bsp.A e).] 3. Im genannten Intervall [- 0] hat h'() eine Nullstelle. enn man die Tabelle verwendet, die wir in den letzten Seiten immer verwendet haben, erkennt man, dass es sich um eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus handelt und somit bei h() ein Tiefpunkt liegen muss. Die Aussage ist also wahr. 4. enn man sich das Schaubild von h'() auf der rechten Seite, also für + anschaut, stellt man fest, dass h'() 0 geht. Anderes formuliert: Rechts geht die Steigung von h() gegen Null. enn aber die Steigung einer Funktion gegen Null geht, muss die Funktion annähernd waagerecht verlaufen. [Das ist nichts anderes als eine waagerechte Asmptote]. Die Aussage ist also wahr. 5. ir haben eben nachgewiesen, dass h() eine waagerechte Asmptote haben muss. Es ist aber keinesfalls klar, dass die -Achse diese Asmptote sein muss. [Da h() beliebig hoch oder runter verschoben werden kann, kann die waagerechte Asmptote auch beliebig weit oben oder unten liegen.] Havoni 07

21 Schaubilder von Funktionen Die Aussage ist also unentscheidbar. 6. Das entscheidende ort ist parallel. Parallel bedeutet, dass zwei Sachen die gleiche Steigung haben müssen. Um welche beiden Sachen geht es? Zum einen geht es um die Tangente an h() in A(-..). Diese hat die Steigung: m Tan=h'(-) -. [laut Zeichnung] Zum anderen geht es um die Gerade =-+, welche die Steigung m g=- hat. Beide Steigungen sind gleich, damit sind h() und die Gerade [bei =-] parallel, die Aussage stimmt. 7. h''() ist die Ableitung [damit die Steigung] von h'(). h''(-4) ist also die Steigung von h'() an der Stelle =-4. Diese Steigung kann man aus der Zeichnung ablesen, sie beträgt ganz grob geschätzt -3, es gilt also h''(-4) -3. h'(-4) ist der -ert der h'()-funktion, er beträgt 0. h''(-4) h'(-4) ist also gleichbedeutend mit Die Aussage ist also falsch. 8. enn h() in irgend einer eise smmetrisch wäre, müsste auch die Steigung davon [also h'()] irgendwie smmetrisch sein. Das ist jedoch nicht der Fall. Die Aussage ist also falsch. Lösung für Aufgabe :. Spätestens aus der Tabelle, die ein paar Seiten weiter vorne stand, wissen wir, dass eine Funktion f() endepunkte hat, wenn die Ableitung Etrema hat. Das ist hier gegeben. f'() hat bei =- und bei =3 je einen Etrempunkt, also hat f() bei diesen - erten je einen endepunkt. Die Aussage ist wahr.. Das interessiert doch eh keinen. 3. Links von der -Achse befindet sich nur bei =- ein endepunkt. f() soll hier die Steigung m=-3 haben. Die Steigung von f() ist f'(), daher müsste f'() bei =- den ert -3 haben. Das ist laut Skizze der Fall. Die Aussage ist also total wahr. 4. Bei =3 hat f'() eine Nullstelle [was für einen Etrempunkt von f() spräche] und gleichzeitig einen Hochpunkt [was für einen endepunkt von f() spräche]. Das ist ein bisschen widersprüchlich. enn Sie nicht nachdenken wollen, betrachten Sie wieder die Tabelle: Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel [was hier der Fall ist] wird bei f() zu einem Sattelpunkt [oder Terassenpunkt]. Die Aussage ist also falsch. Blöde Aussage. Jawohl! 5. Sofort fällt uns wieder das ort parallel auf. Es bedeutet, dass f() und diese Gerade an drei Stellen die gleiche Steigung haben müssen. Die Gerade g ist in einer seltsamen Form angegeben, wir formen sie erst um. g : + 3=0 g : =-+3. Jetzt kann man die Geradensteigung ablesen. Es gilt: m g=-. Damit g und die Tangente parallel sind, müsste die Tangente also ebenfalls die Steigung m Tan=- haben. Die Tangentensteigung ist aber nichts anderes als f'(), was heißt, dass f () den ert - haben muss. Dieses ist laut Skizze an drei Stellen der Fall (bei -,4, bei 0,5 und bei 5,3). Es gibt damit tatsächlich drei Stellen, an denen die Tangente parallel zu der Geraden g ist. Die Aussage ist schon wieder wahr. Toll! Havoni 07

22 Schaubilder von Funktionen 6. Zwischen =-4 und =-3 gibt es eine Nullstelle von f'() mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, es gibt also einen Hochpunkt. Die Aussage ist wahr. Des isch ja... ssuuper! 7. Hätte f() irgendwo eine waagerechte Asmptote, müsste f() annähernd waagerecht verlaufen [und zwar nicht nur an einem einzigen Punkt, sondern ein längeres Stück] und müsste eine Steigung von annähernd Null haben. Das bedeutet, dass f'() ein längeres Stück annähernd Null sein müsste, also an der -Achse entlang laufen müsste. Das ischt niergentz der Pfahl. Also isch dem Aussagä faltsch. 8. Da man über f(0) keine Aussage treffen kann [-ert der Stammfunktion von f'()] braucht man gar nicht weiter überlegen. Die Aussage ist unentscheidbar. Nochmal zu Frage. Also gut. Zwar wissen wir jetzt, dass f() bei =- einen endepunkt hat, das Problem ist jedoch der -ert. f() ist die Stammfunktion von f'(), von f() werden nie -erte bekannt sein, da das Schaubild von f() beliebig im Koordinatensstem hoch- oder runter verschoben werden kann. Also: f() hat zwar ganz sicher bei (-?) einen endepunkt, der - ert von -3 ist jedoch unentscheidbar. Die Aussage ist unentscheidbar. verwandte Themen Sie finden diverse verwandte Themen an anderen Stellen: Grafiken von ganzrationalen Funktionen: A und A Grafiken von Eponentialfunktionen: A.4.09 und A.4.0 Grafiken von Sinus- und Kosinusfunktionen: A.4.09 und A.4.0 Grafiken von gebrochen-rationalen Funktionen: A und A Grafiken von Logarithmus-Funktionen: A und A Grafiken von urzel-funktionen: A und A Havoni 07