t r+1 t ÓÖ : {P[1..q] 0 q m} {P[1..q] 0 q < m} { },

Transkript

1 Ã Ô Ø Ð Ì ÜØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò º½ º½º½ ÖÙÒ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Ø ÙÑ ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ì ÜØ Ù Ò Ðº Ô ØØ ÖÒ Ñ Ø Ò µº ÁÑ À ÒØ Ö ÖÙÒ Ø Ø ÑÑ Ö Ò ÐÔ Ø Σ Ñ Ø Σ 2 ÞÙÑ Ô Ð {0,1} ÒÖ ÐÔ Ø {,,, Ì} ½ Ë ÁÁ Ò Ð Ö Ó Ñ Ø ½¾ Ò Ö ØÑ Ð Ø Ò Ö ÖØ ½ ÁËÇ ¹½ Ä Ø Ò¹½ Ù ÁÆ ¼ ¾¼¼¼¹¼ µ Ó Ö Ï Ò ÓÛ È ½¾ ¾ ¹ Ö Ò Ò ØÞ ÆËÁ¹ Ñ Ð µ Ñ Ø ¾ Ù Ø Ò ÙÒ ÞÙ Ö ÒÖ Ó ÖÙÒ Ò Ñ Ø Ø {0,1} 8 ÒÖ Ó ÖÙÒ Ò ÞÙÑ ÆËÁ¹ ÐÔ Ø Ò ÙÒ {0,1,...,255} ÒØ ÔÖ Ò Ò ÒÙÑ Ö Ò Ï ÖØ ÍÒ Ó Ñ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò ØÛ Òº ½ Ù Ø Ò Ø Ò Ö Æ Ñ Ò Ö ÆÙ Ð Ò Ò Ò Ò µ Ù Ò Ò µ ÝØÓ Ò µ ÙÒ Ì ÝÑ Ò Ìµ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØØ Ö Æ Ð Ò Ø Ö Ó Ò Þ ÒØÖ Ð ÊÓÐÐ Ô Ð Òº Ì Ø Ð Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÐÓ Ý Ò Þ ÒØÖ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ø ÚÓÒ Ì ÜØ Ð ÓÖ Ø Ñ Òº ½

2 ÐÔ Ø Ö Ö ¾ ÙÒØ Ö Ò ÒÙÖ ÙÖ Þ ÒÙÒ Ò Ö Ù Ø Òº Ï Ù Ø Ò Ò Ø Ö Û Ö Ì ÜØ Ù ÖÖ Ð Ú ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÒÒ Ù ÒÒ Ñ Ò ÐÔ Ø Ò {0,1,..., Σ 1} غ Ò Ò Û Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ó Ö ÒÞ Ð ÐØ Û ÐÔ Ø Ø Û Ð Ù Ù Ø Ò a ÙÒ b ÒÙÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ a b Ù ÖØ Û Ö º ÆÓØ Ø ÓÒº µ Σ {a 1...a t t 0,a 1,...,a t Σ} Þ Ò Ø Å Ò ÐÐ Ö Ï ÖØ Ö º º Ò Ð Ò ÓÐ Òµ Ö Σº Ø Ö t 0 Ö ÐØ Ñ Ò ÏÓÖØ Ñ Ø ¼ Ù Ø Ò Ð Ö ÏÓÖØ εº µ ÖÖ Ý Ö Û Ö Ï ÖØ Ö W a 1...a t Û Ö Ð W[1..t] Ö Ò W[i] ÙØ Ø a i ÙÒ W[i..j] ÙØ Ø Ì ÐÛÓÖØ a i...a j º Ï ÒÒ i j Ø ÑÙ 1 i j t ÐØ Ò Ö i > j ÙØ Ø W[i..j] Ø Ø Ð Ö ÏÓÖØ εº µ Ò Ì ÐÛÓÖØ W[1..i] a 1...a i Ñ Ø i t Ø Ò ÈÖ Ü ÚÓÒ W a 1...a t º Ò Ì ÐÛÓÖØ W[i..t] a i...a t Ñ Ø i 1 Ø Ò ËÙ Ü ÚÓÒ W a 1...a t º Ò Ì ÜØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò ÓÐ Ò Ñº Ò ÅÙ Ø Ö P P[1..m] Σ m 1 ÙÒ Ì ÜØ S S[1..n] Σ n 1º Ù Ò Ö Ø Ó Ö Ò Ó Ö ÐÐ µ ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÚÓÒ P Ò S º º Ò Ð Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ö ÐÐ l {1,...,n m+1} Ñ Ø P S[l..l+m 1]º Ô Ð Ð Ò Þ Ð Ò Ð Ù Ø Û Ö ÛÓÐÐ Ò ÐÐ ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÅÙ Ø Ö Ò Òºµ S ÁÅ À ÍÀ Í Æ Á Æ Ä ÁÆ Æ, P Æ Ä : Ù {18} S ÁÅ Æ ÄÀ Í Æ Á Æ Ä ÁÆ Æ, P Æ Ä : Ù {4,20} S ÁÅ Ï Ä Æ ÍÅ ÁÆ Æ, P Æ Ä : Ù S ÁÅ Ï Ä Æ ÍÅ ÁÆ Æ, P Ï Ä : Ù {4}. º½º¾ Æ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Æ Ø ÖÐ Ð Ø Ì ÜØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÈÖ ÒÞ Ô ÒÞ Ò Ð Ò Å Ò ÔÖÓ ÖØ Ò ÐÐ Å Ð Ø Ò ÙÖ º ¾

3 Æ Ú Ì ÜØ Ù Ö l {1,...,n m+1} ØÙ ÓÐ Ò Î Ö Ð P[1..m] Ù Ø Ö Ù Ø Ñ Ø S[l..l+m 1] Ö Ò Ø Ñ¹ ÑÙÒ ÐÐ Ö m Ù Ø Ò Ø Ø ÐÐØ Û Ö ÒÒ Û Ö l Ò Ù Ö ¹ Òµ Ó Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ðº Ñ Ñ Ø µ ÙÒ Ò ÛÙÖ º º Ò ÁÒ Ü q {0,...,m 1} Ñ Ø P[q +1] S[l+q]µº Ø Ò Î Ö ÒØ Ò ÈÖ ÒÞ Ô Ò Ñ Ò Û Ð Ö Ê Ò ÓÐ ÈÐØÞ l Ö Ø Ø Û Ö Ò ÙÒ Ù Ø Ò Ö Ï ÖØ Ö P ÙÒ S[l..l+m 1] Ú Ö Ð Ò Û Ö Òº Æ Ð Ò Ø Û Ð ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø ÚÓÖÞÙ Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ º½º½ Æ Ú Ì ÜØ Ù Î Ö Ð ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø µº Æ Ú ¹ÈÅ¹Ð Ø¹Ö Ø È 1ººm Ë 1ººn µ Ò È 1ººm Ë 1ººn»» È ÅÙ Ø Ö Ë Ì ÜØ Ù {1,...,n m+1} ½µ»» ÁÒ Ø Ð ÖÙÒ ¾µ ÓÖ Ð ÖÓÑ 1 ØÓ n m+1 Ó µ Õ 0 µ Û Ð Õ < m È Õ ½ Ë Ð Õ Ó Õ Õ ½ µ Õ m Ø Ò {Ð} µ Ö ØÙÖÒ º Ò ÙÐ Ø ÐÐØ Ñ Ò ÚÓÖ Ñ Ò Ö l 1,...,n m+1 Ò Ò Ò Ö ÅÙ Ø Ö P ÙÒØ Ö Ò Ò ØØ S[l..l + m 1] Ì ÜØ Ð Ø ÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ò È Ö ÚÓÒ Ù Ø Ò Ú Ö Ð Øº ÎÓÒ ÊÙÒ ÞÙ ÊÙÒ Û Ö ÅÙ Ø Ö Ð Ó ÙÑ Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ú Ö Ó Òº Ô Ð ÅÙ Ø Ö P Ö m 4µ Ì ÜØ S Ö Ö Ö n 15µº ÓÐ Ò Ì ÐÐ Þ Ø 12 ÈÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ö Û Ð ÈÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ò Ò Ù Ø Ò

4 i l \ Ì ÜØ Ö Ö Ö 1 Ö 2 Ö 3 Ö 4 Ö 5 Ö 6 Ö 7 Ö 8 Ö 9 Ö 10 Ö 11 Ö 12 Ö ÐÐ ½¾ ÈÓ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ò ÅÙ Ø Ö Ò Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ù Ø Ò Ò Ö Ù Ö Ò Ø ÑÑÙÒ ÐÐ Ö Ù Ð Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ð Ö Ùµº ÅÙ Ø Ö ÓÑÑØ Ö ¹ Ñ Ð ÚÓÖº ÁÒ ÑØ Ø ¾ Î Ö Ð º Å Ò Ñ Ö Ø S[4] ÙÒ S[11] ÞÛ Ñ Ð Ö ÓÐ Ö Ñ Ø ÅÙ Ø Ö Ù Ø Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö Ò ÙÒ S[9] ÙÒ S[10] Ö ÓÐ ¹ ÐÓ Ñ Ø P[1] Ú Ö Ð Ò Û Ö Ò Ó ÛÓ Ð Ñ Ò ÚÓÖ Ö ÓÒ Ò Ø Ò Ò ËØ ÐÐ Ò ÙÒ Ö Ð Ó Ò Ø P[1] Ø Øº Ä Ù Þ Ø Ò Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ØÖ Ø O((n m+1)m) Ñ Ð Ø Ø Ò ÐÐ ÒÞ Ð Ö Ù Ø ÒÚ Ö Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð(n m+1)mº Ç Ø Ø Î Ö Ð ¹ Þ Ð Ö Ò Ö Û Ð Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ë Ð ÓÒ Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ò Û Ö º ÓÒ Ö Ò Ø ÖÐ ÔÖ Ò Ì ÜØ Ò Û Ö Ó Òº Å Ò ÒÒ Ñ Ø Ò Ô Ð Ò Ò Ò ØØ º½º½ Ù ÔÖÓ Ö Òº ÐÐ Ö Ò Þ Ø ÓÐ Ò Ô Ð Ö Ð Ø Ø ÐÐ Ù ÒØÖ Ø Ò ÒÒ ÅÙ Ø Ö P m 1 ÙÒ Ì ÜØ S n 1 Ö Ò ÞÙ Ò Ù (n m + 1)m Ù Ø ÒÚ Ö Ð Ò Û Ð Ò Ö ÈÓ Ø ÓÒ l Ð Ö Ø ÐÐ Ö Ø Ò m Î Ö Ð Ò ÙÒ Ò Û Ö º ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð ØÖ Ø Ò Û Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ä Ù Þ Ø ÚÓÒ O(m+n) Ö ÒØ Ö Òº Ò Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÚÓÒ ÃÒÙØ ÅÓÖÖ ÙÒ ÈÖ ØØ ÙÒ Ö Ð Ó¹ Ö Ø ÑÙ ÚÓÒ ÓÝ Ö ÙÒ ÅÓÓÖ º Ò Ò ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö Ò ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÚÓÒ Ï ÖØ ÖÒ Ù Ò Ö ÒÞ Ò Ä Ø ÚÓÒ ÅÙ Ø ÖÒ Ù Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÚÓÒ Ó¹ ÓÖ µº

5 º½º ÊÒ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ö Ú Ð Ì ÜØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ö Ö Ê Ò Ò Ðº ÓÖ Öµº Ò ÙÐ Ø Ò Ê Ò Ò ÏÓÖØ W Ò ÖÞ Ö Ì ÐÛÓÖØ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ó Ñ Ö Ø Ò Ò ÚÓÒ W Ò Øº W 1 t r+1 t W r t Ð ÙÒ º½ Ò Ì ÐÛÓÖØ W ÚÓÒ W ÓÛÓ Ð ÈÖ Ü Ð Ù ËÙ Ü ÚÓÒ W Ø Ø Ò Ê Ò ÚÓÒ W º Ò Ø ÓÒ º½º¾º Ë W a 1...a t Ò ÏÓÖØ t 0º W[1..r] Ø Ò Ê Ò ÚÓÒ W Û ÒÒ 0 r < t ÙÒ W[1..r] Ò Ø ÒÙÖ ÈÖ Ü ÓÒ ÖÒ Ù µ ËÙ Ü ÚÓÒ W Ø º º Û ÒÒ W[1..r] W[t r +1..t] ÐØ º º º½µº Å Ò Ø ÓÐ Ò ËÓÒ Ö ÐÐ µ Â Ò ØÐ Ö ÏÓÖØ W W[1..t] Ø ε W[1..0] W[t+1..t] Ð Ê Ò º µ W Ð Ø Þ ÐØ Ò Ø Ð Ê Ò ÚÓÒ W Ó ÛÓ Ð ÈÖ Ü ÙÒ ËÙ Ü ÚÓÒ Ð Ø Øº Å ØÙÒØ Ö Û Ö W Ð ÙÒ ÒØÐ Ö»ÙÒ Ø Ö Ê Ò ÚÓÒ W Þ Ò Øºµ µ Ð Ö ÏÓÖØ ε Ø Ö ÙÔØ Ò Ò Ê Ò º Ô Ð ÊÒ Ö ÚÓÒ Ò ε ÙÒ º ÊÒ Ö ÚÓÒ Ò ε ÙÒ º ÍÒ ÒØ Ö ÖØ Ó Ø Ö ÐÒ Ø Ê Ò ÚÓÒ W º Ö ÐÒ Ø Ê Ò ÚÓÒ Ø Ö ÐÒ Ø Ê Ò ÚÓÒ Ø εº ÐÒ Ø Ò ÊÒ Ö Ö ÈÖ Ü ÅÙ Ø Ö P[1..m] Ò ÚÓÒ ÓÒ Ö Ñ ÁÒØ Ö º Å Ò ÒÒØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ : {P[1..q] 0 q m} {P[1..q] 0 q < m} { },

6 { ÐÒ Ø Ö Ê Ò P[1..q P[1..q] ] ÚÓÒ P[1..q] ÐÐ 1 q m; ÐÐ q 0. ØÖ Ø Ò Ñ ÈÖ Ü P[1..q] Ò Ò ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..q ] ÞÙÓÖ Ò Ø ÞÛº Ò Ï ÖØ Ö ÙÒ Ò ÖØ µ Ö P[1..0] εº Ø Ö Ø Ò ÕÙ Ñ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÒØ ÔÖ Ò Ò ÄÒ Ò ÞÙ ÒÙØÞ Òº Ò Ø ÓÒ º½º Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒµº Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m]º Ï Ö Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖ : {0,1,...,m} { 1,0,...,m 1} ÙÖ { ÄÒ ÐÒ Ø Ò Ê Ò ÚÓÒ P[1..q] ÐÐ 1 q m; f ÓÖ (q) : 1 ÐÐ q 0. Ç Ò ØÐ Ø ÑÑ Ö f ÓÖ (q) < qº ØÐ ÙÒ f ÓÖ (0) 1 Û Ö Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö¹µØ Ò Ð Ò Ø ÖÛ Òº q È q Ö Ö Ö f ÓÖ (q) Ð ÙÒ º¾ Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖ P[1..15] Ö Ö Ö º ÁÒ º º¾ Ø Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÅÙ Ø Ö Ö Ö Ö Ò Òº ÐØ ÞÙÑ Ô Ð f ÓÖ (10) 3 Û Ð ÓÖ (P[1..10]) ÓÖ ( Ö Ö) Ö P[1..3] Ðغ Ø Þ ÒØ Î Ö Ö Ò Ö Ö ÒÙÒ Ò Ö Ì ÐÐ Ö Ê Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒº ÍÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÑ ÖÒ Û Ö ÙÒ ÔØ Öº ÏË ¾¼½»½ ÙÒ ºµ ÙÒ Ù º Ï ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖ ÞÙ Ò Ñ q ÐÐ ÊÒ Ö ÚÓÒ P[1..q] º º ÐÐ r Ö P[1..r] Ê Ò ÚÓÒ P[1..q] Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ù ÞÙ Ò Ò ÁÒ Ü r ÓÐÐ ÒÙÖ Ø O(1) Ù Û Ò Ø Û Ö Òº º¾ º¾º½ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÚÓÒ ÃÒÙØ ÅÓÖÖ ÙÒ ÈÖ ØØ ÎÓÖ ÖÐ ÙÒ Ò Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÚÓÑ Ò Ú Ò Ì ÜØ Ù Ð ÓÖ Ø ÑÙ º½º½ Ù Ð Ó Ö Î Ö¹ ÓÒ Ò Ö Ö ËØ ÐÐ l 1,...,n m+1 Ñ Ì ÜØ S[1..n] ÅÙ Ø Ö Ù Ø Ò

7 P[q + 1] q 0,...,m 1 ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ñ Ø Ò Ì ÜØ Ù Ø Ò S[l + q] q 0,...,m 1 Ú Ö Ð Ò Û Ö Òº Ù Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÐÐØ Î Ö¹ Ð ÚÓÒ Ï ÖØ ÖÒ Ö Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÓÐ ÚÓÒ Ï ÖØ Ò l Ò Ú Ö Ù Ø Ö Ò Å Ð Ø l¹ï ÖØ ÞÙ Ö ÔÖ Ò Ò Ð Ó ÅÙ Ø Ö Ò Ò Ñ Ë Ö ØØ ÙÑ Ò Ö Ö ËØ Ò Ö Ø ÞÙ Ò Ø ÙÑ Ñ Ö Ð Ò ÈÓ Ø ÓÒµ ÙÒ Ö Ù Ø ÒÚ Ö Ð Ù ÞÙÐ Òº Ï Ö Ö ÐÖ Ò Á Ò Ò Ù Öº ¾ Ò ÒÓÑÑ Ò Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø Ò ÈÓ Ø ÓÒ l n m+1 Ò ÓÑÑ Ò ÙÒ Û Ö Ò Ö Ø q {0,1,...,m} Ñ Ø P[1..q] S[l..l+q 1] ÖÑ ØØ Ðغ Ø ÞÛ ÐÐ ½º ÐÐ q < m ÙÒ P[q + 1] S[l + q]º ÒÒ ÒÒ Ò ËØ ÐÐ l ÅÙ Ø Ö Ò Ø ÚÓÖ ÓÑÑ Òº Ï Ö Ú Ö Ò P[1..m] Ò Ò Ò Ù ÈÓ Ø ÓÒ l > l ÙÒ Ø Ø Ò ÖÒ ÙØ Ù Ö Ò Ø ÑÑÙÒ ÞÛº Ö Ò Ù Û ÒÒ l > n m+1µº Ö Ò Ú Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú Ö Ù Ø ËØ ÐÐ l l+1 ÙÒ Ú Ö Ð ØP[1..m] Ñ ØS[l..l +m 1] Ù Ø ÒÛ ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø º Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÙØÞØ Ï Ò P[1..q] S[l..l+q 1] ÙÒ P[q+1] S[l+q] º½µ Ø Ù ÙÒ ÞÛ Ö ÓÔÔ ÐØ Ö Ø Ò Ø Ö ÈÓ Ø ÓÒ Ò l {l + 1,...,l + q} ÞÙ Ø Ø Ò Ö Ù º½µ ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ø Ð ÈÓ Ø ÓÒ ÅÙ Ø Ö Ò Ö ÓÑÑ Òº Û Ø Ò ÒÒ Ñ Ò Ö Ò Ñ Ð Ò Ù ÈÓ Ø ÓÒ l {l+1,...,l+q 1} Ù ÒÙØÞ Ò ÓÒ Ö ÓÐ Ö Î Ö Ð Ñ Ø Ò Ù Ø Ò S[l..l+q 1] Ñ Ì ÜØ ÙÖ ÖØ ÛÓÖ Ò Ò º ÁÒ º º ÙÒ º º Ò Ñ Ð Ò Ë ØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÐÐغ Ï Ö ØÖ Ø Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ò Î Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ò Ë ØÛ ÖØ s {1,...,q} ÚÓÒ ÈÓ Ø ÓÒ l ÞÙ ÈÓ Ø ÓÒ l l+sº Ï Ö Ò Ö Ò q q s 0º ÒÒ ÐØ l+q l +q º Ï ÒÒ ÅÙ Ø Ö Ò ÈÓ Ø ÓÒ l ÚÓÖ ÓÑÑØ ÑÙ ÒÓØÛ Ò ÖÛ P[1..q ] S[l..l+q 1] P[q +1] S[l+q] ÐØ Òº ÁÒ ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ø º½µ Ð ÖØ ÒÓØÛ Ò Ò ÙÒ P[1..q ] P[q q +1..q] ÙÒ P[q +1] P[q+1]. º¾µ ¾ ÒØÛ ÐÙÒ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ù Ñ Ò Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Û Ö Ö Ø Ø ÐÐ ÖØ ¹ Ö Ò Ð Ò Ä Ö Ô Ð Ö Û Ñ Ò ÙÖ Ò Ù ØÖ ØÙÒ ÙÒ Î Ö ÖÙÒ Ò Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙ Ò Ö Ö Þ ÒØ Ò Î Ö ÓÒ ÓÑÑ Ò ÒÒº

8 S 1 l l l+q n P 1 P q q q q +1 s m m Ð ÙÒ º ÖÙÒ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½º ÐÐ ËØ Ò Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò Î Ö ÙÒ ÙÑ s l l q q q ÒÒ ÒÙÖ ÒÒÚÓÐÐ Ò Û ÒÒ P[1..q ] P[q q + 1..q] ÙÒ P[q + 1] P[q + 1] ÐØ Òº ÖÐ ÙÒ ÐØ Ù Ñ ÐÐ q 1 ÙÒ q 0º ÁÑ ÐÐ Ò Ö ÓÐ Ò Î Ö ÙÒ Ø Ö Ò Ø Î Ö Ð ÞÛ Ò S[l+q] ÙÒ P[q +1] Ù ÞÙ Ö Òº S 1 l l+q l n P q q+1 m s P 1 m Ð ÙÒ º ÖÙÒ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½º ÐÐ ËÓÒ Ö ÐÐ Ò Î Ö ¹ ÙÒ ÞÙÖ ÈÓ Ø ÓÒ l l+q+1 l+s Ð Ó Ñ Ø q q s 1 ÒÒ Ò Ù ÐÓ Ò Û Ö Ò Ò Ù Ø Ò S[l..l +m 1] Ö Ò ÛÙÖ º ÁÑ ÐÐ Ò Ö Óй Ò Î Ö ÙÒ Ø Ö Ò Ø Î Ö Ð ÞÛ Ò S[l+q+1] ÙÒ P[1] P[q +2] Ù ÞÙ Ö Òº Ë ØÛ ÖØ s q q º¾µ Ö ÐÐ Ò Ò ÞÙÐ º Ö Ø Ð Ø Ò º¾µ ÙØ Ø P[1..q ] Ê Ò ÚÓÒ P[1..q] Ò ÑÙ ÞÛ Ø Ö ÒÞØ Ò P Ù P[1..q ] ÙÒ P[1..q] Ú Ö Ò Ù Ø Ò ÓÐ Ò Ñ Òº Ï ÒÒ Ò ÞÙÐ s q Ø ÒÒ Ú Ö Ò Û Ö ÅÙ Ø Ö ÙÑ Ò Ð Ò Ø Ò ÞÙÐ Ò Ï ÖØ s

9 ØÞ Ò Ð Ó l : l + sº Ñ Ø Ø Ö Ø ÐÐØ Ò Ñ Ð ÈÓ Ø ÓÒ ÅÙ Ø Ö Ö Ò Û Ö º Å Ø Ò Ù Ø ÒÛ Ò Î Ö Ð Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ø ÒÙÒ Û Ø Ö Û Ñ Ò Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÐÐ Ö Ò Ö Ù Ò Û Ö Ò P Ö Ø P[q +1] ÙÒ Ò S S[l +q ] S[l+q] ÒÞÙ Ò Ò Ð Ø P[1..q ] S[l..l +q 1] Û Ò º½µ ÓÒ ÖØ Øº Ø ÒÓ Ò Ò ËÓÒ Ö Ðк Ï ÒÒ Ö ÙÔØ Ò ÞÙÐ s {1,...,q} Ø ÒÒ ÓÑÑØ Ò Ö ÈÓ Ø ÓÒ Ò l + 1,...,l + q Ð Ò Ù l Ò Ö º Ï Ö ØÞ Ò ÒÒ l l+q +1 Ð Ó s q +1 Û ÞÙ q q s 1 Öغ ÈÓ Ø ÓÒ l ÒÒ Ò Ö Ò º½µ Ò Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒµ Ò Ù ÐÓ Ò Û Ö Ò Ò Ù Ø Ù S[l..n] ÓÖØ ÖÛ ÒØ Û Ö º Ö Ë ØÛ ÖØ s q+1 ÐØ Ð Ó ÑÑ Ö Ð ÞÙÐ º Ï ÒÒ Ö Ð Ò Ø ÞÙÐ Ï ÖØ Ø Û Ö ÙÑq+1 Ú Ö Ó Òº Ö Ö Ø Ò Ù Î Ö Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ö ËØ ÐÐ P[1] ÙÒ S[l ] S[l+q+1] Ù ÞÙ Ö Òº Ö ËÓÒ Ö ÐÐ ØÖ ØØ Ñ ½º ÐÐ Ö q 0 Ð Ó P[1] S[l]µ ÑÑ Ö Òº ¾º ÐÐ q mº ÒÒ Ø Ø ÅÙ Ø Ö P Ñ Ö S[l..l+q 1] ÙÒ Û Ö Ò l Ù º Ï ÒÒ Û Ö ÐÐ ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÅÙ Ø Ö Ò S Ò Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ò Û Ö ÒÓ Û Ø Ö Ö Ø Òº Ï Ö Ù Ò Ð Ó Ò Ò Ù ÈÓ Ø ÓÒ l > l Ò Ñ Û Ö Ï Ò P[1..m] S[l..l+m 1] º µ Ø Ù ÒÙØÞ Òº ÁÒ º º Ø Ë ØÙ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐغ S 1 l l+m n P m s P q m Ð ÙÒ º ÖÙÒ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾º ÐÐ Ï Ö Û Ò P[1..m] S[l..l+m 1] Ðغ Ò Î Ö ÙÒ ÅÙ Ø Ö Ò Ò ËØ ÐÐ l l+s ÒÒ ÒÙÖ ÒÒÚÓÐÐ Ò Û ÒÒ Ö q q s ÈÖ Ü P[1..q ] Ò Ê Ò ÚÓÒ P غ Ø ÑÑ Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ê Ò ÒÑÐ εºµ

10 Ï Ð Ö Ò Ö ÓÐ Ö ÈÓ Ø ÓÒ l l + s l + q q Ð Ø P[1..q ] S[l..l +q 1] S[l..l+m 1] ÐØ Ò ÑÙ ÓÐ Ø ÒÓØÛ Ò Ò ÙÒ P[1..q ] P[m q +1..m]. º µ ÁÒ Ñ ÐÐ ÐØ Ò Ð Ó ÐÐ Ë ØÛ ÖØ s Ö P[1..m s] Ò Ê Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m] Ø Ð ÞÙÐ º s m Ø Ö ÑÑ Ö ÞÙÐ ºµ ÎÓÒ ÐÐ Ò ÞÙÐ Ò Ï ÖØ Ò s Û Ð Ò Û Ö Ò Ð Ò Ø Ò Ñ Ø Ò Ñ Ð ÈÓ Ø ÓÒ ÅÙ Ø Ö Ö Ò Û Ö ÙÒ ØÞ Ò l : l + s ÙÒ q : m sº ÁÒ Ö Ö ØÙÒ Ö ÈÓ Ø ÓÒ l ÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø Ñ Î Ö Ð ÞÛ Ò P[q +1] ÙÒ S[l +q ] S[l+m] ÓÖØ Ö Ò Û Ð ÓÒ ÒÒØ Ø P[1..q ] ÙÒ S[l..l +q 1] Ö Ò Ø ÑÑ Òº º¾º¾ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÁÒ Ò ÎÓÖ ÖÐ ÙÒ Ò ÞÙÑ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÑÙ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò Ö Ð Ö Ø ÐÐ Ó Ö Ñ Ù ØÖ Ø Ò ÅÙ Ø Ö Ö Ø Ð Ò Ø µ ÞÙÐ Ë ØÛ Ø s l l q q Ò Òº Ù Ò Ò ÙÒ Ò º¾µ ÙÒ º µ Ø Ð Ö Ë ØÛ Ø ÒÙÖ ÚÓÒ P ÙÒ q Ò Ø Ò Ø ÚÓÒ Sº Ï Ö ÒÒ Ò Ð Ó Ë ØÛ Ø Ö q 0,...,m Ù P[1..m] ÚÓÖ Ö Ò Òº Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ë ØÛ Ø s ÓÒ ÖÒ Ò Ò Ù Ò Ï ÖØ q q s ÞÙ ØÖ Ø Òº ÙÒ Ø ÓÒ q q ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ö Ø Î Ö ÒØ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ØØ º½º º Ö Ò ÈÖ Ü P[1..q] Ñ Ø q < m Ò ÒÙÖ ÓÐ ÊÒ Ö P[1..q ] ÒØ Ö ÒØ P[q +1] P[q +1] Ö ÐÐ Òº Ò Ø ÓÒ º¾º½ ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒµº Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m]º ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ : {0,1,...,m} { 1,0,...,m 1} Ø Û ÓÐ Ø Ò ÖØ ÄÒ q ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..q ] ÚÓÒ P[1..m], ÐÐ q m; ÄÒ q ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..q ] ÚÓÒ P[1..q] f ÃÅÈ (q) : Ñ Ø P[q +1] P[q+1], ÐÐ Ò ÓÐ Ö Ü Ø ÖØ Ö 0 < q < m; 1, ÐÐ Ò ÓÐ Ö Ê Ò Ü Ø ÖØ Ö 0 q < m. Ñ Ö ÙÒ Å Ò ÒÒ f ÃÅÈ (q) Ù ÓÑÔ Ø Û ÓÐ Ø Ö Ò f ÃÅÈ (q) Ø Ö Ø Ð q { 1,0,1,...,q 1} Ñ Ø P[1..q ] P[q q +1..q] ÙÒ (q 0 q < m) P[q +1] P[q +1]. º µ ½¼

11 Ö Ø Ù Ò º µ ÐØ ØÖ Ú Ð ÖÛ Ö q { 1,0} ÞÛ Ø ÐØ ØÖ Ú Ð Ö¹ Û Ö q 1 ÙÒ Ò Ó Ö q mº Ð Ó Ø º µ ÙÖ q 1 ÑÑ Ö Ö ÐÐØ ÙÒ Ñ ÐÐ q m ÙÖ q 0 Ö ÐÐغ P 1 q m P 1 q m Ð ÙÒ º Ö 0 q < m Ø f ÃÅÈ (q) ÄÒ ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..q ] ÚÓÒ P[1..q] Ó ÓÐ Ò Ò Ù Ø Ò P[q +1] ÙÒ P[q +1] Ú Ö Ò Ò ÐÐ Ò ÓÐ Ö Ê Ò Ü Ø Öغ ËÓÒ Ø Ø f ÃÅÈ (q) 1º ÒÑ Ö ÙÒ f ÃÅÈ (0) 1 Û Ð P[1..0] ε Ö ÙÔØ Ò Ò Ê Ò Øº f ÃÅÈ (m) Ø Ò f ÓÖ (m)º ÁÒ º º Ò Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÖP Ö Ö Ö Ò Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ô Ð Ò Ö Ú Ö Ò Ò Ñ Ð Ò Ë ØÙ Ø ÓÒ Òº ÐØ ÞÙÑ Ô Ð f ÃÅÈ (1) 0 Û Ð Ö Ò Ê Ò P[1..0] ε ÚÓÒ P[1..1] ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ö ÐÐØ Ø P[1] P[2]µ f ÃÅÈ (4) 1 Û Ð Ö Ò ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..1] ÚÓÒ P[1..4] Ö ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ö ÐÐØ Ø P[2] P[5]µ f ÃÅÈ (5) 1 Û Ð Ö Ò ÒÞ Ò Ê Ò P[1..0] ε ÚÓÒ P[1..5] Ö ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ò Ø Ö ÐÐØ Ø P[1] P[6]µ f ÃÅÈ (11) 4 Û Ð Ö Ò ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..4] Ö ÚÓÒ P[1..11] ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ö ÐÐØ Ø P[5] P[12]µ f ÃÅÈ (14) 1 Û Ð Ö Ò ÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..4] Ö ÚÓÒ P[1..14] ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ò Ø Ö ÐÐØ Ø P[5] P[15]µ Ö Ö Ò ÞÛ ØÐÒ Ø Ò Ê Ò P[1..1] ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ö ÐÐØ Ø P[2] P[15]µ f ÃÅÈ (15) 5 Û Ð m 15 ÙÒ P[1..5] Ö Ö ÐÒ Ø Ø Ê Ò ÅÙ Ø Ö Øº ½½

12 q P[q] Ö Ö Ö f ÓÖ (q) f ÃÅÈ (q) P[1..0],P[1] ε P[1..15] Ö º º º P[1..1],P[2] P[1..15] Ö º º º P[1..4],P[5] Ö P[1..15] Ö º º º P[1..5],P[6] Ö P[1..15] Ö º º º P[1..11],P[12] Ö Ö P[1..15] Ö º º º P[1..14],P[15] Ö Ö Ö P[1..15] º º º P[1..15] Ö Ö Ö P[1..15] Ö º º º Ð ÙÒ º Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ Ö P[1..15] Ö Ö Ö Ñ Ø Ô Ð Ò Ö ÈÓ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò ÊÒ Öº ½¾

13 Ò Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Þ ÒØ Ò Ö ÒÙÒ Ò Ö Ì ÐÐ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û Ö ÔØ Ö ÚÓÖ Ø ÐÐغ Ï Ö Ñ Ö Ò Ö ÓÒ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ö Ø Ú Ù Ö Û ÒÐ Ò Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Û Ö Ò ÒÒº ÙÒ Ù º Ò ÒÓÑÑ Ò f ÓÖ Ø Òº Å Ò Û ÓÐ Ò Ø Ö Ø Ú Ö ÒÙÒ ÚÓÖ Ö Ø Ö f ÃÅÈ ÓÖÖ Ø Ø ½µ f ÃÅÈ (0) 1º ¾µ Ö q 1,...,m 1 ØÙ Ò Ò Ò Ö Ë ØÞ q f ÓÖ (q) Ø Ò Ï ÖØ Ò {0,...,q 1}µº ÐÐ P[q +1] P[q+1] ØÞ f ÃÅÈ (q) q ÓÒ Ø ØÞ f ÃÅÈ (q) f ÃÅÈ (q )º µ f ÃÅÈ (m) f ÓÖ (m)º Ï Ö ÒÒ Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÚÓÒ ÃÒÙØ ÅÓÖÖ ÙÒ ÈÖ ØØ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ ØÞØ Ò Ù Ö Òº Ö Ú ÖÒ ÖÐ Ò Ï ÖØ q ÙÒ q Ò Ø Ò Î Ö Ð Õ Ö l ÙÒ l Ò Î Ö Ð Ðº Ö Ò Ë ØÛ ÖØ s ÒÙØÞ Ò Û Ö Ò Î Ö Ð º Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º¾ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ Ò ÙÐ µº ÃÅÈ¹Ì ÜØ Ù È 1ººm Ë 1ººn µ Ò È 1ººm Ë 1ººn»» ÅÙ Ø Ö Ì ÜØ Ù {1,...,n m+1} ÎÓÖ Ö Ò Ø ÃÅÈ 0ººm ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ È 1ººm Ð Ì ÐÐ ½µ ¾µ Õ 0 Ð 1 µ Û Ð Ð n m+1 Ó µ Û Ð Õ < m È Õ ½ Ë Ð Õ Ó Õ Õ ½ µ Õ m Ø Ò {Ð}»» ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ò µ Õ ¹ ÃÅÈ Õ µ Ð Ð µ Õ Õ ¹»» º º Õ ÃÅÈ Õ µ Õ 1 Ø Ò Õ 0 ½¼µ Ö ØÙÖÒ º Ô Ð ÅÙ Ø Ö P Ö m 6µ Ì ÜØ S Ö Ö Ö n 18µº ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö P Ø Ò º º Ò Òº ½

14 q È q Ö f ÃÅÈ (q) Ð ÙÒ º ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÅÙ Ø Ö P Ö m 6µº l Ö Ö Ö q q s 1 Ö Ö Ö Ö Ö Ö º º º ËÌÇÈ À ÐÐ Ö Ù Ò ÅÙ Ø Ö Ù Ø Ò Ö ÓÐ Ö Ú Ö Ð Ò Û Ö Ò ÙÒ Ð Ö Ù Ð Ö Ø ÐÐ Òº Ò Ö ËÔ ÐØ ÒÙÖ Ò ÐÐ Ö Ù Ö Ù Ø Ø Ø Ù¹ Ø Ø Ò Ì ÜØ Ù Ø Ñ Ö Ð ÒÑ Ð Ö ÓÐ Ö Ú Ö Ð Ò Û Ö º ÁÑ Î Ö¹ Ð ÞÙÑ Ò Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð Ò Ú Ð Ð Òº Ö Ö Ø Ø Ø Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ò l {1,...,n m+1} Ø Ñ Ü Ñ Ð Ò Ò Ð Ö Ù Ø Ò Ø Ð Ö Ñ Ø Ö ÒØ ÙÒ Ö Ð Ö Ø ÐÐ Ø ÈÓ Ø ÓÒ ÖРصº ÁÑ Ô Ð Û Ö Ò ½ Ù ¹ Ø ÒÚ Ö Ð ÙÖ ÖØ Ò Ú Î Ö Ö Ò Û Ö ¾ Î Ö Ð Ò Ø Òº Ë ØÞ º¾º º Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º¾ Ø ÓÖÖ Ø ÙÒ Ø Ä Ù Þ Ø O(n)º ÒÞ Ð Ö ÙÖ ÖØ Ò Ù Ø ÒÚ Ö Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð 2n m+1º Û ÃÓÖÖ Ø Ø ÓÐ Ø Ù Ò ÎÓÖ ÖÐ ÙÒ Òº Ö Ð Ù Ø ÒÞ Ò Ù Û Ñ Ò Ú Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ñ Ø Ñ ÍÒØ Ö Ò l¹ï ÖØ Ù Ð Ò Û Ö Ò ÙÒ Ò Î Ö Ð Ò Ô ÖØ Û Ö Ò Û Ð ÒØ ÔÖ Ò Ò Ð Ø Ò ÓÒ Ù Ö Ö Ò ÊÙÒ Ò ÒÒØ Ò º Ö Ä Ù Þ Ø ÖÐ Ø Ñ Ò ÓÐ Ò º ÖÓ Û Ð ¹Ë Ð Ð Ò µ µµ Û Ö Ø Ò (n m+1)¹ñ Ð ÙÖ Ð Ù Ò Û Ð Ö ÁÒ ÐØ l ÚÓÒ Ð Ò Ñ ÙÖ Ð Ù Ö Ø ÙÒ l > n m+1 ÖÓ Ò Û Ö º ÁÒ Ñ ÙÖ Ð Ù Ö ÖÓ Ò Ë Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð Ò Ò Ì Ø Ö Ë Ð Ò Ð µ Ö ÞÙÑ ÖÙ ÖØ Ð Ö Ø ÐÐ µº Ð Ó Ø Ø Ò n m+1 Ö ÓÐ ÐÓ Î Ö Ð º Ð Ò ÙÖ ÐÙ ÙÖ Ë Ð Ò Ð µ Ò Ò Ò Ù Ø ÒÚ Ö Ð ½

15 Ö ÓÐ Ö Ò º À Ö Ö ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ï ÖØ l+q Ñ Ø l Ò Ð ÙÒ q Ò Õº Ö Ï ÖØ Ø ÖØ Ø 1 Û Ö Ò ÖÒ Ö Ø ÙÒ Û Ö Ñ Ö ÓÐ Ö Ò Î Ö Ð Ñ Ë Ð ÒØ Ø Ò Ð µ Ø Ö Ø Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ø Ù Ò ÐÐ Û ÒÒ l + q Ö Ö Ð n Û Ö º Ð Ó ÒÒ Ò Ø Ñ Ö Ð n Ö ÓÐ Ö Î Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ñ Ö Ð n ÓÐ Ë Ð Ò ÙÖ ÐÙ Òº ÁÒ Ò ØØ º¾º Û Ö Ò Û Ö Ò Û Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ñ Ø Ù ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒµ Ò Ø O(m Σ ) Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ò ØØ º¾º Û Ö ÒÒ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ò Ö Ò ØO(m) Ò Ì ÐÐ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ Ö Ò Øº º¾º Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ö ÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ò¹ Ù ÙÒ Ï Ö Ò Ò Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð Ò ÓÔØ Ñ ÖØ Î Ö ÓÒ Ò ¹ Ú Ò Ì ÜØ Ù Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú Ö Ø Ò Ò Û Ö Ò ÒÒ ÅÙ Ø Ö Ò ËÔÖ Ò Ò Û Ø Ö¹ Ø ÙÒ Î Ö Ð Ò Ô ÖØ Ö Ò Ö Ò ÓÒ ÒÒØ Øº Ø Ò ØÞÐ ÙÒ Ð ÖÖ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÓ Ù Ò Ò Ö ØÖ Ø Ö Ï ÞÙ ØÖ Ø Ò Ò Ò ÞÙ ÞÙÖ Î Ö Ö ØÙÒ ÚÓÒ Ï ÖØ ÖÒ ÙÖ Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ò Ö Ø ÐÐغ Ð ÎÓÖ Ö ØÙÒ ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ò Ð Ò ÙØÓÑ Ø Òº Ö Òع Ð ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ø ÒÓ ØÛ Ù Ø Ð Ö Ù Ùغ ÙѺ º ÎÓÖÐ ÙÒ Ò Ê Ò ÖÓÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ð ËÔÖ Ò Ñ ÐÓÖ ØÙ¹ ½

16 Ö ÚÓÐÐ ÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ò Ò ÅÙ Ø Ö P P[1..m]º Ï Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ¹ Ð Ò ÙØÓÑ Ø Ò µ MÚÓÐÐ P (Q,Σ,q 0,F,δ)º Ö ÙØÓÑ Ø ÓÐÐ Ò Ì ÜØ S Ù Ø Ö Ù Ø ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò ÙÒ Ö Ò Þ ÔØ ¹ ÖÙÒ ÑÓ Ù Ñ Ð Ò Û ÒÒ ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ò ÛÓÖ Ò Øº Ù Ø Ò Ñ Ò Q Ö ÔÖ ÒØ ÖØ ÈÖ Ü P[1..q] 0 q m ÅÙ Ø Ö º Ò ÓÐ ÈÖ Ü Û Ö Ò ÙÖ Ò ÄÒ Ö Ø ÐÐØ Ð Ó Û Ð Ò Û Ö Q {0,1,...,m}. º µ ÐÔ Ø Σ Ø Ø ÒØ ÐØ Ñ Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ò P ÙÒ S ÚÓÖ ÓÑÑ Òº Ö ËØ ÖØÞÙ Ø Ò q 0 Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ δ: Q Σ Q ÙÒ Å Ò F Ö Þ ÔØ Ö Ò Ò Ù ØÒ Û Ö Ò Ñ ÓÐ Ò Ò Ø Ð Øº Á Ø ÓÐ Ò Ï Ö Ð Ò Ò Ì ÜØ S[1..n] Ù Ø Ö Ù Ø º Æ Ä Ö ØØ i Ð Ó Ò Ñ S[1..i] Ð Ò ÛÙÖ ÓÐÐ Ö Ù Ø Ò q (i) ÐÒ Ø ÈÖ Ü P[1..q] ÚÓÒ P Ò ÒÒ Ò ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Û Ö Ð ÁÒÚ Ö ÒØ (I i ) Æ Ä Ò ÚÓÒ S[1..i] Ø M P ÚÓÐÐ Ò Ù Ø Ò q (i) max{q Q P[1..q] S[i q +1..i]}. º º P[1..q (i) ] Ø ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غµ Ï Ñ Ò ËØ ÖØÞÙ Ø Ò ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò Ñ Ø Ø Ø (I i ) ÐØ Ñ Ò Ò ÓÐÐ P[1..q (0) ] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P Ò ËÙ Ü ÚÓÒ [1..0] ε Ø Ø Ò Ø ÖÐ Ð Ö ÏÓÖØ ÙÒ Û Ö Ð Ò q 0 0 غ ÆÙÒ ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ò Ð Ò Ë Ö ØØ i > 0 ÙÒ Ò Ñ Ò Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÓÐ Ö Û Ö Ð Ó q (i 1) ÁÒÚ Ö ÒØ (I i 1 ) Ö ÐÐغ Ù Ø S[i] Û Ö Ð Òº Ë P[1..q ] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÖÖ Ò Ö Ò Ù Ù Ø Ò q (i) Ö q غ ÙÒ Ø ÒÑ Ð Ø Ö P[1..q 1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1] Ð Ó ÓÐ Ø Ù (I i 1 ) Þ ÙÒ q 1 q (i 1) Ó Ö q q (i 1) +1º ÒØ ÙÒ Ö Ö Û Ð ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] Ò Ò Ø Ð Ó ÒÙÖ ÚÓÒ S[i q (i 1)..i] ÙÒ Ø Ð Û P[1..q (i 1) ] S[i] ÛÓ Ñ Ø ÃÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ Ï ÖØ ÖÒ Ñ ÒØ Øº Ö Ø P[1..q ] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ P[1..q (i 1) ] S[i] غ Ï ÒÒ Û Ö Ð Ó Ö q Q δ(q,a) : ÄÒ ÐÒ Ø Ò ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ P[1..q] a Ø ½

17 Ò Ö Ò ÒÒ ÐØ q (i) δ(q (i 1),S[i]) q, Û Û Ò Øº Ï ÒØÐ Ò Ö ¹ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ δ Ø ÒÙÖ ÚÓÒ P Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ò Ö ÎÓÖÚ Ö Ö ØÙÒ Ô Ö Ò Ø Û Ö Ò ÒÒ Ó Ò Ã ÒÒØÒ Ì ÜØ Sº Ï Ö Û Ö Ò Ð Ò Û ÎÓÖÚ Ö Ö ØÙÒ Ð٠غµ Ö ÙØÓÑ Ø ÓÐÐ Ò Ñ Ä Ò ÚÓÒ S[1..i] Ò Ù ÒÒ Ò Ò Ñ Þ ÔØ Ö Ò Ò Ù Ø Ò Ò Û ÒÒ Ó Ò Ò ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÅÙ Ø Ö ÖØ Ð Ò ÛÓÖ Ò Ø Ø Û ÒÒ S[i m+1..i] P[1..m] Ðغ Æ Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ò ÐØ Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ q (i) m غ Ö Ð Ò Û Ö Ñ Ø F {m} Ò Ù Ø Ò m Ð ÒÞ Ò Þ ÔØ Ö Ò Ò Ù Ø Ò Øº Å Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÒÒ Î Ö Ö ØÙÒ Ì ÜØ Ò ØÞ Ø Ö ÓÐ Ò Ð Ó Ó Ò Ñ Ë Ö ØØ Ò Ù Ø Ì ÜØ Ð Ò Û Ö º Ï Ö ÒÓØ Ö Ò Ñ Ò δ Ð (m + 1) Σ ¹Å ØÖ Ü Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ò Ø O(m Σ ) Ö Ò Ò ÒÒº Ö Ø¹ ÙÒ ÈÐ ØÞ Ù Û Ò Ø ÒÒ ØÓÐ Ö Ö Ö Û ÒÒ O(m Σ ) Ò Ö Ö ÄÒ n Ì ÜØ Ò Ø ÖÓ Øº ÁØ Ö Ø Ú Ö ÒÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ δ ÙÒ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m] f ÓÖ (0) 1,f ÓÖ (q) ÄÒ ÐÒ Ø Ò Ê Ò ÚÓÒ P[1..q] Ö 1 q m. Ï Ö Ö Ò Ò f ÓÖ ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ δ Ú Ö ÖÒ Ø ÙÖ ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö q Ò Ø O(m Σ )º f ÓÖ (0) : 1º δ(0,p[1]) : 1 δ(0,a) : 0 Ö a P[1]º f ÓÖ (1) : 0º»» ε Ø Ê Ò ÚÓÒ P[1]º Ö q 1,2,...,m 1 Ò Ò Ò Ö δ(q,p[q+1]) : q +1»» Ô Ò Ö Ù Ø δ(q,a) : δ(f ÓÖ (q),a) Ö a P[q+1]»» ÙÒÔ Ò Ö Ù Ø f ÓÖ (q +1) : δ(f ÓÖ (q),p[q+1])º δ(m,a) : δ(f ÓÖ (m),a) Ö a Σº ÙÒ Ù µ Ö Ò Ë Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ñ Ô Ð P[1..7] Ö ÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ë Á Ö Ö Ò Ñ Ø º º º µ Û Ò Ë Î Ö Ö Ò δ ÙÒ f ÓÖ ÓÖÖ Ø Ö Ò Øº ½

18 ËØ ÖØ 0 Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ð ÙÒ º Ö ÚÓÐÐ ÃÅȹÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ö ÅÙ Ø Ö Ö Ñ Ø m 7º Ñ Ö ÙÒ ÁÒ Ö ÐÓÖÚÓÖÐ ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ò ËÔÖ Ò ÙÒ ÃÓÑÔÐ Ü ØØ Ëõ Û Ö Ò Ù Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ò Æ µ Ò Ðغ Å Ò ÒÒ ÒÞ Ð Ø Ò Ò Æ M Ò Ò Ö Ò Ù Ï ÖØ Ö Þ ÔØ ÖØ Ñ Ø P P[1..m] Ò Òº Ù Ø Ò Ñ Ò Ø Q Ö ËØ ÖØÞÙ Ø Ò Ø q 0 0 Å Ò Ö Þ ÔØ Ö Ò Ò Ù ØÒ Ø {m}º Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÐ Ù Ø Ñ Ø Ñ Ù Ø Ò ÚÓÒ Ù Ø Ò ¼ ÞÙ Ù Ø Ò ¼ ÞÙ Òº Ù Ñ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ù Ø Ò P[q+1] ÚÓÒ Ù Ø Ò q Ò Ù Ø Ò q+1 Û ÐÒ Ö 0 q < mº ÒÞ ËØ ÐÐ ÛÓ Æ Ø Ø ÖÑ Ò ÑÙ ÚÓÖ ÓÑÑØ Ø Ñ Ù Ø Ò ¼ ÛÓ Ñ Ò ÒØ Ò ÒÒ Ó Ñ Ò Ñ Ä Ò ÚÓÒ a P[1] Ò Ù Ø Ò ¼ Ð Ø Ó Ö Ò ½ Û Ðغ Ï ÒÒ Ñ Ò Ù Ò Æ ÈÓØ ÒÞÑ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÒÛ Ò Ø ÒØ Ø Ø Ò Ù M P ÚÓÐк Ø Ò Ö Ò ÜÔÐÓ ÓÒ Û ÓÒ Ø Ö ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ð ºµ ½

19 Ö ÃÅȹÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ö ÖÓ Æ Ø Ð ÚÓÐÐ Ò ÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ò M P ÚÓÐÐ Ø Ö ÈÐ ØÞ Ö ÙÒ Ø Ö Ò Ù Ù Ñ Ø m Σ Û Øº Ø ÙÒÚ ÖÑ Ð Û ÒÒ Ò Ò Ñ Ä Ö ØØ Ö Ò Ù Ø Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÓÒ ÚÓÖ Ö ¹ Ò Ò ÓÐк Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÙØÞØ Ò Ò Ò Ö Ò ÙØÓÑ Ø Ò M P ÃÅÈ º Ù Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ù 0,1,...,m ÓÛ Ò Ñ Ô Þ ÐÐ Ò Ù Ø Ò 1 Ò ÊÓÐÐ ÔØ Ö Ò Ù Ö Ö ÐÖØ Û Ö º Ï Ö ØÞ Ò Ð Ó Q { 1,0,1,...,m 1,m}. Ù Ö Ò Ù ÙØÓÑ Ø MÃÅÈ P Ú Ö Ö Ø Ø Ò Ì ÜØ S ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø º ÙØÙÒ Ó Ö Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐØ µ Ö Ù ØÒ Ø Ö Ò Ö Ñ ÚÓÐÐ Ò ÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ò Ò Öغ Û Ö Ù ÞÙ Ð Ò Ò Ù Ø ÞÛ Ö Ò Ô Þ ÖØ Ö Ò Ø Ú Ö Ö Ù Ø Û Ö ÙÒ Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ë Ö ØØ ÑÑ Ö ÒÓ Ú Ö Ö Øº À Ö Ö Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö ε¹ º Ø Ö Ò Ø Ì Üع Ù Ø S[i] ÞÛ Ö Ò Ô Þ ÖØ Û Ö ÙÑ ÞÙ ÒØ Ò Û Ð Ø ÓÒ ÙÖ ÖØ Û Ö Ò ÓÐÐ Ö Ù Ø Ö Ñ Ð ÖÛ Ò Ø Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ö Ù Øµ Û Ö ÓÒ ÖÒ Ñ Ò Ø Ò Ë Ö ØØ ÑÑ Ö ÒÓ ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Ø Øº ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÐÐ Ù Ø S[i] Û Ö Ð Ò Ò Ö Ù Ø Ù Ú Ö Ö Ù Ø Û Ö Ò ε¹ Ù µº Æ Û ÚÓÖ ÓÐÐ ÓÐ Ò ÐØ Ò Ï ÒÒ S[1..i 1] Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ö Ù Øµ ÛÓÖ Ò Ø ÙÒ Ù Ø S[i] Ð Ò Ø Ò Ø Ø ÙÒ Û ÒÒ Ö Ù Ø Ò q {0,...,m 1} Ø ÒÒ Ø P[1..q] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1]º Ö Ù Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ù Ø Ò Ø Ö Ò Ò Ñ ÓÐ Ò Ù Ø Ò q ÖÛ ÖØ Ø Û Ö ÒÑÐ P[q + 1]º Ï ÒÒ S[i] Ö Ö Ø Ù Ø Ø Û Ö Ò Û Ö S[i] Ð Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò q +1 Û ÐÒº Ï ÒÒ S[i] P[q +1] Ø Ø Ò Ò ε¹ë Ö ØØ Ñ Ø Ò Ö Ò Ø Ò Ù¹ Ø Ò Ò ÖÙÒ º Ö Ò ØÞ ÖÑ Ð Ø Ð Ó Ö Ò Ù Ø Ò q ÒÙÖ ÒÓ ÞÛ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÚÓÖÞÙ Ò ÙÒ Ò Ø Ñ Ö Σ Ú Ð Û MÚÓÐÐ P º Ô ÖØ ËÔ Ö¹ ÔÐ ØÞ ÙÒ ÎÓÖ Ö ÒÙÒ Þ Øº Ù ØÒ 1 ÙÒ m Ò ËÓÒ Ö ÐÐ º ÁÒ Ù Ø Ò m Û Ö ÑÑ Ö Ò ε¹ Ù Ù ÖØ Ó Ò Ò Ò Ù Ø Ò ÒÞÙ Ò Ò Ù Ø Ò 1 Û Ö ÑÑ Ö Ö Ò Ø Ù Ø Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ö Ù Ø ÛÓ ÙÒ Ö Ð Ø Û Ö Ù Ø Øºµ Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÓÐ Ò ÖÖ Ò ØÖ Ø Ò ÅÓÑ ÒØ Ò Ñ S[i] Ð Ò ÙÒ ε¹ Ñ Ò Ò Ö ÎÓÖÐ ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ð ËÔÖ Ò Ò Ã ÐÐ Ö ÙØÓÑ Ø Ò ÚÓÖ Ò ÓÒ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ã ÐÐ Ö ÙØÓÑ Ø Òº ½

20 Ú Ö Ö Ù Øµ Û Ö º ÙØÓÑ Ø M P ÃÅÈ Ø Ò Ò Ò Ù Ø Ò q (i) {0,1,...,m} Öº Ö Ò Ù Ø Ò ÓÐÐ ÁÒÚ Ö ÒØ (I i ) Ù Ñ ÚÓÖ Ò Ò ØØ ÐØ Ò (I i ) P[1..q (i) ] Ø ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ ÁÒ Ò Ô Þ ÐÐ Ò Ë Ö ØØ Ò Ú Ö ÐØ Ö Ò Ù ÙØÓÑ Ø Ð Ó Ü Ø Û M P ÚÓÐк ÆÙÖ Û Ò Ö ØØ Ò ÙÒØ Ö Ð ÙÒ Ù ØÒ Ò Ò Ë Ö ØØ Ò Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ô Þ ÐÐ Ö ÙØÙÒ º Ï Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÙØÙÒ º º Û Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö S[1..i] Ñ ØÙ ÐÐ Ò Ù Ø Ò q Ö Ø ÐÐØ Ò ÓÐÐ Û ÒÒ Ö Ò Ø ÞÙ Ú Ö Ö Ø Ò Ù Ø S[i] Ø Ð ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) Ï ÒÒ M P ÃÅÈ Ò Ù Ø Ò q Ò Ø ÙÒ Ö Ò Ø ÞÙ Ð Ò Ù Ø S[i] Ø ÒÒ ÐØ º º º½¼µ P[1..q] Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1] ÙÒ Ö Ò ˆq {q +1,...,m 1} Ø P[1..ˆq+1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i]º ÁÒ Ù Ø Ò q Ø Ð Ó Ú ÒØÙ ÐÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö S[i] Ô Öغ Ï ÒÒ Ò Û ÒÒ Ó S[i] Ö Ø Ð Ò Û Ö Ò ÓÐÐ ÆÙÒ Ò ÚÓÖ Ò Ò Ò Ò ε¹ Ò ÒÒ S[i] ÓÒ Ò Ô Þ ÖØ ÛÓÖ Ò Ò Ó Ö Ñ Ö µ ÐÐ q m ÙÒ q 1 Ú Ö Ò Ò Ô Þ ÐÐ Ù Ñ Ö Ñ Øº ØÖ Ø q mº {m+1,...,m 1} Ø Ø ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ò (ÁÒÚ i,q ) ÑÑ Ö Ö ÐÐØ ÙÒ Û Ö Û Ò ÒÙÖ P[1..m] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1] غ Ò Ø Ö Ù ÅÙ Ø Ö Ø ÙÒ Òº ØÖ Ø q 1º ÒÒ Ø Ö Ø Ò ÙÒ ÑÑ Ö Ö ÐÐØ Û ÐP[1.. 1] ε ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1] Ø ÙÒ ÓÑÑØ ÒÙÖ Ù ÞÛ Ø Ò ÙÒ Ò Ö Ò ˆq {0,...,m 1} Ø P[1..ˆq +1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i]º Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ò ØØ S[i m+1..i] ÚÓÒ S Ö ËÙ Ò P Ò Ø Ò Ò Ò ÒÒº Å Ò ØÞØ ËÙ ÈÓ Ø ÓÒ i+1 Ò Ù Ù ºµ Ï Ö ÒÒ Ò ÒÙÒ Ò ÙØÓÑ Ø Ò MÃÅÈ P Ò Òº Ù Ø Ò Ñ Ò Q Ø ÓÒ Ø Ð Øº ÜÔÐ Þ Ø Ò ÒÒØ Û Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ò ÚÓÒ P º ÁÒ Ñ Ù Ø Ò q {0,...,m 1} Û Ö Ö Ù Ø P[q + 1] ÓÒ Ö Ø Ò ÔÖÓ Ò ÒÞ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø P[q + 1] º ÙÖ ÒÒ Ò ÚÓÑ ÙØÓÑ Ø Ò Ù Ù Ø Ò Ò S Ú Ö Ö Ø Ø Û Ö Ò Ò P Ò Ø ÚÓÖ ÓÑÑ Òº ÁÒ Ù Ø Ò 1 Û Ö Ò Ù Ø Ð Ò Ö ÒÓÖ ÖØ Ò Ù Ø Ò m Ö ÓÐ Ø Ò ε¹ Ù Ó Ò Î Ö Ö Ù Ò Ò º ¾¼

21 S 1 P P ˆq q i Ð ÙÒ º½¼ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ (ÁÒÚ i,q ) P[1..q] Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1] ÙÒ Ø Ò ˆq > q Ñ Ø Ö Ò Ø P[1..ˆq +1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ Ð ËØ ÖØÞÙ Ø Ò Û Ð Ò Û Ö q 0 0º ÒÒ Ø ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ 1,q0 ) Ö ÐÐØ P[1..0] ε Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..0] ε ÙÒ Ö Ò ˆq {1,...,m 1} Ø P[1..ˆq +1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1] Û Ð P[1..ˆq+1] ÐÒ Ö Ð S[1] صº Ð Å Ò Þ ÔØ Ö Ò Ö Ù ØÒ Û Ð Ò Û Ö F {m}º ÆÙÒ ÐØ ÒÙÖ ÒÓ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ δº Ï Ö Ö Ò δ(q,a) q Û ÒÒ ÙÑ Ò Ò Ä Ö ØØ Ò ÐØ Ö Ù Ø a Ð Ó Ú Ö Ö Ù Ø Û Ö ÙÒ δ(q, a ) q Û ÒÒ ÙÑ Ò Ò ε¹ë Ö ØØ Ò Ðغ Æ Ñ Ò Û Ö Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ø Ò Ù Ø Ò q ÙÒ Ò Ø ÞÙ Ú Ö Ö Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ø a S[i] ÙÒ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) Ðغ Ø Ò ÐÐ º ÐÐ ½ 0 q < m ÙÒ P[q+1] S[i]º ÒÒ ÐØ Û Ò Ö Ø Ò Ì Ð ÚÓÒ (ÁÒÚ i,q ) Ð ØP[1..q+1] S[i q..i]º Ù Ñ ÐØ Û Ò ÞÛ Ø Ò Ì Ð ÚÓÒ (ÁÒÚ i,q ) Ö Ò ˆq > q Ð Ø P[1..ˆq + 1] S[i ˆq..i] Ðغ ÙØ Ø P[1..q +1] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ Ö Ù ÓÐ Ø Ö Ù Ö Ò ˆq {q +2,...,m 1} Ø P[1..ˆq+1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i+1]º Ï Ö ÒÒ Ò Ð Ó δ(q,p[q+1]) q +1 ¾½

22 ØÞ Ò ÙÒ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i+1,q+1 ) Ðغ Ù Ö Ñ ÐØ (I i ) Ñ Ø q (i) q + 1 Û Û Ò Ø Û Ð P[1..q +1] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ ÐÐ ¾ 0 q < m ÙÒ P[q+1] S[i]º Ï Ò ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) ÞÛ Ø Ö Ì Ð Ò ÒÞ Ò ÈÖ Ü P[1..q +1] ÅÙ Ø Ö ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] Ò ÒÒ Ò ÖÞ Ö Ð q+1º Ï Ð q ÓÑÑ Ò Ö Ö Ò Ö ÑÙ P[1..q ] S[i q..i 1] Ð Ó P[1..q ] P[q q +1..q] ÐØ Ò Ø P[1..q ] Ø Ê Ò ÚÓÒ P[1..q]µ ÙÒ ÑÙ P[q + 1] S[i] ÐØ Ò Ð Ó P[q + 1] P[q + 1]º Ï ÒÒ Û Ö ÚÓÒ ÐÐ Ò q Ò ÙÒ Ö ÐÐ Ò Ö Ø Û Ð Ò ÒÒ Û Ö Ò Ð Ð q Ù Ð Ò ÙÒ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) Ðغ q ØØ Ò Û Ö Ö Ö f ÃÅÈ (q) Ò ÒÒغ Ö ØÙÒ ÒÒØ f ÃÅÈ (q) 1 ÐØ Ò Û ÙØ Ø Ö ÙÔØ Ò Ò Ê Ò P[1..q ] ÚÓÒ P[1..q] Ñ Ø P[q + 1] P[q + 1] غ Ö Ù ÓÐ Ø Ö Ó ÓÖØ Ò ÈÖ Ü P[1..q +1] ÚÓÒ P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ Ñ Ø Ø (ÁÒÚ i, 1 ) Ö ÐÐØ Ú Ðº Ù Ó Ù ÓÒ ÞÙ Ù Ø Ò 1µº Ï Ö ÒÒ Ò Ð Ó ØÞ Ò ÙÒ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) Ðغ δ(q, a ) q Ñ Ø q f ÃÅÈ (q) ÐÐ q mº Æ Ñ Ö Ø Ò Ì Ð Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ò (ÁÒÚ i,m ) Ø P[1..m] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1]º ÙØ Ø P[1..m] S[i m..i 1]º Ï Ö ÒÒ Ò Ð Ó Ö Å Ò F µ Ò Ð Ö Ò ÅÙ Ø Ö Ò Ö ËØ ÐÐ ÙÒ Ò ÛÓÖ Ò Øº ÆÙÒ Ù Ò Û Ö Ò ÈÖ Ü P[1..q +1] ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ Ö Ö Ò Ø ÑÑÙÒ ÒÒ ËØ ÐÐ S[i m] Ù Ò Ò ÐÐ ÚÓÖ ÓÑÑ Ò ÑÙ q < m ÐØ Òº Ï Ö ÒÒ Ò ÙÒ Ö ËÙ Ð Ó Ù ÈÖ Ü ÚÓÒ P ÖÒ Ò ÖÞ Ö Ð m Ò ÙÒ ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i 1]º Ò Ö Ò Ù ÊÒ Ö ÚÓÒ P º À ÖÚÓÒ ØÖ Ø Ò Û Ö Ò ÐÒ Ø Ò ÙÒ ØÞ Ò δ(m, a ) q Ñ Ø q f ÓÖ (m). ÒÒ ÐØ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q ) P[1..q ] Ø ËÙ Ü ÚÓÒ P[1..m] Ð Ó ÚÓÒ S[1..i 1]º Ö ˆq > q Ø P[1..ˆq] Ò ËÙ Ü ÚÓÒ P[1..m] Ð Ó Ù Ò ÚÓÒ S[1..i 1]º Ö Ø Ù Ö ÞÛ Ø Ì Ð ÚÓÒ (ÁÒÚ i,q ) Ö ÐÐغ ÐÐ q 1º Ï Ö Ò Ó Ò ÓÒ Ò ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i, 1 ) Ù¹ Ø Ø Ò ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] Ò ÒÒº Ï Ö Ð Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ò Ò Ù Ø Ò S[i] Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ö Ù Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò ¼ Ò δ( 1,a) 0. Á Ø ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i+1,0 ) Ö ÐÐØ Ì Ø Ð Ø P[1..0] ε ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] ÙÒ Ö Ò ˆq {1,...,m 1} Ø P[1..ˆq+1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i+1] Û Ð P[1..ˆq] Ò ËÙ Ü ¾¾

23 ÚÓÒ S[1..i] صº Ù Ö Ñ ÐØ (I i ) Ñ Ø q (i) 0 Û Û Ò Ø Û Ð P[1..0] ε ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ ÁÒ º º½½ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò ÙØÓÑ Ø Ö ÅÙ Ø Ö P[1..7] Ö Ö¹ Ø ÐÐغ Ä ÑÑ º¾º º Ï ÒÒ ÑÑ Ö Ö ÙØÓÑ Ø Ò Ò Ñ Ù Ø Ò q Ø ÙÒ Ö Ò Ø ÞÙ Ð Ò Ù Ø S[i] Ø ÐØ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q )º Û Ï Ö Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ò MÃÅÈ P Ó ÓÒ ØÖÙ ÖØ ÁÒÚ Ö ÒØ (ÁÒÚ i,q) ØÒ Ðغ Ï Ö Ñ Ò ÒÓ Þ Ò ÁÒÚ Ö ÒØ Ø Ö ÒÙ Ø ÙÑ ÞÙ ÖÞÛ Ò Ò Ö ÙØÓÑ Ø ÐÐ ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÚÓÒ P Ö ÒÒغ Ä ÑÑ º¾º º P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ Ö ÙØÓÑ Ø M P ÃÅÈ ÙÒÑ Ø¹ Ø Ð Ö Ò Ñ Ä Ò ÚÓÒ S[i] Ò Ù Ø Ò m غ Û Ë P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i]º ØÖ Ø Ë ØÙ Ø ÓÒ ÙÒÑ ØØ Ð Ö ÚÓÖ S[i] Ð Ò Û Ö º Ö ÙØÓÑ Ø Ø Ò Ò Ñ Ù Ø Ò q < mº Ï Ò Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ò(ÁÒÚ i,q ) ÐØ P[1..q] S[i q..i 1] ÙÒ Ö Ò ˆq {q+1,...,m 1} Ø P[1..ˆq+1] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i]º ÆÙÒ ÐØ Ö P[1..m] ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i] غ ÒØ ÔÖ Ø Ñ Ï ÖØ ˆq m 1 ÙÒ ÒÞ Å Ð Ø Ö ÁÒÚ Ö ÒØ ÐØ Ø m 1 / {q+1,...,m 1} غ ÙØ Ø q+1 > m 1 Ø Ð Ó q m 1 غ S[i] P[m] ØÖ Ø ÐÐ ½ ÞÙ ÙÒ Ö ÙØÓÑ Ø Û ÐØ Ò Ò Ù Ø Ò mº Æ Ñ Ò Û Ö Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ø Ñ Ä Ò ÚÓÒ S[i] Ò Ù Ø Ò mº ÒÒ ÒÙÖ Ô Ö Ò Û ÒÒ ÐÐ ½ ÞÙØÖ Ø Ö ÚÓÖ Ù Ø Ò m 1 Û Ö ÙÒ Ö Ð Ò Ù Ø S[i] Ð P[m] غ Æ Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ò (ÁÒÚ i,m 1 ) ÐØ Ù S[i m+1..i 1] P[1..m 1]º Ñ Ø Ø P ËÙ Ü ÚÓÒ S[1..i]º ¾

24 ËØ ÖØ Σ Ö ε 1 Ð ÙÒ º½½ Ö ÃÅȹÈÖ Ü ÙØÓÑ Ø Ö ÅÙ Ø Ö Ö Ñ Ø m 7º Ù Ø Ò Ñ Ò Ø { 1,0,...,m}º ÒØ ÔÖ Ò Ù ØÒ 0,...,m Ò m+1 8 ÈÖ Ü Ò P[1..q] ÅÙ Ø Ö Ù Ø Ò 1 Ô ÐØ Ò ËÓÒ ÖÖÓÐÐ º Å Ò ¹ ÒÒØ Ò Ù Ø Ò ¼º Ö Ì ÜØ S[1..n] Û Ö Ù Ø Ö Ù Ø Ð Òº Ð Ù Ò Ù Ø Ò Ö Ò Ø ÑÑ Ò Û Ö ÓÐ Ö Ò Î Ö Ð Ò Ô Öغ ÎÓÒ Ù Ø Ò q {0,...,m 1} Ð Ò Ø Ñ Ò ÙÒØ Ö Ä Ò Ù Ø Ò P[q +1] Ò Ò Ù Ø Ò q+1 ÚÓÒ Ù Ø Ò q m 1 Ð Ò Ø Ñ Ò ÙÒØ Ö Ä Ò Ù Ø Ò P[m] ÞÙÒ Ø Ò Ò Þ ÔØ Ö Ò Ò Ù Ø Ò m Ù ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ò µ ÙÒ ÒÒ Ó Ò Ò Ò Ù Ø Ò ÒÞÙ Ò Ò Ò Ù Ø Ò f ÃÅÈ (m) Ö 2µº ÖÓØ Ò Ù Ø Ò Ö Ò¹ Ñ Ñ Ø µ Ø ÑÑ Ò Î Ö ÐØ Ò Û ÒÒ Ò Ù Ø Ò q {0,...,m 1} Ò Ù Ø P[q +1] Ò Û Ö º Ç Ò Ò Ù Ø Ò ÞÙ Ú Ö Ö Ù Ò Ð Ó Ñ Ø Ò Ñ ε¹ Ö Ò Û Ö Ò Ò Ù Ø Ò f ÃÅÈ (q) Ò Òº ÁÑ Ù Ø Ò 1 Û Ö Ö Ò Ø Ù Ø Ñ Ì ÜØ Ð Ò ÙÒ Û Ö Ò Ò Ù Ø Ò ¼ Û ÐØ Ö Ò Ö Ö Ò µº ¾

25 Ô Ð P[1..7] Ö ÅÙ Ø Ö S[1..18] Ö Ö Ö Ì Üغ Ë Ö ØØ \ Ì ÜØ Ö Ö Ö i ε ε 0 ε 0 1 ε 0 ε ε 0 ε Ö 3 4 Ö 4 5 Ö 5 6 Ö 6 7 Ö 7 ε Ö 3 4 Ö 4 ε ε 0 ε Ö Ï Ö Ú Ö ÓÐ Ò Ù ØÒ ÙØÓÑ Ø Ò Ò Ò Ö ÈÖ Ü Ð Øº ÎÓÒ Ð ÞÙ Ð Û Ø ËÙ Ü P[1..q i ] ÒØÛ Ö ÙÑ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ö Û Ö Ú Ö ÖÞØ Ñ Ò Ñ Ð Ù ÄÒ 0 Ñ Ò Ñ Ð Ù Ò ÄÒ > 0º ÁÑ Ô Ð ØÖ ØØ Ò ÙÒ ÚÓÒ Ä ÑÑ º¾º Ö i 12 Òº ÈÖÓ Ö ÑÑØ Ò ÍÑ ØÞÙÒ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú ÖÐÙ Ø Ò ÊÙÒ Ò i 1,2,...,nº ÁÒ ÊÙÒ i Û Ö Ù Ø S[i] Ì ÜØ Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÖÑ Ð Ò Ô Þ ÖØ ÐÐ ¾

26 Ì ÜØ Ö Ö i q 7 4 Ö º º º q 1 1 º º º q 2 0 º º º 1 º º º q 3 Ð ÙÒ º½¾ Ô Ð Ö Û Ö ÓÐØ ε¹ Ö Ò Ñ Ñ Ñ Ø ¹ ÐÐ Ï Ö Ù Ò Ñ Ì ÜØ Ö Ö Ò Ñ ÅÙ Ø Ö Ö Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÅÙ Ø Ö º º º µº Ø q (7) 4º Æ Ò Ò ε¹ Ò ÙÖ Ù ØÒ q 1,q 2,q 3 Ò Ø Ñ Ò q (8) q º ¾µ ÙÒ Ð Ð Ð Ò ÐÐ ½µº Ï ÒÒ ØÖ Ø Ò ÚÓÒ S[i] ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ò Û Ö ÙÒ Ñ Ò Ù Ø Ò m ØÖ ØØ Û Ö Ø ÓÒ Ù ÐÐ Ð Ó Ö ε¹ë Ö ØØ ÞÙ Ù Ø Ò f ÃÅÈ (m) ÒÓ Ñ Ð Ò Ë Ð Ò ÙÖ Ð Ù Ù Öغ ÊÙÒ Ò Û Ö Ò Ö Ò Ù Ö µ ÓÖ¹Ë Ð Ö Ð Öغ Ö ÁÒ ÐØ Ö Ë Ð ÒÚ Ö Ð Ò Ø ÑÑ Ö ØÙ ÐÐ ÊÙÒ Òº Ö ØÙ ÐÐ Ù Ø Ò q Û Ö Ò Ò Ö Î Ö Ð Ò Õ ÐØ Òº ε¹ Ö Ò Ñ Ñ Ñ Ø ¹ ÐÐ ÐÐ ¾µ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÒ Ö Ò Û Ð ¹Ë Ð Ø Øغ Ï ÒÒ Ë Ð Ò Ò Ù Ø Ò q 1 ÖØ Û Ö Ò ÐÐ ÚÓÖ Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ Õ Ù 0 Ù Öغ Å Ò Ø ÙÒ Ø ÙÒ Öµ ÜØÖ Ñ ÓÑÔ Ø ÍÑ ØÞÙÒ Ð ÈÖÓ Ö ÑѺ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ Øصº ÃÅÈ¹Ì ÜØ Ù È 1ººm Ë 1ººn µ Ò È 1ººm Ë 1ººn»» ÅÙ Ø Ö Ì ÜØ Ù {1,...,n m+1} ÎÓÖ Ö Ò Ò ÃÅÈ 0ººm ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ È 1ººm Ð Ì ÐÐ ½µ ¾µ Õ 0 µ ÓÖ ÖÓÑ 1 ØÓ n Ó µ Û Ð Õ 0 È Õ ½ Ë Ó Õ ÃÅÈ Õ µ Õ Õ ½ µ Õ m µ Ø Ò { ¹m 1} Õ ÃÅÈ m µ Ö ØÙÖÒ º ¾

27 ÏÓ Ò Ø Ñ Ò ÊÙÒ Ò ÙÒ ÐÐ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÁÒ Ø Ð ÖÙÒ ÊÙÒ ¼ Ø Ø Ù Ö ÙÛ ÙÒ Õ 0 ÙÒ q 0 0 Ð ¾µµº Ö Ù Ø Ò q Ø Ø Ø Ø Ò Ö Î Ö Ð Ò Õº ÊÙÒ i Ø Ö ÙÖ Ð Ù Ö ÓÖ¹Ë Ð Ò Ñ Ð i ÒØ Ðغ À Ö Û Ö Ù Ø S[i] Ò Ðغ Å Ò Ø ÚÓÒ Ù q < m Ðغ Ò ÙÒ Ö Û Ð ¹Ë Ð Ø Ö Ì Ø Ö Ù Ó ÐÐ ¾ ÒØÖ Øغ ËÓÐ Ò Ó Ø Û Ö q ÙÖ f ÃÅÈ [q] Ö ØÞغ Ï ÒÒ Ë Ð Ò Ø Ø Ò Ö ÚÓÒ ÞÛ ÐÐ Ò Ò ØÖ Ø Òº µ q 1 Ø ÐÐ º ÙÛ ÙÒ Ò Ð µ Ø ÐÐØ Ò Ù Ø Ò q 0 Òº Ö Ì Ø Ò Ð µ Ö Ø Ð º Å Ò Ø ÞÙÖ Ò Ø Ò ÊÙÒ Öº µ q 0 ÙÒ P[q +1] S[i] Ø ÐÐ ½º Ð µ Û Ö Ø Ò Ø Ö ÙÒ ÚÓÒ Õ ÙÑ ½º Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐ Û Ö Ò ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ò ÐÓ Ò Ð Ò µ¹ µµº Ï ÒÒ q m ÐØ ÛÙÖ ÅÙ Ø Ö ÙÒ Ò ÙÒ Ñ Ò ÒÒ Ò ËØ ÖØ Ò Ü i m + 1 Ò Ö Å Ò A Ú ÖÑ Ö Òº Ö ε¹ Ö Ò ÚÓÒ ÐÐ Û Ö Ò ÐÐ Ò Ð µ ÙÖ Öغ Ï Ö Ò Ò Ø Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÚÓÒ ÃÒÙØ ÅÓÖÖ ÙÒ ÈÖ ØØ Þ٠ѹ Ñ Òº Ë ØÞ º¾º º µ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ð ÖØ Ò ÐÐ ÈÓ Ø ÓÒ Ò l Ò S[1..n] ÞÙÖ Ò Ò Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m] ÚÓÖ ÓÑÑغ µ Ä Ù Þ Ø ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ø O(n)º Û Ö Ò Ò Ø Ñ Ö Ð 2n Ù ¹ Ø ÒÚ Ö Ð ÙÖ Öغ Û ÃÓÖÖ Ø Ø ÓÐ Ø Ù Ö ÎÓÖ ÖÐ ÙÒ Ò ÓÒ Ö Ä ÑÑ º¾º º Ö ÒÞ Ð Ö Î Ö Ð ØÖ Ø Ò Û Ö Ð Ò i ÙÒ q Ò ÙÒ Õº Ö Ò Ö ÓÐ Ö Ò Î Ö Ð Ñ Ø Ö Ò P[q + 1] S[i] Ø Ø i ÙÑ ½ Ñ Ò Ø ÞÙÖ Ò Ø Ò ÊÙÒ µ ÒÒ Ò Ø Ø Ö Ð n¹ñ Ð Òº Ö Ò Ö ÓÐ ÐÓ Ò Î Ö Ð Ö Ò P[q + 1] S[i]µ Ø Ø Ð i q ØÖ Ø Ò Ñ Ò Ö ØÞØ q ÙÖ f ÃÅÈ (q) < qµ Ð Ø ÖØ Ø Ñ Ø Ñ Ï ÖØ ½ Ò Ø Ò ÙÒ ÒÒ Ò Ø Ö Ö Ð n+1 Û Ö Òº Ð Ó Ø Ò Ø Ñ Ö Ð n Ö ÓÐ ÐÓ Î Ö Ð º Ï ÒÒ Ñ Ò Ò Î Ö ÓÒ Ò º¾º¾ ÙÒ º¾º ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú Ö Ð Ø Ö ÒÒØ Ñ Ò Ò Ò Ò Ù Ð Ò Ù Ø ÒÚ Ö Ð Ø ØØ Ò Ò Ð Ó Ø Ø Ð Ñ Ï ÒØÐ Ò ÙÑ Ò Ð Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ðغ Ö Ö Ø ÓÖ ÒØ ÖØ Û Ö Ò Ú Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ò Ö ÈÓ Ø ÓÒ l ÅÙ Ø Ö Ñ Ì Üغ l Û Ö Ò º¾º¾ Ò Ö Ù Ö Ò Ë Ð Ñ Ø ÖØ ÙÒ Ò ËÔÖ Ò Ò Ö Øº Î Ö ÓÒ º¾º Ð Ø ÚÓÒ Ö ÎÓÖ Ø ÐÐÙÒ º ÁÒ Ö Ù Ö Ò Ë Ð Ø ÙÑ ¾

28 Î Ö Ö ØÙÒ ÚÓÒ Ù Ø Ò ÚÓÒS Ñ Ø Ñ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ð Ù Ò Ò ÁÒ Üi Û ÙØÓÑ Ø Ò Ð º ÆÙÖ Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ë Ð Ø Ñ Ø Ö ÔÖÙÒ Û Ò Î ÖÖ Ò ÖÙÒ ÚÓÒ q ÒÓ Ò ÒÙÒ ÚÓÑ Î Ö Ò ÅÙ Ø Ö Ò Ö Ø Ö º º¾º Ö ÒÙÒ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÒÓ ÞÙ Þ Ò Û Ñ Ò ÞÙ Ò Ñ Ò Ò ÅÙ Ø Ö P[1..m] Ò Ø O(m) Ò Ì ÐÐ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ Ò Ø ÓÒ º¾º½µ Ö Ò Ò ÒÒº Ø Ò ØÞÐ Ö Ö ÞÙÒ Ø Ö ÒÙÒ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒf ÓÖ Ò Ø ÓÒ º½º µ ÞÙ ØÖ Ø Òº Æ Ò Ø ÓÒ Ø f ÓÖ (0) 1 ÙÒ f ÓÖ (i) ÄÒ ÐÒ Ø Ò Ê Ò ÚÓÒ P[1..i] Ö 0 i mº ÖÙÒ Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒ f ÓÖ Ø Ò ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ñ Ø P[1..m] Ð Ì ÜØ Ð Ù Ò ÞÙ Ð Òº Ø Ò Ø ÖÐ Þ ÑÐ Ð Ò Û Ð Û Ð Ñ Ò ÒÙÖ Ø Ø ÐÐØ ÅÙ Ø Ö Ò Ù ÒÑ Ð ÚÓÖ ÓÑÑغ ØÖ Ú Ð ÎÓÖ ÓÑÑ Ò ÒÒ Ò Û Ö ÐØ Ò Ò Ñ Û Ö P[1] Ñ Ì ÜØ ÙÖ Ò Ò Ö Ñ Ù Ø Ò / Σ Ö ØÞ Òº Ï Ö Ð Ò Ð Ó Ò ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ù Ò P [1..m] P[2..m] Ð Ù Òº Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò Ô Ø Î Ö ÓÒ Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ò(I i ) Ù Ñ ÚÓÖ Ò Ò Øغ Ö 1 i m ÐØ (I i) Æ Ñ Ä Ò ÚÓÒ P [i] Ø Ö ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ù Ø Ò q (i) ÛÓ P[1..q (i) ] ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P Ø ËÙ Ü ÚÓÒ P [1..i] غ ÐÒ Ø ÈÖ Ü ÚÓÒ P ËÙ Ü ÚÓÒ P [1..i] P[2..i] Ø Ø Ö Ò Ù Ö ÐÒ Ø Ê Ò ÚÓÒ P[1..i] ÍÒ Ö ÁÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÖÞØ ÞÙ (I i ) Æ Ñ Ä Ò ÚÓÒ P [i] Ø Ö ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ù Ø Ò f ÓÖ (i)º Ï ÒÒ Û Ö f ÃÅÈ Ò ÒÒ Ò Û Ö Ò ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ð Ù Ò Ð Ò ÙÒ Ï ÖØ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Òº Ï ÓÒ Ò Ò ØØ º¾º¾ Ñ Ö Ø ÒÒ Ò Û Ö ÒÒ Ð Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ Ö Ò Ò Û ÓÐ Ø µ f ÃÅÈ (0) 1º µ Ö q 1,...,m 1 ØÙ Ò Ò Ò Ö Ë ØÞ q f ÓÖ (q) Ø Ò {0,...,q 1}µº ÐÐ P[q +1] P[q+1] ØÞ f ÃÅÈ (q) q ÓÒ Ø ØÞ f ÃÅÈ (q) f ÃÅÈ (q )º ¾

29 µ f ÃÅÈ (m) f ÓÖ (m)º Ø Ð Ø ÞÙ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ö Å Ø Ó Ò ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ñ Î Ö ¹ Ö Ò Ò Ò Ò Ö f ÓÖ (0),f ÓÖ (1),... Ð ÖØ ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ò Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒ f ÓÖ (i) Ù f ÃÅÈ (i) Ù Ö Ò Ò ÒÒº Ä Ö Ø Î Ö Ö Ò Þ Ö ÙÐÖº Ç Ö Ò Ø Å Ò Ø Ó ÓÖØ Ö Ö¹ ØÙÒ Ù Ø Ò P [i] Ò Ö Ò ε¹ë Ö ØØ Ó Ö Ä Ö Øص Ö ØÙ ÐÐ Ù Ø Ò q Ð Ò Ö Ð i 1 Ò ÑÙ º Æ Ñ Ä Ò ÚÓÒ P [i 1] Ø Ö Ù Ø Ò f ÓÖ (i 1) Û Ð Ò Ö Ð i 1 Ø ÙÒ ÞÙÑ Ä Ò ÚÓÒ P [i] ÒÒ Ò Ù ØÒ ÒÙÖ Ð Ò Ö Û Ö Òºµ Ö ÒÒ Ò Û Ö Ò ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ð Þ Ø Ù Ù Ò ÙÒ ÒÙØÞ Ò Ò Ñ Ë Ö ØØ Ö Ò Ø Ø Ì Ð ÓÒ Ù ÙØ Øº Ö Ð Ù Ù ÙØÓÑ Ø Ò Ø ÒÙØÞ ÖÖ Ý ÓÖ [0..m] ÙÒ ÃÅÈ[0..m]º ÓÖ [0] : 1 ÃÅÈ[0] : 1 ËØ ÖØÞÙ Ø Ò q 0º ε¹ë Ö ØØ Ñ Ø P [1] ÖØ Ò Ù Ø Ò q 1º Ä P [1] Ò Ù Ø Ò q q (1) 0º Ë ØÞ i 2º Ï Ö ÓÐ ÓÖ [m] ÙÒ f ÃÅÈ [m] Ö Ò Ø Ò ÐÐ ½ q 0 ÙÒ P[i] P[q+1] Ö q ÙÑ ½ ÓÖ [i] : q Ö Ò f ÃÅÈ [i] Ö i ÙÑ ½ ÐÐ ¾ q 0 ÙÒ P[i] P[q+1] Ë ØÞ q Ù f ÃÅÈ [q]º ÐÐ q 1 ØÞ q Ù ¼ ÓÖ [i] : q Ö Ò f ÃÅÈ [i] Ö i ÙÑ ½ ÐÐ Ù Ñ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÅÙ Ø Ö P ÙÒ Òµ ÒÒ Ò Ø ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ö Ì ÜØ ÞÙ ÙÖÞ Øº Ù Ö ÎÓÖ ÖÐ ÙÒ ÓÐ Ø Ö ÙØÓÑ Ø Ì ÐÐ Ò Ö f ÓÖ ÙÒ f ÃÅÈ ÓÖÖ Ø Ö Ò Øº ¾

30 Ï Ö ÒÒ Ò Ò Ð Ù Ò Ù Û Ñ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÞ Ð Ø Ò Ò ÈÖÓ¹ Ö ÑÑ ÙÑ ØÞ Òº Ö Ù Ø P [1] ÑÙ Ò Ø ÖÐ Ò Ø Ò ÒÒØ Û Ö Ò Ò Ø Ò ÙØÓÑ Ø Ò Ò Ò Ò Ò Ù Ø Ò 1 ÞÙ ØÞ Ò Ñ Ø Ò P[1] Ð Ö Ñ Þ Ò Ð Ò Û Ö º Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ò Û Ò Ò Ñ Ö ÓÐ Ö Ò Î Ö Ð P[i] P[q + 1] Û Ö Ò Ò ÖÖ Ý Ò Ò Ù Ö ÒØÖ Ö Ò Øº Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ö ÒÙÒ Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒµº ÃÅÈ¹Ê Ò ¹ÈÖ ÔÖÓ Ò È 1ººm µ Ò È 1ººm ÅÙ Ø Ö Ù ÓÖ 0ººm Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ì ÐÐ ÃÅÈ 0ººm ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ì ÐÐ ½µ ÓÖ ¼ 1 ÃÅÈ ¼ 1 ¾µ ÒØ Õ 1 µ ÓÖ ÖÓÑ 1 ØÓ m Ó µ Û Ð Õ 0 È Õ ½ È Ó Õ ÃÅÈ Õ µ Õ Õ ½ µ ÓÖ Õ µ m ÓÖ È Õ ½ È ½ µ Ø Ò ÃÅÈ Õ µ Ð ÃÅÈ ÃÅÈ Õ ½¼µ Ö ØÙÖÒ ÓÖ 0ººm ÃÅÈ 0ººm º Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ò º º½ Ö Ø ÐÐغ Å Ò ÔÖ Ò Ð Ù Ð ÓÖ Ø ¹ ÑÙ Ò Ò Ô Ð º ÙÒ Ú Ö Û Ö Ò Ñ Ä Ò ÚÓÒ È i ÙÒ Ö Ò ÚÓÒ Õ Ø Ø ÁÒÚ Ö ÒØ (I i ) Ðغ Ë ØÞ º¾º º Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ö Ò Ø f ÓÖ ÙÒ f ÃÅÈ ÓÖÖ Ø ÙÒ Ò Ø O(m)º Û Ï Ñ ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð Ø ÖÔÖ Ø Ñ Ò Ð Ø Ö Ð ÓÖ Ø ¹ ÑÙ Ò Ø Ò Ö ØÙØ Ð Ò ÃÅȹ ÙØÓÑ Ø Ò Ù P [1..m] Ð Ù Ò ÞÙ Ð Òº Û Ö Ò Ï ÖØ q (i) Ù Ð Ò ÙÒ Ð f ÓÖ (i) Ò ØÖ Ò Ð µµ Û Ø Ö Û Ö f ÃÅÈ (i) Ù Ö Ò Ø ÙÒ Ò ØÖ Ò Ð Ò µ µµº Ê ÒÞ Ø Ò ÐÝ Ø ÒØ ÞÙ Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø Ñ٠Рغ Ñ Ö ÙÒ Å Ò ÒÒ ÖÐ Ò Ö ÃÅȹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ù ÒÒ ÓÖ¹ Ö Ø ÐÙ Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÙØÞغ ÖØ ÞÙ Ò Ö Û Ò ÐÙÒ ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ò Ö ÒÙÖ Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ ¼

31 Ð ÙÒ º½ Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖ ÙÒ ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÃÅÈ P[1..12] i È i f ÓÖ (i) f ÃÅÈ (i) Ö Ò Ø Û Ö º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÒ Ñ Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø Ð¹ ÐÙÒ ÙÒ Ù Ö Ê Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÖÞ Ø Ò ÙÒ ÒÙÖ ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Òº ÖØ ÞÙ ÓÐ Ò Ñ Û ÖÙÑ Ö ÓÑÔ Ø Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö Ò Ð Ò Ö Ö Ø ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ º¾º½¼ Ö ÒÙÒ Ö ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒµº ÃÅȹÈÖ ÔÖÓ Ò È 1ººm µ Ò È 1ººm ÅÙ Ø Ö Ù 0ººm ÃÅȹ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ì ÐÐ ½µ ¼ 1 ¾µ ÒØ Õ 1 µ ÓÖ ÖÓÑ 1 ØÓ m Ó µ Û Ð Õ 0 È Õ ½ È Ó Õ Õ µ Õ Õ ½ µ m ÓÖ È Õ ½ È ½ µ Ø Ò Õ µ Ð Õ µ Ö ØÙÖÒ 0ººm º ½