ABITURPRÜFUNG 2010 GRUNDFACH MATHEMATIK

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1 ABITURPRÜFUNG 200 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 20 Minuten Hilfsmittel: Computeralgebrasystem Tafelwerk Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Damit der Lösungsweg nachvollziehbar ist, sind wesentliche Zwischenergebnisse aufzuschreiben. Wählen Sie von den Aufgaben A und A2 eine sowie von den Aufgaben B und B2 eine zur Bearbeitung aus und lösen Sie die Pflichtaufgabe C! Rechts neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE). ÖFFNUNG AM 30. APRIL 200

2 2 Aufgabe A x Gegeben ist die Funktion f durch y f ( x) = ( 2x + ) e = mit x R. a) Weisen Sie mit Hilfe der Ableitungsregeln nach, dass für die x. Ableitung von f gilt: f (x) = ( 2x + ) e! Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! Begründen Sie anhand der Funktionsgleichung, dass der Graph der Funktion f nur für x < negative Funktionswerte besitzt! 2 Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall x 5! Geben Sie den Wertebereich von f an! BE 3 b) Im Punkt 3 R ; 4 e 2 wird die Tangente an den Graphen 2 von f gelegt. Zeigen Sie, dass diese Tangente durch die Gleichung 3 ( x) = e ( 2x + 7) y = t 2 beschrieben werden kann! Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels dieser Tangente mit der y-achse! Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Bei Rotation dieses Dreiecks um die x-achse entsteht ein Körper. Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers! 6 BE

3 3 c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-achse im Intervall x! Der Graph der Funktion f, die x-achse und die Gerade g mit der Gleichung x = c c > ; c R begrenzen eine Fläche 2 vollständig. Bestimmen Sie den Wert für c so, dass diese Fläche den Inhalt A = ( 2 e 3) FE hat! Begründen Sie anhand der Eigenschaften von f, dass für jede Stammfunktion F von f gilt: () Die Extremstelle ist x =. 2 (2) Der Punkt T ;F ist der Tiefpunkt des Graphen BE U mit u > (u R) bildet mit den Punkten 2 Q ; 0 und V ( u; 0) ein Dreieck. 2 Bestimmen Sie den Wert von u, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird! Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt! d) Der Punkt ( u; f (u)) 4 BE e) Für jede reelle Zahl a ( 0) x y = f (x) = ( 2x + a) e. a a ist eine Funktion f a gegeben durch Bestimmen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen von f a! Durch die beiden Achsenschnittpunkte verläuft eine Gerade h. Ermitteln Sie eine Gleichung für h! 3 BE

4 4 Aufgabe A2 3 = = mit x R Gegeben ist die Funktion f durch y f ( x) x x a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit der x-achse, auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! Bestimmen Sie die Symmetrie des Graphen von f sowie das Verhalten für x + und x! Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 4,5 x 4, 5! Geben Sie alle Werte für c an, für die gilt: Die Gerade h mit der Gleichung y = c ( c R) und der Graph der Funktion haben genau zwei gemeinsame Punkte.! 0 BE b) Ermitteln Sie diejenige Stammfunktion F von f, welche die y-achse im Punkt P( 0 ; 3) schneidet! Durch Spiegelung des Graphen von f an der x-achse entsteht der Graph einer weiteren Funktion g. Skizzieren Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe a)! Geben Sie eine Gleichung für g an! Die Graphen der Funktionen f und g schließen für x > 0 ein Flächenstück vollständig ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks! 5 BE

5 5 c) Im Punkt ( 3; f ( 3 ) R des Graphen von f wird eine Tangente t gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente t! Eine weitere Tangente t 2 an den Graphen von f hat die 9 Gleichung y = t 2 ( x) = 2 3 x +. 4 Skizzieren Sie beide Tangenten in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a)! Geben Sie ohne weitere Rechnung die Koordinaten des zugehörigen Berührungspunktes der Tangente t 2 mit dem Graphen von f an! Beide Tangenten schneiden einander im Punkt S. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S an und bestimmen Sie die Größe des Schnittwinkels der Tangenten t und t 2! 6 BE d) Für jede reelle Zahl a mit a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch y = fa ( x) = a x x mit x R. 2 Nennen Sie eine Eigenschaft des Graphen von f a, die sich bei Veränderung des Parameters a nicht ändert! Begründen Sie Ihre Aussage! Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f a! Für welchen Wert des Parameters a hat der Graph der zugehörigen Funktion f a im Schnittpunkt mit der positiven x-achse den Anstieg 3? 5 BE e) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft symmetrisch zum Koordinatenursprung und hat mit dem Graphen von f einen gemeinsamen Tiefpunkt. Ermitteln Sie eine Gleichung einer solchen Funktion! 4 BE

6 6 Aufgabe B In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte ( 2; 9; 3) B ( 7; 3; 0), C ( ; 7; 2), P ( 0; 3; 0) und G ( 0; ; 4) gegeben. A, a) Untersuchen Sie, ob C auf der Geraden liegt, die durch A und B verläuft! Wenn ja, entscheiden Sie, ob C sogar auf der Strecke AB liegt und geben Sie gegebenenfalls das Teilverhältnis an! Wenn nein, berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden durch A und B! D ist derjenige Punkt der y-achse, der von A den gleichen Abstand hat wie von B. Bestimmen Sie die Koordinaten von D! b) Das Dreieck ABP ist die Grundfläche eines geraden Prismas, zu dessen Deckfläche der Punkt G gehört. Weisen Sie nach, dass die Strecke PG senkrecht auf der Grundflächenebene steht! Stellen Sie das Prisma in einem kartesischen Koordinatensystem dar und bestimmen Sie die Koordinaten der restlichen Eckpunkte! Dabei sollen der Punkt E über A und der Punkt F über B liegen. Berechnen Sie das Volumen des Prismas! c) Vom Punkt G aus wird in dem Prisma (aus Aufgabenteil b) eine 0,5 Bohrung in Richtung u r = 3 angebracht. (Der Durchmesser der Bohrung wird vernachlässigt.) In welchem Punkt S durchstößt die Bohrung die Ebene, zu der die Grundfläche ABP gehört? Begründen Sie, dass der Punkt S sogar in der Grundfläche ABP des Prismas liegt! Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Bohrung mit der Kante GF einschließt! 6 BE 8 BE 6 BE

7 7 Aufgabe B2 Im Jahr der Fußballweltmeisterschaft haben sich auch die Mannschaften FC Rundes Leder, Einheit Holzheim und Wade 07 für ein Turnier qualifiziert. a) Am Turnier nehmen zwölf Mannschaften teil. Es werden für die erste Runde vier Gruppen zu je drei Mannschaften ausgelost. Zunächst werden die drei Mannschaften der ersten Gruppe gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A:= Die drei genannten Mannschaften sind in der. Gruppe. B:= C:= Nur FC Rundes Leder ist in der. Gruppe. Höchstens zwei von den drei genannten Mannschaften sind in der. Gruppe. 3 BE b) Der Torwart von Wade 07 hält einen Strafstoß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5. Beim Training wird in einer Übungsphase 20-mal auf das Tor geschossen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse: D:= Der dritte Ball ist der erste, den er hält. E:= Er hält genau drei Bälle. F:= Keinen der 20 Schüsse kann er halten. c) Der Fanclub von Einheit Holzheim hat 25 Mitglieder und bekommt fünf Freikarten für das Endspiel des Turniers. Um diese zu verteilen, werden Lose gezogen. In der Lostrommel befinden sich neben den fünf Gewinnlosen zwanzig Nieten. Die Mitglieder ziehen der Reihe nach jeder genau ein Los. Prüfen Sie, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste! 4 BE 2 BE Aufgabenteile d) f) auf folgender Seite

8 8 Herr Lecker betreibt regelmäßig bei solchen Veranstaltungen einen Verpflegungsstand. d) Er bereitet pro Tag 350 belegte Brötchen vor und stellt fest, dass er an 5 % der Tage 00 Brötchen, an 20 % der Tage 50 Brötchen, an 40 % der Tage 30 Brötchen und an 0 % der Tage 0 Brötchen übrig behält. An allen anderen Tagen verkauft er alle Brötchen. An einem belegten Brötchen verdient er 0,50, bei einem nicht verkauften macht er 0,80 Verlust. Berechnen Sie seinen durchschnittlichen Gewinn pro Tag! 4 BE e) Er verkauft auch echte Thüringer Bratwürste. Mit seinem Lieferanten hat er folgende Vereinbahrung getroffen: Es werden 50 Bratwürste auf ihr Mindestgewicht geprüft. Sind höchstens drei Bratwürste untergewichtig, nimmt er die Lieferung an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es zu einer Ablehnung, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine untergewichtige Bratwurst 0,05 beträgt? 3 BE f) Nach einiger Zeit hat er den Eindruck, dass sich der Anteil der Würste mit zu geringem Gewicht vergrößert hat. Er wählt deshalb 50 Würste als Zufallsprobe aus. Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass er sich mit seiner Annahme irrt, höchstens 0,0 beträgt! 4 BE

9 9 Aufgabe C 2n + 3 a n =, n. n + Ab welchem n unterscheiden sich die Folgenglieder vom Grenzwert der Folge um weniger als? 00 a) Gegeben ist die Zahlenfolge ( a n ) mit 2 BE x ax b) Eine gebrochenrationale Funktion der Form f (x) = x + b hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 3 und die Nullstellen x = 0 und x 2 = 4. Bestimmen Sie die Werte für a und b! 2 2 BE c) Gegeben sind die Vektoren 6 a r 0,5k + 9 r = 8 und b k = k + 0 mit k R. 4 8 Für welche Werte von k sind die Vektoren () parallel zueinander bzw. (2) gleich lang bzw. (3) orthogonal zueinander? 3 BE d) Zwei ideale Würfel unterschiedlicher Farbe werden gleichzeitig geworfen und die Summe der Augenzahlen gebildet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A:= Die Augensumme ist kleiner als 6. B:= Die Augensumme ist eine Primzahl. Beschreiben Sie zu diesem Zufallsexperiment ein Ereignis C, dessen Wahrscheinlichkeit P (C) = beträgt! 6 3 BE

10 0 Binomialverteilung p = 0,05 p =0,0 p = 0,25 p= 0,5 n k n n n n B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) B(n; p; k) B (n; p;i) i= i= i= i= , , ,0055 0,0055 0,0026 0,0026 0, , , , , , , ,0026 0,0026 0, ,260 0, , ,73 0,0350 0,0476 0,028 0, ,2987 0,7604 0,3857 0, ,0720 0,377 0,0386 0, ,3598 0, ,8090 0,4320 0,2087 0, , ,2 5 0, , ,8492 0,662 0,5885 0, ,0725 0, , ,9882 0,540 0, ,7020 0, ,495 0, , ,9968 0,0763 0, ,5283 0,7652 0,5745 0, , , , ,9423 0,735 0, ,4935 0, , , , , , ,92 0,2299 0, ,0003 0, ,058 0, , , , , ,00002, ,0063 0, , ,9873 0,057 0, , , ,005 0, , , , ,9997 0, , ,0689 0, ,0002 0, ,0074 0,9994 0, , , , , , , , ,0000, ,0009 0, ,0029 0, , , , , ,0000, ,0005 0, , , ,0000, , , , , ,036 0, , , , , ,088 0,826 0,0062 0,0094 0,0006 0,0008 0,0000 0, ,3958 0, , , , , , , ,784 0, ,0587 0,0237 0, , , , ,8002 0,6600 0, , ,007 0,0064 0,003 0, ,500 0,7660 0, ,76 0,0609 0, ,0035 0, ,0603 0, , , , , , , , ,9369 0,482 0, ,0526 0,0885 0,053 0, , ,978 0,3042 0,4529 0, ,8370 0, , ,0672 0, ,387 0,5836 0, ,2800 0, , , , ,988 0, ,373 0, , , ,0028 0, , ,8082 0,2050 0,5523 0, , ,0000 0, , ,8762 0,653 0,6376 0,002 0, , , ,0530 0, ,0345 0,7352 0,0980 0, ,0000 0, , ,960 0, ,8994 0,09 0, , , ,0929 0, , , ,045 0, ,0000, ,0059 0, , , ,0908 0, , , , , , , Q, , ,0843 0, , , ,007 0,9999 0,0067 0, , , , , , , , , , , , , ,074 0, , , ,0044 0, ,0026 0, , , , , ,0058 0, ,0000, , ,9998 0,003 0, ,0002 0, ,0059 0, , , , , , , , , ,0000, ,0005 0,99989