Kapitel 3. Kapitel 3: Aus der Natur und Technik: Funktionen

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1 Kpitel 3 Kpitel 3: Aus der Ntur ud Techik: Fuktioe Der Fuktiosbegriff Mthemtisch Polyome Rtiole Fuktioe Trigoometrische Fuktioe Iverse Fuktio Epoetilfuktio ud Logrithmus Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 1

2 Fuktiosbegriff Mthemtisch Eie Fuktio f weist jedem Elemet eier Defiitiosmege A (eiem "-Wert") geu ei Elemet eier Zielmege B (eie "y-wert") zu. Eie Fuktio ht demch die eplizite Eigeschft: Jedem -Wert us dem Defiitiosbereich wird geu ei y-wert zugeordet. Oft k m eie Zuordugsvorschrift gebe, m et sie Fuktiosgleichug. Mege A Mege B Defiitiosmege Zielmege Defiitio 3.1 eier Fuktio (Megetheoretisch): Eie Fuktio vo der Mege A i die Mege B ist eie Mege f, die die folgede Eigeschfte ht: f ist eie Teilmege vo A B (krtesisches Produkt), lso eie Mege vo Pre (, b), wobei i A ud b i B gilt. zu jedem Elemet vo A gibt es geu ei Elemet b vo B (geschriebe f()), so dss ds Pr (,b) Elemet vo f ist. Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 2

3 Fuktiosbegriff Mthemtisch Altertiv: Oft möchte m ber uch die Wertemege B eplizit Teil der Fuktio mche, ud defiiert: Ei Tripel f = (A, B, R) bestehed us zwei Mege A ud B sowie eier Reltio R A B heißt Fuktio vo A ch B, we gilt: zu jedem Elemet vo A gibt es geu ei Elemet b vo B (geschriebe f()), so dss ds Pr (,b) Elemet vo R ist. Eie Fuktio ist lso durch ihre Grphe R ud die Agbe der Mege B bestimmt. Debe gibt es och de Begriff prtielle Fuktio, der besoders i der Iformtik verwedet wird. Hier wird icht verlgt, dss jedem Argumet ei Wert zugeordet wird, es wird lediglich verlgt, dss es höchstes eie zugeordete Wert gibt. Dies ist keie Fuktio im hier defiierte Sie; solche heiße i diesem Kotet totle Fuktio. Schreib- ud Sprechweise: sttt der Teilmegeschreibweise us der Megelehre: f A B spricht m Fuktio f vo A ch B ud schreibt: f : A B sttt der Elemetschreibweise us der Megelehre (, y ) f schreibt m: f : f ( ) oder y f() Sprechweise: wird bgebildet uf f vo wird f vo zugeordet y ist f vo y ist ds Bild vo uter der Abbildug f Die Defiitiosmege A wird uch Defiitiosbereich oder Domi get. Die Elemete vo A heiße Fuktiosrgumete, slopp uch -Werte (ubhägige Vrible), die Zielmege B wird uch Codomi get, die Elemete vo B heiße slopp uch y-werte. Fuktioswerte heiße dgege ur diejeige Elemete vo B, die ttsächlich ls Bild eies Argumets uftrete. (Bild- ud Urbildmege) Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 3

4 Fuktiosbegriff Mthemtisch Ds Bild (egl.: imge) eies Elemets der Defiitiosmege ist eifch f(). Ds Urbild eies Elemets y der Wertemege ist die Mege ller Elemete des Defiitiosbereichs, dere Bild y ist. M schreibt f -1 (y) = { i A : f() = y }. M sgt uch Fser vo y. Allgemeie Eigeschfte: Eie Fuktio ist ijektiv, we jedes Elemet des Wertebereichs höchstes ei Urbild ht. Sie ist surjektiv, we jedes Elemet des Wertebereichs midestes ei Urbild ht. Sie ist bijektiv, we sie ijektiv ud surjektiv ist, lso we jedes Elemet des Wertebereichs geu ei Urbild ht. Sie ist idempotet, we f(f())=f() für lle Elemete des Defiitiosbereichs gilt. Sie ist eie Ivolutio, we f(f()) = für lle Elemete des Defiitiosbereichs gilt. Eie zweistellige Fuktio f heißt kommuttiv, we f(,y)=f(y,) für lle ud y us der Defiitiosmege gilt. Grphische Drstellug: Alle Pukte: (,f()) werde i ei Koorditesystem eigetrge z. B.: Defiitio 3.2 i diesem Zusmmehg heißt die Mege: G (, f()) A Grph vo f Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 4

5 Polyome Polyome i der elemetre Algebr ( Schulmthemtik, reelle Zhle): Defiitio 3.3: I der elemetre Algebr ist eie Polyomfuktio oder kurz Polyom eie Fuktio P() der Form: i 0 i 1 1 P ( )... i wobei ls Defiitiosbereich für die Vrible jeder beliebige Rig i Frge kommt, z.b. ei Körper oder ei Restklsserig. Meist werde ber die reelle oder die komplee Zhle geomme; m spricht d uch kurz vo reelle bzw. komplee Polyome. Die i stmme us dem Defiitiosbereich ud werde Koeffiziete get. Als Grd des Polyoms wird der höchste Epoet bezeichet, für de der Koeffiziet des Terms (Moom) icht ull ist. Dieser Koeffiziet heißt Leitkoeffiziet. Ist der Leitkoeffiziet 1, d heißt ds Polyom ormiert. Der Koeffiziet 0 heißt Absolutglied. 1 wird ls lieres Glied bezeichet, 2 2 ls qudrtisches Glied ud 3 3 ls kubisches. Polyome des Grdes: 0 werde kostte Fuktioe get (z. B. P() = -1). 1 werde liere Fuktioe get (z. B. P() = 3 + 5). 2 werde qudrtische Fuktioe get (z. B. P() = 3² ). 3 werde kubische Fuktioe get (z. B. P() = 4³ - 2² + 7-2). Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 5

6 Polyome Als Nullstelle oder Wurzel eies Polyoms werde jee Werte vo bezeichet, für die der Fuktioswert P() ull ist. Sie sid lso die Lösuge der Gleichug P() = 0. Ei Polyom über eiem Körper (oder llgemeier eiem Itegritätsbereich) ht stets höchstes so viele Nullstelle, wie sei Grd gibt. Der Fudmetlstz der Algebr besgt, dss ei komplees Polyom vom Grd geu komplee Nullstelle ht; dbei müsse Nullstelle etspreched ihrer Vielfchheit gezählt werde, beispielsweise ht ds Polyom ( - 2) 2 eie doppelte Nullstelle bei = 2. Polyome lsse sich mit Hilfe des Wurzelstzes vo Vietá i ei Produkt vo Lierfktore zerlege. Vietá: Jedes (ormierte) Polyom -te Grdes mit Koeffiziete i de komplee Zhle lässt sich ls Produkt vo Lierfktore drstelle. P ( ) , 2,..., sid die Nullstelle des Polyoms; uch we lle Koeffiziete 0, 1,... reell sid, köe die Nullstelle komple sei. Nicht lle i müsse verschiede sei. Gibt es gzzhlige Nullstelle eies Polyoms mit gzzhlige Koeffiziete, so sid dies Teiler des Absolutgliedes. Die Nullstelle vo Polyome erste, zweite, dritte ud vierte Grdes lsse sich mit Formel ekt bereche (z. B. pq-formel), dgege lsse sich Polyome höhere Grdes ur i Spezilfälle ekt fktorisiere. Polyome ugerde Grdes mit reelle Koeffiziete hbe immer midestes eie reelle Nullstelle. 1 i 1 i Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 6

7 Iterpoltio Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 7

8 Rtiole Fuktioe Defiitio 3.4: Quotiete vo Polyome: r ( ) p ( ) q ( ) Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 8 i 0 m j 0 b i j i j r() heißt rtiole Fuktio Sie wird uch gebroche rtiole Fuktio get. Die Nullstelle eier solche Fuktio werde durch die Nullstelle des Polyoms P im Zähler bestimmt. Sie ist icht defiiert, flls der Neer Q m eie Nullstelle ht. Für ds Verhlte für gege Uedlich sid die Grde der Polyome etscheided: Ist der Zählergrd größer ls der Neergrd, geht der Wert der rtiole Fuktio gege Uedlich mit gege Uedlich. Ist der Zählergrd kleier ls der Neergrd, so geht die Fuktio gege Null mit gege Uedlich. Sid die Grde gleich, so strebt sie symptotisch gege eie edliche Wert Ist ds Neerpolyom Q m vom Grd 0, lso m = 0, so spricht m vo eier gzrtiole Fuktio. Ist m > 0, so hdelt es sich um eie gebroche rtiole Fuktio. Ist m > 0 ud < m, so hdelt es sich um eie echt gebroche rtiole Fuktio. Ist m > 0 ud >= m, so hdelt es sich um eie uecht gebroche rtiole Fuktio. Sie k über Polyomdivisio i ei Polyom ud eie echt gebroche rtiole Fuktio ufgeteilt werde. b m m b 1 m 1 1 m b 1 b 0 0 P Q m

9 Rtiole Fuktioe, Eigeschfte Y Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 9

10 Rtiole Fuktioe: Nullstelle, Polstelle Geerell gilt: Nullstelle vo P -> Nullstelle vo f Nullstelle vo Q -> Polstelle vo f Aushme: Nullstelle die sowohl zu P ls uch zu Q gehöre. Zugehöriger Lierfktor kommt im Neer öfter vor ls im Zähler => der Stelle ist eie Polstelle Zugehöriger Lierfktor im Neer icht öfter ls im Zähler => der Stelle ist eie Defiitioslücke Hebbre Sigulrität: r( ) ( 2 ) ( 1) 1 Sigulritäte mit ud ohe Vorzeichewechsel: z.b. : r( ) 2 4 ( ) 1 r( ) 3 (8 ) Sigulritäte vom Typ 0/0? Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 10

11 Sigulritäte llgemei: L Hospitl Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 11

12 Rtiole Fuktioe: Asymptote Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 12

13 Trigoometrische Fuktioe Ursprüglich sid die Wikelfuktioe ls Seiteverhältisse i rechtwiklige Dreiecke ud dher ur für Wikel vo 0 bis 90 Grd defiiert: Defiitio 3.5 der trigoometrische Fuktioe m Eiheitskreis: lso: si 2 (θ) cos 2 (θ) 1 cos( θ) cos( θ), si( θ) - si (θ) cos( α β) cos α cos β si α si β si( α β) si α cos β cos α si β Beweis z.b.: Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 13

14 Weitere Beziehuge cos( θ π ) cos( θ), si (θ π ) si( θ) π cos( θ ) si( θ), 2 cos 2θ cos 2 θ - si 2 θ si (θ π ) 2 cos( θ) Alytische Defiitio über Tylerreihe! si 2θ 2 cos θ si θ Spezielle Pukte: Nullstelle Polstelle: si ( π ( π ) cos( π π/2) 0 t ) 0 ; t ( π π/2), icht defiiert Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 14

15 Umkehrfuktio, Iverse Fuktio Bei der Weg-Zeit Drstellug wird typischerweise der Ort ls Fuktio der Zeit gegebe (t). Oft ist jedoch uch die umgekehrte Frge wichtig: W wr er/sie/es eiem bestimmte Ort, t()? Defiitio 3.6: (siehe ute) Siehe: Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 15

16 Umkehrfuktio, Iverse Fuktio Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 16

17 Kompositio, Verkettug Der Begriff Kompositio bedeutet i der Mthemtik meist die Hitereiderschltug vo Fuktioe, uch ls Verkettug oder Hitereiderusführug bezeichet. Der Begriff Kompositio k vo Fuktioe uf Reltioe ud prtielle Fuktioe verllgemeiert werde. Die Drstellug eier Fuktio ls Verkettug zweier oder mehrerer, im llgemeie eifcherer Fuktioe ist zum Beispiel i der Differetil- ud Itegrlrechug wichtig, we es drum geht Ableituge mit der Ketteregel oder Itegrle mit der Substitutiosregel zu bereche. Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 17

18 Logrithmus Uter dem Logrithmus (griech.: logos = Verstädis, rithmos = Zhl) versteht m i der Mthemtik ds Ergebis der Auflösug der Gleichug y = ch der Ubekte, geschriebe ls = log (y). Der Logrithmus (zur Bsis ) eier Zhl y ist lso derjeige Epoet, mit dem m die Bsis poteziere muss, um die Zhl y zu erhlte. Die Logrithmusfuktio ist die Umkehrfuktio der Epoetilfuktio; sie k zum Auffide der Werte zur Auflösug obiger Gleichug hergezoge werde. Für jede vorgegebee Bsis (oder Grudzhl) >0, ergibt sich dbei eie dere Logrithmusfuktio log. De Fuktioswert log (y) et m de Logrithmus vo y zur Bsis. Ds Argumet y heißt Logrithmd, gelegetlich uch Numerus. Im Sprchgebruch wird häufig die Logrithmusfuktio selbst uch kurz ls Logrithmus bezeichet. Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 18

19 Recheregel Produkte: log y log log y Quotiete: log log log y r Poteze: log r log y Wurzel: log log log 1 1 Bsisumrechug: Um Logrithme zur Bsis b mithilfe vo Logrithme eier beliebige Bsis zu bereche, verwedet m de Zusmmehg: Nutilus: logrithmische Spirle Eie logrithmische Spirle ist eie Spirle, die mit jeder Umdrehug de Abstd vo ihrem Mittelpukt, dem Pol, um de gleiche Fktor vergrößert. I umgekehrter Drehrichtug schligt sich die Kurve mit behmedem Rdius immer eger um de Pol. Jede Gerde durch de Pol scheidet die logrithmische Spirle stets uter dem gleiche Wikel. Wege dieser Eigeschft spricht m uch vo eier gleichwiklige Spirle. Die sogete Goldee Spirle ist ei Soderfll der logrithmische Spirle... Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 19

20 Ecurs: Schwiguge Schwiguge, Gedämpfte Schwiguge, erzwugee Schwiguge Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 20

21 Epoetilfuktio Mthemtische Defiitio 3.7 der Epoetilfuktio zur Bsis e vo. Sie k uf de reelle Zhle uf verschiedee Weise defiiert werde. Zwei Möglichkeite sid: Defiitio ls Potezreihe, get Epoetilreihe: Defiitio ls Grezwert eier Folge mit : Die Kovergez der für die Defiitio der Epoetilfuktio verwedete Reihe lässt sich für lle mit dem Quotietekriterium zeige: Sei eie uedliche Reihe mit de Summde gegebe. Ist u, d kovergiert die Reihe S bsolut. Eistiert ei Grezwert, so wird eie Folge ls koverget bezeichet, soste ls diverget. (supremum= sup ist defiiert ls die kleiste obere Schrke eier Mege) 1 ;! lim 1 lim ( 1)!! lim Erweiterug: Notize zur Vorlesug Mthemtik für Mterilwisseschftler I 21