(1) Geometrie. Vorlesung Computergraphik 3 S. Müller U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU

Transkript

1 (1) Geometrie Vorlesung Computergraphik 3 S. Müller KOBLENZ LANDAU

2 KOBLENZ LANDAU Organisatorisches

3 Vorlesung CG 2+3 Die Veranstaltung besteht aus 2 Teilen, wobei in der Mitte und am Ende eine Klausur geschrieben wird. Für den Diplomstudiengang bilden beide Noten die CG2-Veranstaltung im Hauptdiplom CV. Für Bachelor zählt der zweite Teil als CG2. Für Master der erste Teil als CG3. Keine Voraussetzungen zur Teilnahme an der Klausur KOBLENZ LANDAU S. Müller - 3 -

4 Übersicht zur Vorlesung CG 3: Kurven und Flächen Delaunay, Voronoi, Winged-Edge, B-Splines, NURBS, Flächen, Meshes Wissenschaftliche technische Visualisierung Grundlagen, Volumenrendering KOBLENZ LANDAU S. Müller - 4 -

5 Punkte Sie sind oft das Ergebnis von Digitalisierungsverfahren, wie etwa Laserscans, bildgebenden Verfahren, Radarscans etc. Problem: Triangulierung zur Oberflächenerzeugung (lineare Interpolation, planare Unterteilung) oder höherwertigere Funktionen (Dank an P. Neugebauer, Polygon Technology GmbH) KOBLENZ LANDAU S. Müller - 5 -

6 Problem der Triangulierung Triangulierung nicht eindeutig Schlecht: Triangulierung mit kleinen Dreieckswinkeln KOBLENZ LANDAU S. Müller - 6 -

7 Delaunay-Triangulierung Anzahl der Triangulierungen einer endlichen Punktmenge S ist endlich, d.h. es gibt eine optimale Triangulierung, die den minimalen Winkel maximiert. Analoge Definition: für jedes Dreieck ist kein weiterer Punkt im Umkreis des Dreiecks Ansatz für die Delaunay-Triangulierung KOBLENZ LANDAU S. Müller - 7 -

8 Algorithmus (grob ) Suche einen Punkt am Rand (z.b. x-koordinate) Suche nächstgelegenen Punkt (kürzester Abstand) Schleife über alle Punkte Berechne Winkel im Dreieck am neuen Punkt Wähle Dreieck mit max. Winkel Rekursion über 2 neue Kanten Schleife über alle Punkte im vorderen Halbraum Berechne Winkel im Dreieck am neuen Punkt Wähle Dreieck mit max. Winkel KOBLENZ LANDAU S. Müller Typische Daten: Dreiecks/Polygon-Netze ( Meshes ) Delanuay liefert immer die konvexe Hülle

9 Diskussion Es gibt eine Reihe von interessanten Algorithmen zur Implementierung Minimierung vom Rechenzeitaufwand Aber: das Ergebnis ist immer das gleiche Wichtiger Vertreter für Divide & Conquer Teile Punktmenge in 2 Hälften Berechne Triangulierung für beide Hälften Füge Hälften zusammen Das ganze rekursiv delaunay.vcproj KOBLENZ LANDAU S. Müller - 9 -

10 Delaunay Eine Delaunay-Traingulierung ist eindeutig in dem Sinne, dass alle minimalen Winkel maximiert werden Allerdings kann es mehrere solcher Lösungen geben Beispiel: KOBLENZ LANDAU S. Müller

11 Ist das eine Delaunay-Triangulierung? Delaunay Triangulierung Definition 2: Kein Eckpunkt liegt innerhalb des Umkreises eines anderen Dreiecks Antwort: Nein! KOBLENZ LANDAU S. Müller

12 Konvexe Hülle Ein Problem der Delaunay- Triangulierung ist, daß als Resultat immer die konvexe Hülle entsteht. Daher braucht man Algorithmen, die nachträglich die Kanten entfernen, die man nicht haben will Typische Verfahren arbeiten auf Klassifikationen von Winkeln oder Kanten Definitiv ein schwieriges Problem KOBLENZ LANDAU S. Müller

13 Triangulierung in 3D? Auch mit Delaunay? Im Prinzip ja, allerdings mit Tetraedern Minimaler Winkel in der Tetraeder-Spitze maximieren (Raumwinkel) Problem: welche der drei Flächen kann ich wegwerfen? Hier gibt es verschiedene Metriken KOBLENZ LANDAU S. Müller

14 Voronoi Diagramm Def.: Die Menge aller Punkte, die näher zum Punkt P sind, als zu allen anderen Punkten Der duale Graph zur Delaunay Triangulierung Einfacher Algorithmus Nimm die Delaunay-Kanten Berechne Schnittpunkt der Mittelsenkrechten VoronoiMove.exe KOBLENZ LANDAU S. Müller

15 Typische Datenstruktur object Object surface surface surface Surfaces polygon polygon polygon polygon polygon Edges/ vertices Vertex Polygons e 0 e 1 e 2 e 3 e n Edges Edge v 0 v 1 v 2 v 3 v n Vertices Wie berechnet man Nachbarn? KOBLENZ LANDAU S. Müller

16 Probleme Viele Kanten müssen in beide Richtungen definiert sein Kante 3-5 und Nachbarschaftsinformationen werden oft gebraucht: 3 Gegeben ist ein Dreieck, welches sind die Nachbar-Dreiecke? Gegeben ist eine Kante, welche Dreiecke haben diese gemeinsam? Gegeben ist ein Eckpunkt, zu welchen Flächen gehört er? Gegeben ist ein Eckpunkt, zu welchen Kanten gehört er? KOBLENZ LANDAU S. Müller

17 Adaptive Unterteilung Typische Datenstruktur: Quadtree Unterteilung in 4 selbstähnliche Objekte 3 Adaptive Oberflächenunterteilung wird oft gebraucht, um Geometrie da zu erzeugen, wo sie gebraucht wird Radiosity: Adaption der Schattenkanten Deformation: Adaption der Krafteinwirkung KOBLENZ LANDAU S. Müller

18 Adaptive Unterteilung: Subdivide Implementierung der Routine Subdivide (für Dreiecke) Generiere 3 neue Punkte 3 Seitenhalbierenden der Vaterkanten Generiere 4 neue Kinderknoten Schreibe die Eckpunkte im richtigen Uhrzeigersinn in die neuen Kinderknoten KOBLENZ LANDAU S. Müller

19 Nachbarschaftssuche im Quadtree Min. Breite Min. Höhe Problem Dann nach oben/unten etc. herantasten KOBLENZ LANDAU S. Müller Man darf nur auf gleicher Ebene suchen

20 Winged-Edge Datenstruktur Topologische Datenstruktur Typischer Tradeoff zwischen Speicherplatz und Rechenzeit Nachbarschaftssuche effizient möglich Shirley: This data structure makes edges the fist-class citizen of the data structure Alle Nachbarschaftsinformationen mit gleichem Aufwand abfragbar Für jede Kante Anfangs- und Endpunkt Benachbarte Fläche links/rechts Nachfolgende Kante links/rechts Vorausgehende Kante links/rechts Es gibt auch kleinere Datenstrukturen, Z.B. Weglassen des Vorgängers Wir können die Nachfolger im Kreis ablaufen bis wir bei Original sind (mehr Rechenzeit, weniger Speicher) KOBLENZ LANDAU S. Müller

21 Winged-Edge Datenstruktur Jede Kante wird nur einmal abgespeichert Die konkrete Speicherung ist nicht eindeutig, führt aber immer zum gleichen Ergebnis A b d 0 a 1 c e B edge vertex 1 vertex 2 face links face rechts Vorg. links Nachf. links Vorg. rechts Nachf. rechts a B A 0 1 c b d e KOBLENZ LANDAU S. Müller

22 Winged-Edge: Beispiel a D e 3 edge vertex 1 vertex 2 face links face rechts Vorg. links Nachf. links Vorg. rechts Nachf. rechts A b 0 c f 1 d C a A D 3 0 f e c b b A B 0 2 a c d f c B D 0 1 b a e d 2 B d B C 1 2 c e f b vertex edge face edge e C D 1 3 d c a f A a 0 a f C A 3 2 e a b d B d 1 c Zusätzlich speichert man sich (je nach Bedarf) Einstiegspointer für jede Ecke oder Fläche KOBLENZ LANDAU S. Müller C D d e 2 3 d a

23 Beispiele edge vertex 1 vertex 2 face links face rechts Vorg. links Nachf. links Vorg. rechts Nachf. rechts a A D 3 0 f e c b b A B 0 2 a c d f Verfolgen von Kanten Entscheidung ob Nachfolger rechts/links abhängig von Kantenrichtung Zeichne Fläche 0 Z.B. gegen den Uhrzeigersinn Kanten von 0 verfolgen, bis Anfang wieder erreicht wird. Nachbarflächen von Fläche 1 Kanten von 1 verfolgen, bis Anfang wieder erreicht und Nachflächen einsammeln Welche Fläche grenzt an A? Übung c B D 0 1 b a e d d B C 1 2 c e f b e C D 1 3 d c a f f C A 3 2 e a b d KOBLENZ LANDAU S. Müller A vertex edge A B C D 2 b a 0 c B a d d e D f 1 d e face C edge a c d a

24 KOBLENZ LANDAU Nachtrag

25 Polygon: Flächenberechnung Die Fläche im Polygon kann tatsächlich als Summe aller (vorzeichenbehafteten) Dreiecksflächen berechnet werden (also für konkave und konvexe Polygone gleich). F 1 r i 1 r i = + 2 n KOBLENZ LANDAU S. Müller

26 KOBLENZ LANDAU S. Müller Parameterdarstellung X A B C ( ) ( ) A C t A B s A X + + = ( ) C t B s A t s X + + = 1 C t B s A r X + + = t s r =1 Interpretation der Koordinaten als Gewichte/Gewichtungen im Dreieck Bi-Lineare Interpolation (Analog zu Gouraud-Shading) A X B = 1 t C X A B C =1 r X B C =1 s A

27 Baryzentrische Koordinaten Man betrachte ein masseloses Dreieck mit einem beliebigen Punkt P innerhalb der Dreiecksgrenzen. Die baryzentrischen Koordinaten von P sind diejenigen Gewichte m i, mit denen die Eckpunkte versehen werden müssen, damit ihr Schwerpunkt P ist. Die Summe aller Gewichte beträgt in diesem Zusammenhang 1 ; Bronstein & Semendjajew m 1 m P 1 + m2 + m3 = 1 m 2 m 3 (bary : (gr.) schwer ) KOBLENZ LANDAU S. Müller