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1 Vesie de Agnesi Tet N Stnd 5.. FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 5455 Vesie de Agnesi Vowot Die Vesie de Agnesi ist eine lgebische Kuve. Gdes, die mn uf eine geometischen Eigenschft definieen knn. Mn kennt sie beeits seit 7 (Piee Femt und Guido Gndi), ihen Nmen ht sie von de itlienischen Mthemtikein Mi Agnesi, die sie 748 veöffentlichte. Sie lässt sich uch duch eine einfche gebochen tionle Funktion dstellen. De mthemtische Aufwnd hält sich in Genzen, weshlb sich diese Kuve gut von Schülen de Obestufe untesuchen lässt. Eine ähnliche Kuve ist die Sepentine (Tet 546). Inhlt Definition und Gleichungen Heleitungen de Gleichungen 4 Wendepunkte 6 4 Kümmungskeis m Scheitel 7 5 Fläche zwischen Kuve und Asymptote 8 6 Rottionsköpe Fiedich Buckel

3 5455 Vesie de Agnesi Definition und Gleichungen. Konstuktion de Vesie ls Otskuve:. Zeichne den Keis k um M R, hie mit R =.. In Q R zeichne die Pllele p zu -Achse.. Eine beliebige Uspungsgede mit positive Steigung schneidet k in U und p in V. 4. Die Pllelen zu -Achse duch U und zu y-achse duch V schneiden sich in einem Punkt P. Die Vesie ist die Kuve, die us llen diesen Punkt P und deen Spiegelbild bezüglich de y-achse besteht, zusmmen noch mit dem Punkt Q.. Diese Vesie ht folgende Gleichungen: Pmetegleichungen: Fü t; gilt: cos t R t R cot t R sin t tn t y t R sin t Mit wchsendem t von bis duchläuft mn die Kuve von echts nch links, lso von bis. Koodintengleichung Implizit: mit = R, lso >. y Eplizit: y Wgechte Asymptote ist die -Achse: y =, denn lim lim Fiedich Buckel

4 5455 Vesie de Agnesi 4 Heleitungen de Gleichungen. Pmetegleichungen De Polkoodintenwinkel t titt im Deieck OUQ noch einml bei Q uf. D U uf dem Keis liegt ht nch dem Stz von Thles de Winkel OQU 9 O. Also folgt fü die Stecke OU: OU OU sin t OU R sin t OQ R () Dmit knn mn die Stecke ZU beechnen: UZ sin t OU UZ OU sin t () () in (): UZ R sin t () Dies ist zugleich die y-koodinte des Kuvenpunktes P: yt R sin t. Die -Koodinte von P ist die Länge de Stecke OW, die mn im Deieck OWV beechnen knn: VW VW VW R R tn t OW, lso: t. OW tnt tnt tn t D sin t R cos t tn t t R R cot t cos t sin t sin t cos t Die Funktion Kotengens ist de Kehwet des Tngens.. Koodintengleichung us de Pmetegleichung Zum Eliminieen von und y eignet sich imme wiede die Gleichung Aus y t R sin t ehält mn sin t. R y cos t sin t Aus t R ehält mn cos t sin t R y y cos t sin t 4R 4R R 8 R, lso sin t cos t Also ist y y sin t cos t R 8R 8R y4r y 8R y 4R 8R y Mn setzt ls Abküzung R = : Fiedich Buckel

5 5455 Vesie de Agnesi 5. Koodintengleichung us de Definition Wi betchten die Sthlenstzfigu VOW. Die Sthlen OV und OW weden von den pllelen ZU und VW geschnitten. Dhe gilt: VW OW (. Sthlenstz) UZ OZ R y d. h. U y R U De Punkt U U y liegt uf dem Keis k um M R mit dem Rdius R und de Gleichung yr R Also efüllt U die Keisgleichung: y y R R R y y Ry R R 4R - R y y Ry 4R 4R y 4Ry 8Ry y usklmmen: y 4R y8r Ds ist ein Nullpodukt.. Fkto = :. Fkto = : y Mit R: 4R y 8R 4R y 8R y y 8R 4R Die Lösung des. Fktos (y = ) ist eine unwichtige Nebenlösung. Wenn mn U heuntegleiten lässt in den Uspung, dnn ist y =. Wenn mn den obigen Sthlenstz umgekeht ufstellt, wid e uch von y = und u = efüllt, ebenso die Keisgleichung. Fü unsee Kuve ist sie ohne Bedeutung. Fiedich Buckel

6 5455 Vesie de Agnesi 6 Wendepunkte f y Zu ihe Ableitung scheibt mn f. Ableitung: f'. Ableitung: f" 4 4 f" 4 f". Ableitung: f''' Im Zähle Notwendige Bedingung: usklmmen: f ''' Hineichende Bedingung: y-koodinte: f''' f ''' W f'' f''' W 4 4 Egebnis: W, W 4 4 y f Fiedich Buckel

7 5455 Vesie de Agnesi 7 4 Kümmungskeis im Scheitel Im Tet 54 Diffeentilgeometie wid uf Seite die Kümmung bespochen. Fü die Koodintenfom lutet sie: Die Ableitungen de Funktion f. Ableitung: f'. Ableitung: Fü die Kümmung n de Stelle = gilt: y" y' / y f" Nebenechnung: Eingesetzt: wuden uf Seite 6 beechnet: f" f' / 6 f', f" / Nch Seite 7 gilt fü den Rdius des Kümmungskeises: Also ist de Kümmungskeisdius: bzw.. R R Ds heißt, dss de beeits eingezeichnete Keis um M R uch de Kümmungskeis in Q ist. Fiedich Buckel

8 5455 Vesie de Agnesi 8 5 Fläche zwischen Kuve und Asymptote. Beechnung: Übe die eplizite Funktion D die Kuve symmetisch zu y-achse ist, beechnet mn nu die echte Seite: A Duch zwei Umfomungen eeicht mn ls Stmmfunktion die Akustngensfunktion:. Küzen duch : A d d. Substitution: u u d d du WISSEN: Die Funktion g() tn du u u A du ht im Intevll ; die Polstellen, wobei fü tn. gilt Die Tngenskuve ht lso die senkechten Asymptoten und. Die Umkehfunktion heißt Akustngensfunktion: y ctn. Sie ht die Ableitung y' und die Genzwete lim ctn, lim ctn Also ist G ctnu die Stmmfunktion von g du Es gilt lso: d ctn u lim A lim ctn Es folgt: A ctnu ctn ctn ctn und Die gnze Fläche zwischen K und de -Achse ht lso den doppelten Inhlt: Ode fü = R: A 4 R A. Fiedich Buckel

9 5455 Vesie de Agnesi 9. Beechnung: Übe die Pmetedstellung cos t R und yt R sin t t R cot t R sin t tn t Die Fläche wid gemäß Tet 54 so beechnet: Dhe benötigt mn noch die Ableitung von t A y t t dt t cos t t R mit de Quotientenegel: sin t t R R R sin t cos t sin t cos t R sin t sin t sin t sin t Fü die Genzen de Fläche ist es wichtig zu wissen, dss mn ds -Intevll ; mit dem t-intevll ; ehält, und zw ist Dies zeigt uch die Abbildung: und fü wid. z z z R z A yd y dt Rsin t dt 4R dt 4R t 4R z / / / sin t / Die Fläche eicht ins Unendliche fü bzw. z, und ußedem nehmen wi die linke Hälfte noch dzu: A lim A z 4R 4R Fiedich Buckel

10 5455 Vesie de Agnesi 6 Rottionsköpe Lässt mn die Fläche zwischen Kuve und -Achse (Asymptote) um die y-achse otieen, entsteht ein Rottionsköpe, dessen Inhlt nicht leicht beechenb ist. Wegen de Symmetie de Kuve beechne ich zuest nu den echten Teil, denn Genzen ich mit = bis = nsetze, m Ende lässt mn gehen. V y d d d 6 () Zu diesem Integl knn findet mn eine Stmmfunktion, wenn mn die Reduktionsfomel us Tet 485 vewendet. Sie lutet: n d bn b b n b b n n n Fü uns ist =, b übenimmt und es ist n =. Die Fomel liefet: Also d d d () Ds Restintegl d lösen wi duch Küzen d d und eine Substitution: u u d du, ds egibt: d d du du ctn u u u Rücksubstitution: d ctn () () in (): d ctn (4) 6 (4) in (): V y d d ctn Also: V 4 ctn 4 4 V ctn ctn Genzwete fü : lim lim d d und lim ctn Also ist lim V 4, lso Gesmtvolumen: V V 4 Fiedich Buckel

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