Das mehrdimensionale Riemann-Integral. 1. Volumenintegrale

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1 Das mehrdimensionale Riemann-Integral. Volumenintegrale Es sei ein uader im R n gegeben durch := [a, b ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x,... x n ) a j x j b j } mit rellen Zahlen a j, b j, j =,... n. Offenbar bezeichnet also = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall in R und ein abgeschlossenes Rechteck im R 2, im R 3 ist ein gewöhnliches uader. Das Volumen eines uaders definieren wir durch vol () := n (b j a j ), j= während n diam () := (b j a j ) 2 j= den Durchmesser des uaders bezeichnet. (tellt den euklidischen Abstand der beiden am weitesten auseinanderliegenden Punkte des uaders dar.) Eine Zerlegung Z des uaders ist eine endliche Menge von Teilquadern k, k =,... m, die überdecken, ohne gemeinsame innere Punkte zu besitzen. Es gilt also k, = m k und k l = k= für alle k, l. Als Durchmesser einer Zerlegung Z definieren wir die Zahl Z := max k diam ( k ). Z() bezeichne die Menge aller Zerlegungen von. Wie im Fall des uns schon bekannten (-dimensionalen) Riemann-Integrals definieren wir für eine Zerlegung Z die Obersumme durch (f, Z) := sup f(x) vol (R), R Z x R die Untersumme durch (f, Z) := x R R Z inf f(x) vol (R).

2 Dann definieren wir noch (f, Z, T ) := R Z f(ξ R )vol (R) für beliebiges ξ R R, und T = {t R R Z} ist die Menge der tützstellen. Offenbar gilt für jede Auswahl der tützstellen T : (f, Z) (f, Z, T ) (f, Z) Damit kann man das Oberintegral bzw. das Unterintegral definieren durch (f) := (f, Z) (Oberintegral) inf Z Z() bzw (f) := sup (f, Z) (Unterintegral). Z Z() Definition: (n-dimensionales Riemann-Integral) Gilt (f) = (f) so heißt f Riemann-integrierbar über und f(x) dx = (f) = (f) das Riemann-Integral von f über dem Rechteck [a, b]. Andere chreibweisen sind f(x,..., x n ) dx dx 2... dx n, oder f dx f(x,..., x n ) d(x,..., x n ). Ist (Z k ) k N eine Folge von Zerlegungen von mit Z k 0 für k und existiert das Riemann-Integral von f über, so gilt auch lim (f, Zk, T k ) = k f(x) dx. atz: ind f, g Riemann-integrierbar über und α, β R, so gilt:. αf + βg ist Riemann-integrierbar über und es gilt (αf + βg) dx = α f dx + β g dx. (Linearität) 2

3 2. Ist f(x) g(x) für alle x, so folgt f dx g dx. (Monotonie) 3. f ist Riemann-integrierbar über und f dx f dx. (Dreiecksungleichung) 4. Alle über stetigen Funktionen sind Riemann-integrierbar über. Die Berechnung von solchen Integralen kann auf die sukzessive Berechnung von Integralen über eine Variable zurückgeführt werden. Der folgende atz ist eine Version des atzes von Fubini, den wir später in viel allgemeinerem Zusammenhang beweisen werden. atz: ei := [a, b ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x,... x n ) a j x j b j } ein uader im R n und f : R eine stetige Funktion. Dann gilt f dx = bn a n... b2 a 2 b a f(x) dx dx 2... dx n. Dabei darf die Reihenfolge der Integration beliebig gewählt werden. Beispiel: ei n = 2 und = [, 3] [ 2, ] und f(x, y) = x 2 y 2. Es folgt f(x, y) dx dy = 2 3 ( ) x 2 y 2 dx dy = y 2 dy 2 ( 3 ) x 2 dx = 26 Es gilt aber auch f(x, y) dx dy = 3 ( ) x 2 y 2 dy dx = y 2 dy 2 ( 3 ) x 2 dx = 26 Auf den Beweis des atzes wird hier verzichtet, da er später in allgemeinerem Zusammenhang erfolgt. Jetzt soll auch über allgemeinere Mengen im R n als uader integriert werden. Definition: (Charakteristische Funktion) ei ein uader und V. ei { für x V V := 0 für x V. Dann heißt V die charakteristische Funktion von V (bzgl. ). 3

4 Mittels der charakteristischen Funktion kann man jede Funktion f : V R fortsetzen auf mittels { f(x) für x V f(x) := V f(x) := 0 für x V (Der mittlere Teil der Formel stellt kein Produkt dar.) Allerdings ist die fortgesetzte Funktion f gewöhnlich nicht stetig über, sondern besitzt meistens zumindest auf V Unstetigkeiten. Die Frage ist nun, wann ist die fortgesetzte Funktion f integrierbar über. Dafür ist die Beschaffenheit des Randes von V wesentlich. Ist der Rand von V zu sehr ausgefranst, so kann man stetige Funktionen über V eventuell nicht integrieren. Der Rand muss eine sogenannte Nullmenge bilden: Definition: Eine Teilmenge M R n heißt Jordan-Nullmenge, falls es zu jedem ɛ > 0 endlich viele uader,..., r in R n gibt mit M r k und k r vol ( k ) < ɛ. k= Eine Teilmenge R n heißt Jordan-messbar, falls ihr Rand eine Jordan- Nullmenge ist.. Jede endliche Teilmenge in R ist eine Nullmenge. (Dies ist trivial, da man jeden einzelnen Punkt in einen uader mit beliebig kleinem Volumen verstauen kann und es nur endlich viele Punkte sind.) 2. Ist c : [a, b] R n, n 2 eine Jordan-Kurve (also doppelpunktfrei), so ist c([a, b]) R n eine Nullmenge. (Dies liegt nahe, da man wegen der Bedingung n 2 die Kurve mit endlich vielen uadern überdecken kann, die beliebig schmal gewählt werden können und dann auch beliebig kleines Volumen besitzen.) 3. Jede Teilmenge einer Nullmenge im R n ist ebenfalls eine Nullmenge. (Wenn man schon die gesamte Menge durch beliebig kleine uader überdecken kann, dann erst recht jede Teilmenge davon.) 4. In R n sind (n )-dimensionale uader Nullmengen. (omit sind n- dimensionale uader Jordan-messbar.) (Ein (n )-dimensinaler uader kann im R n durch uader überdeckt werden, die in einer Dimension beliebig schmal gemacht werden können und daher beliebig kleines Volumen besitzen.) 4

5 5. Vereinigung, Durchschnitt und die Mengendifferenz von Jordan-Nullmengen sind wieder Jordan-Nullmengen. (Dies folgt für den Durchschnitt und die Mengendifferenz aus 3., für die Vereinigung ist es auch klar, man vereinigt einfach die beiden uadermengen.) 6. Ist M eine Nullmenge, so ist auch M, der Abschluss von M, eine Nullmenge. Damit kann folgender atz über die Integrierbarkeit von Funktionen formuliert werden: atz: ei ein uader im R n. Ist f : R eine beschränkte Funktion und bildet die Menge U U = {x f ist nicht stetig in x} der Unstetigkeiten von f eine Jordan-Nullmenge, so ist f über integrierbar. Außerdem kann man die Werte von f über einer Jordan-Nullmenge von beliebig abändern, ohne dass sich das Integral von f über ändert. Beweisidee: Zu ɛ > 0 gibt es eine Überdeckung von U durch endlich viele uader,..., r, so dass für das Gesamtvolumen dieser uader gilt r vol ( k ) < ɛ. k= Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir diese uader so wählen, dass sie paarweise keine inneren Punkte gemeinsam haben. Diese uader ergänzen wir nun zu einer Zerlegung Z von. Weil f beschränkt ist, gibt es ein K > 0 mit f(x) < K für alle x. omit gilt ( f, Z, T ) = s k= f(ξ k ) vol ( k ) Mɛ + s k=r+ f(ξ k )vol ( k ). Geht man nun zu immer feineren Zerlegungen über und läßt gleichzeitig ɛ gegen Null gehen, so sieht man, dass die Teilquader, die U überdecken, keinen Beitrag liefern. Definition: ei und f : R. Falls das Integral von f über existiert, so setzen wir f dx := f dx. (Man kann zeigen, dass die rechte eite unabhängig von der Auswahl des uaders ist.) 5

6 Diese Definition soll natürlich für eine große Klasse von Mengen und Funktionen f funktionieren. Da der Integrand auf meist Unstetigkeiten besitzen wird, sollte eine Jordan-Nullmenge sein. Außerdem darf f nicht zuviele Unstetigkeiten besitzen, wie das Beispiel der Dirichletfunktion zeigt. Es folgt: atz: ei ein beschränkte, Jordan-messbare Menge und f : R eine beschränkte Funktion, die höchstens auf einer Nullmenge nicht stetig ist. Dann ist f integrierbar über. Beispiel: ei f : R mit := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 }. Dann ist f über K integrierbar, denn ist der Kreis vom Radius, also eine Jordan-Nullmenge und f ist stetig über K. Also hat s f über dem uader = [, ] [, ] nur Unstetigkeiten über einer Jordan-Nullmenge und es wird f dx := K f(x) dx. Praktisch geht man wie folgt vor: Wir wollen das Integral K G xy dx dy über das Gebiet G berechnen, wenn die Grenzen des Gebietes G gegeben sind durch x = 0, y = 0, x + y = 2. (Dies ist ein Dreieck in der Ebene.) Es wird 2 2 x xy dx dy = xy dydx = 2 3. G (Denn es ist G = {(x, y) 0 < x < 2, 0 < y < 2 x}.) Allgemein ist ein Normalbereich B R n bezüglich x gegeben durch 0 0 B = {(x,... x n ) a x b, g 3 (x ) x 2 g 4 (x ), g 5 (x, x 2 ) x 3 g 6 (x, x 2 )..., g 2n (x,..., x n ) x n g 2n (x,..., x n )} mit stetigen Funktionen g j für alle j. (Es liegt also x zwischen zwei festen Grenzen und die anderen Variablen zwischen Grenzen, die nur von den vorherigen Variablen abhängen dürfen.) Entsprechend kann man Normalbereiche bezüglich jeder der anderen Variablen definieren. Ist dann f über B integrierbar, so folgt f dx = b g4 (x ) a g 3 (x ) B g2n (x,...,x n )... f(x,..., x n ) dx n dx n... dx. g 2n (x,...x n ) 6

7 (Hier kann man die Integrationsreihenfolge nicht vertauschen. Die Integrale sind von Innen nach Außen zu berechnen.) Definition: (Volumina) ei R n messbar, ein uader im R n mit. Dann ist das n- dimensionale Volumen von gegeben durch vol () := dx := dx. Ist eine Nullmenge, so ist messbar und hat das n-dimensionale Volumen Null. Ist andererseits messbar und vol () = 0, so ist eine Jordan- Nullmenge. Über einer Nullmenge im R n ist jede beschränkte Funktion integrierbar und hat das Integral Null über dieser Menge. Folgende Menge ist nicht Jordan-messbar: = {(x, y) R 2 0 x, y, x, y / }. Es ist. Wäre messbar, so müsste also eine Nullmenge sein und das Volumen Null besitzen. Betrachtet man die Riemann-ummen, so enthält jedes Teilquadrat Punkte mit rationalen Koordinaten und Punkte mit irrationalen Koordinaten, weil dicht in R liegt und dies auch für irrationale Zahlen gilt. In tützstellen mit rationalen Koordinaten wird jede Riemann-umme Null, in tützstellen mit irrationalen Koordinaten wird die entsprechende Riemann-umme gleich. (Wegen der unterschiedlichen Werte der charakteristischen Funktion von.) Diese Werte bleiben unverändert, wie sehr man auch die Zerlegung verfeinert. Also kann das Riemann-Integral über nicht existieren. Der folgende atz ist einfach zu beweisen: atz: eien A, B R n beschränkt und Jordan-messbar. Dann gilt für jede über A B integrierbare Funktion f: f dx = f dx + f dx f dx. A B A B A B atz: (Mittelwertsatz für mehrdimensionale Riemann-Integrale) ei R n eine kompakt, bogenweise zusammenhängend und messbar. ei f : R stetig. Dann gibt es ein ξ mit f dx = f(ξ) vol (). s 7

8 Beweis: Weil f stetig ist und kompakt ist, nimmt f über sowohl sein Minimum als auch sein Maximum an. Es gibt also Zahlen M := max {f(x) < x } und m := min {f(x) x }. Aus der Monotonie des Integrals folgt nun wegen m s f M : m s dx = m vol () f dx M vol (). Falls eine Nullmenge ist, so wird f dx = 0 und wir können ξ beliebig wählen. Andernfalss können wir durch das Volumen von dividieren und erhalten m ρ := f M. vol () ei nun f(p) = m und f(q) = M. Weil bogenweise zusammenhängend ist, gibt es einen stetigen Weg c : [0, ] mit c(0) = p und c() = q. Die Abbildung f c ist ebenfalls stetig über [0, ] und nimmt daher alle Werte zwischen m und M an. Also gibt es ein t 0 [0, ] mit f(c(t 0 )) = ρ. Wähle nun ξ = c(t 0 ). atz: ei U R n eine Jordan-messbare Menge und g : U V R n eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung mit der Funktionalmatrix Dg und Dg(u) 0 für alle u U. Dann gilt vol (V ) = det Dg(u) du. U (Insbesondere ist g volumenerhaltend, wenn det Dg(u) = für alle u U gilt.) Dieser atz folgt aus dem nächsten atz: atz: (ubstitutionsregel für Mehrfachintegrale) ei U R n eine Jordan-messbare Menge und g : U V R n eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung mit der Funktionalmatrix Dg und Dg(u) 0 für alle u U. ei f : V R stetig (bis auf eine Nullmenge). Dann ist die Funktion x f(g(x)) det Dg(u) integrierbar über U und es gilt f(v) dv = f(g(u)) det Dg(u) du. V U Der Beweis dieses atzes in vollem Umfang ist sehr aufwendig, wir motivieren hier die Formel nur im Fall n = 2. Motivation: ei g C 2 (U, V ) und n = 2. Es ist mit der kanonischen Basis e, e 2 des R 2 : f dv = f dv f(ξ R ) vol (R) V g(u) R Z 8

9 Ein R besitze die Eckpunkte u 0, u 0 + ɛe, u 0 + ɛe 2, u 0 + ɛe + ɛe 2. Nach dem atz von Taylor gilt für u 0 + v R: g(u 0 + v) = g(u 0 ) + Dg(u 0 )v + O(ɛ 2 ). Also bildet g bis auf einen Fehler der Größe ɛ 2 das Rechteck R ab auf einen pat mit den Eckpunkten g(u 0 ), g(u 0 ) + Dg(u 0 )(ɛe ), g(u 0 ) + Dg(u 0 )(ɛe 2 ), g(u 0 ) + Dg(u 0 )(ɛe ) + Dg(u 0 )(ɛe 2 ). Das Volumen dieses pates stimmt mit dem Volumen von dem pat überein, der von den Vektoren ɛdg(u 0 )e, ɛdg(u 0 )e 2 erzeugt wird. Das Volumen des letzteren ist mittels einer Determinantenformel berechenbar und es wird vol (g(r)) = det Dg(u 0 ) vol (R) + O(ɛ 3 ). Wegen vol (R) = ɛ 2 dominiert der erste Term den 2. Term für ɛ 0 und nach ummation über alle R und ɛ 0 erhält man f dv = f(g(u)) Dg(u) du. Beispiel: Berechnung von Wir führen Polarkoordinaten ein: B V U x 2 y 2 dxdy mit B = {(x, y) x 2 + y 2 }. F : ]0, ] [0, 2π[ B, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Es ist F (]0, ] [0, 2π[) = B \ N mit einer Nullmenge N. Die Funktionaldeterminante von F ist gegeben durch det Df(r, ϕ) = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r. Also wird B x 2 y 2 dxdy = 2π 0 0 r 2 cos 2 ϕr 2 sin 2 ϕ r dr dϕ = π 24 9