Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik. Werner Struckmann WS 2014/2015

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1 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Werner Struckmann WS 2014/2015

2 Etwas Mathematik: Was machen wir? 1. Aussagen, Logik 2. Mengen, Relationen, Funktionen 3. Zahlenmengen, Rechnen 4. Beweise 5. Dualzahlen: Wie rechnet ein Rechner? Übungsblätter als Hausaufgaben WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 2

3 Aussagen Unter einer Aussage versteht man im klassischen Sinn ein sprachliches Gebilde, dem sich sinnvoll einer der Wahrheitswerte falsch oder wahr zuordnen lässt. Dies ist keine formale Definition: Der Begriff sprachliches Gebilde ist genauso wenig definiert, wie der einer Aussage. Wahrheitswerte: {0, 1},{f, t},{f f, tt},{f alse, true},{f alsch, wahr},{f, w} WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 3

4 Aussagen Wir betrachten die folgenden Sätze: Wann ist in diesem Jahr Ostern? Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren. 2 und 3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x 6 = 0 Heute ist Vollmond. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 4

5 Aussagen Wir betrachten die folgenden Sätze: Wann ist in diesem Jahr Ostern? Dies ist keine Aussage. Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren. 2 und 3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x 6 = 0 Heute ist Vollmond. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 4

6 Aussagen Wir betrachten die folgenden Sätze: Wann ist in diesem Jahr Ostern? Dies ist keine Aussage. Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren. Diese Aussage ist falsch. 2 und 3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x 6 = 0 Heute ist Vollmond. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 4

7 Aussagen Wir betrachten die folgenden Sätze: Wann ist in diesem Jahr Ostern? Dies ist keine Aussage. Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren. Diese Aussage ist falsch. 2 und 3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x 6 = 0 Diese Aussage ist wahr. Heute ist Vollmond. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 4

8 Aussagen Wir betrachten die folgenden Sätze: Wann ist in diesem Jahr Ostern? Dies ist keine Aussage. Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren. Diese Aussage ist falsch. 2 und 3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x 6 = 0 Diese Aussage ist wahr. Heute ist Vollmond. Dies ist keine Aussage. Es gibt keinen eindeutigen Wahrheitswert. Obwohl heute (8. Oktober 2014) um 12:50 Uhr in Deutschland Vollmond ist. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 4

9 Aussagen Verknüpfung von Aussagen, Wahrheitswerte von Aussagen F (φ): φ w f ( φ) f w Negation φ ψ (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) f f f f w w f w f w w f w f f w f f w w w w w w Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz Zur einfacheren Lesbarkeit können überflüssige Klammern weggelassen werden. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 5

10 Aussagen Eigenschaften von Aussagen: φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w. φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autologie. Beispiel: Der Ausdruck (φ ψ) ( φ ψ) ist allgemeingültig. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 6

11 Aussagen Eigenschaften von Aussagen: φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w. φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autologie. Beispiel: Der Ausdruck (φ ψ) ( φ ψ) ist allgemeingültig. Gibt es einen Algorithmus, der für einen gegebenen Ausdruck feststellen kann, ob der Ausdruck erfüllbar ist? WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 6

12 Aussagen Eigenschaften von Aussagen: φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w. φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autologie. Beispiel: Der Ausdruck (φ ψ) ( φ ψ) ist allgemeingültig. Gibt es einen Algorithmus, der für einen gegebenen Ausdruck feststellen kann, ob der Ausdruck erfüllbar ist? Antwort: Ja, einfach alle Möglichkeiten ausprobieren. Im schlimmsten Fall müssen 2 n Möglichkeiten geprüft werden. Resolution: Für spezielle Mengen von Ausdrücken gibt es schnelle Verfahren. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 6

13 Logik Aussagenlogik Menge der Aussagenvariablen {p 1, p 2, p 3,...} Ausdrücke, s. oben. Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit Normalformen, Resolution, Hornausdrücke, Deduktion,... Prädikatenlogik 1. Stufe Menge der Individuenvariablen {v 1, v 2, v 3,...} Verknüpfungen (s. oben) Quantoren:, Konstante, Relations- und Funktionssymbole Syntax, Semantik, Strukturen, Normalformen, Resolution,... Ein Beispiel für die Prädikatenlogik sehen wir uns an. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 7

14 Logik Gruppentheorie: (G,, e) Konstante e Funktionssymbol : G G G Axiome: Assoziativität: x y z.(x y) z = x (y z) Neutrales Element: x.x e = x Rechtsinverses Element: x y.x y = e Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0},, 1) sind Gruppen: Strukturen. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 8

15 Logik Gruppentheorie: (G,, e) Konstante e Funktionssymbol : G G G Axiome: Assoziativität: x y z.(x y) z = x (y z) Neutrales Element: x.x e = x Rechtsinverses Element: x y.x y = e Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0},, 1) sind Gruppen: Strukturen. Satz: Linksinverses Element: x y.y x = e WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 8

16 Logik Gruppentheorie: (G,, e) Konstante e Funktionssymbol : G G G Axiome: Assoziativität: x y z.(x y) z = x (y z) Neutrales Element: x.x e = x Rechtsinverses Element: x y.x y = e Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0},, 1) sind Gruppen: Strukturen. Satz: Linksinverses Element: x y.y x = e Beweis: x sei gegeben. Dann gelten: y.x y = e und z.y z = e. Daraus folgt: y x = (y x) e = (y x) (y z) = y (x (y z)) = y ((x y) z) = y (e z) = (y e) z) = y z = e WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 8

17 Logik Modul: Einführung in die Logik Aussagenlogik Grundlagen der Prädikatenlogik 1. Stufe Modul: Logik in der Informatik Kurze Wiederholung des Moduls Einführung in die Logik Axiomatische Mengenlehre Zahlenmengen, Kardinal- und Ordinalzahlen, Unendlichkeit Weiteres zur Prädikatenlogik Weitere Logiken, Anwendungen in der Informatik Beispiele: LTL, CTL, Hoaresche Logik (Programmverifikation),... Es gibt viele Logiken. Rechnerübungen: Prolog Logik und Mengenlehre sind die Basis für Sprachen der exakten Wissenschaften! WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 9

18 Mengen GEORG CANTOR (1895): Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen: m M. Hierbei handelt es sich nicht um eine Definition im strengen Sinn. Der Begriff Zusammenfassung bedarf natürlich genauso einer Erklärung wie der einer Menge. Dies führte zur Russellschen Antinomie (BERTRAND RUSSELL, 1902): Enthält die folgende Menge R sich selbst als Element? R = {z z / z} Hieraus folgt: R R R / R. Diese Antinomie führte zu mehreren axiomatischen Mengenlehren. In den axiomatischen Mengenlehren hat man noch keinen Widerspruch gefunden. Man kann aber auch nicht beweisen, dass sie keinen Widerspruch enthalten (Berühmter Satz von KURT GÖDEL). WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 10

19 Mengen Beispiel: Die Menge M = {5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 7} = {5, 2, 7} enthält drei Elemente. Man schreibt hierfür: M = 3. Axiomatische Mengenlehren werden in der Prädikatenlogik mit dem Relationssymbol formuliert. Beispiel für ein Axiom: Extensionalitätsaxiom: x y.( z.(z x z y) x = y) ZFC (Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem) ist das am häufigsten verwendete Axiomensystem für die Mengenlehre. Existenzaxiome (Beispiel: Es ex. eine unendliche Menge) Struktur von Mengen (Beispiel: Gleichheit durch das Extensionalitätsaxiom) Konstruktion von Mengen (Beispiel: Potenzmengenaxiom) Ein DIN-A4-Blatt reicht für die Axiome. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 11

20 Zahlenmengen Beispiele für Zahlenmengen: Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3,...} Eventuell 0 N oder N 0 = {0, 1, 2, 3,...} Menge der ganzen Zahlen: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Menge der rationalen Zahlen: Menge der reellen Zahlen: Menge der komplexen Zahlen: R Q C WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 12

21 Mengen Leere Menge: {} oder Teilmenge: A B.x(x A x B). Alternatives Zeichen hierfür: Schreibweise: {x B φ(x)} Potenzmenge: P(A) = {B B A} Durchschnittsmenge: A B = {c c A c B} Vereinigungsmenge: A B = {c c A c B} Differenzmenge (Komplement): A \ B = {c c A c / B} (Geordnetes) Paar: (a, b) = {a, {a, b}} Zweistelliges kartesisches Produkt: A B = {(a, b) a A b B} WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 13

22 Relationen und Funktionen Zweistellige Relation: R A B Eine einstellige Funktion f : A B ist eine zweistellige Relation f A B mit a A! b B.(a, b) f. Schreibweise: f (a) = b. Relationen und Funktionen können mehrstellig sein. Obiges Beispiel: ist eine zweistellige Funkion für Gruppen. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 14

23 Relationen Schreibweise für Relationen: R A A arb gdw. (a, b) R Beispiel für Relation: Ordnungsrelation A A reflexiv: a. a a transitiv: a b c. a b b c a c antisymmetrisch: a b.a b b a a = b Wenn alle zwei Elemente vergleichbar sind, nennt man diese Relation total. Beispiele für Ordnungsrelationen: auf Zahlenmengen auf der Potenzmenge P(A) einer Menge A. Diese Relation ist nicht total. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 15

24 Relationen Beispiel für Relation: Äquivalenzrelation R A A reflexiv: a. ara symmetrisch: a b.arb bra transitiv: a b c. arb brc arc WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 16

25 Relationen Beispiel für Äquivalenzrelation: R Z Z R = {(a, b) a, b Z, 5 (b a)} reflexiv: a. 5 (a a) symmetrisch: a b. 5 (b a) 5 (a b) transitiv: a b c. 5 (b a) 5 (c b) zu zeigen: 5 (c a) k. 5 k = b a l. 5 l = c b 5 (k + l) = 5 k + 5 l = (b a) + (c b) = c a 5 (c a) Äquivalenzklasse: [x] = {y A yrx} für x A und die Äquivalenzrelation R A A Obiges Beispiel: [7] = {... 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22,...} WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 17

26 Funktionen Beispiele für Funktionen (Diese Funktionen kennen Sie wahrscheinlich schon): Potenz: f (x) = x n Wurzel: f (x) = n x Logarithmus: f (x) = log n (x) Gerade: f (x) = a x + b Parabel: f (x) = a x 2 + b x + c Polynom: f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Trigonometrische Funktionen: f (x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = tan(x),... Hintereinanderausführung von Funktionen: f : A B, g : B C : g f : A C, (g f )(a) = g(f (a)) Partielle Funktion: f : A P B Nicht jedes Element aus A besitzt einen Funktionswert. Nur die Elemente aus dem Definitionsbereich D f A besitzen einen Funktionswert.

27 Mengensysteme Mengensystem: Menge von Mengen Beispiel: M 1 = {2, 3, 4} M 2 = {3, 4, 5} M 3 = {4, 9} M = {M 1, M 2, M 3 } M = {2, 3, 4, 5, 9} M = {4} WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 19

28 Aussagen, Logik, Mengen Im Duden steht: Logik ist folgerichtiges Denken. Jetzt haben wir die ersten Schritte zur Logik und Mengenlehre gemacht: Aussagen, Wahrheitswerte, Verknüpfungen Eigenschaften von Aussagen: Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit Aussagenlogik, Prädikatenlogik 1. Stufe Beispiel: Gruppentheorie mit einem Beispiel für einen Beweis Mengenlehre: Mengen, leere Menge, Zahlenmengen, Teilmenge, Potenzmenge, Durchschnittsmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge, kartesisches Produkt, Mengensysteme, Relationen, Funktionen, Hintereinanderausführung von Funktionen, partielle Funktionen, kleiner Blick und Hinweis auf axiomatische Mengenlehre, Beispiele für Relationen: Ordnungsrelation, Äquivalenzrelation Logik und Mengenlehre sind die Basis für Sprachen der exakten Wissenschaften! WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 20

29 Zahlenmengen Diese Zahlenmengen haben wir schon gesehen: Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3,...} Eventuell 0 N oder N 0 = {0, 1, 2, 3,...} Menge der ganzen Zahlen: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Menge der rationalen Zahlen: Menge der reellen Zahlen: Menge der komplexen Zahlen: R Q C Jetzt wollen wir etwas rechnen. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 21

30 Rechnen Die Potenz x n, x R, n N wird durch Induktion definiert: x 0 := 1, x n+1 := x n x Die Wurzel n x, x R, n N wird durch die Potenz definiert: y = n x gdw. y n = x Der Logarithmus log n (x), x R, n N wird auch durch die Potenz definiert: y = log n (x) gdw. n y = x Diese Definitionen werden zum Beispiel auch auf n R erweitert. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 22

31 Rechenregeln Die folgenden Rechenregeln habe ich aus einem Schulbuch abgeschrieben: x n x m = x n+m x n = 1 x n x n x m = xn m (x n ) m = x n m n x = x ( 1 n ) n x y = n n x y log n (x y) = log n (x) + log n (y) ( ) x log n = log y n (x) log n (y) log n ( x y ) = y log n (x) n log n (x) = x Es gibt mehr Rechenregeln. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 23

32 Rechenregeln Die folgende Regel ist wichtig für die Komplexität von Algorithmen: Logarithmen vom gleichen Argument unterscheiden sich nur um einen Faktor, der nicht vom Argument abhängt. c hängt hier nicht von x ab. c log a (x) = log b (x) Beweis: Wähle c = log b (a). Dann gilt: c log a (x) = log b (a) log a (x) = log b ( a log a (x) ) = log b (x) Beispiel: Setze a = 10 und b = e. Dann gilt: log b (a) log a (x) = log b (x) ln (10) lg (x) = ln (x) ln (x) lg (x) = ln(10) So haben Sie es vermutlich mit Ihrem Taschenrechner in der Schule gemacht.

33 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Wir freuen uns, dass Sie sich für Braunschweig als Studienort entschieden haben und begrüßen Sie als neue Student(inn)en. Für Ihr Studium wünschen wir Ihnen viel Erfolg. WS 2014/2015 Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik Seite 25