Übung (9) . Geben Sie auch eine geometrische Deutung des Resultats an. 2 3j, e jπ7/4, 2e 4jπ/3.

Transkript

1 Übung (9). Drücken Sie 3 ³ b (4 a ( 5) c) aus urch a b c. Geben Sie auch eine geometrische Deutung es Resultats an.. Vereinfachen Sie: ( x 4 y) (3 y 5 x). ³ ³³ ³ 3. Vereinfachen Sie en Ausruck a 3 b 3 a + b 3 c +5 a 4 b. (In as Resultat geht wesentlich ie Determinante einer Matrix ein - welcher Matrix?) 4. Skizzieren Sie folgene komplexen Zahlen in er komplexen Ebene: 3j, e jπ7/4, e 4jπ/3. Geben Sie zu en beien Zahlen in Polarform ie exakten (!) kartesischen Formen. Was sin ie Beträge er rei Zahlen (im Kopf!)? 5. Bringen Sie auf kartesische Enform: z = 3j 3+j. Was ist z? Wie können Sie nun möglichst einfach auf z, z kommen, ohne iese Zahlen auszurechnen? Rechnen Sie jeoch all iese Zahlen auch aus, in kartesischer Enform, un überprüfen Sie Ihre Resultate für ie Beträge. 6. Was kommt heraus, wenn man auf eine komplexe Zahl z fünf mal ie Konjugation anwenet? 7. Bringen Sie ie Zahl z = 3 j in exakte Polarform. Wie können Sie agegen ie Zahl z = 5j nur in exakter (!) Polarform schreiben? Woran liegt as? 8. Lösen Sie in C ie folgene Gleichung: +z z = j. 9. Lösen Sie in C ie Gleichung z z +5=0. 0. Was ergibt sich mit e jφ e jφ e jφ + e jφ,?. Was für ein Gebile wir parametrisiert mit z(t) =+tj, t 0?

2 Übung (0). Wie lautet er Wierstan folgener Schaltung mit vorgegebenen Konstanten R, C, L > 0?. Lösen Sie ie Gleichung in C: z (j +)z j +=0. 3. Rechnen Sie mittels es Aitionstheorems exakt sin (π/) aus. Hinweis: Drücken Sie azu / geschickt als Summe aus - enken Sie aran, ass Sie sin(π/3), sin (π/4) exakt kennen! 4. Schreiben Sie mit Aitionstheorem Gleichungen für cos(x + y) un cos(x y) hin. Aieren Sie iese Gleichungen, un gewinnen Sie eine (später nützliche!) Umformung für sin(x)sin(y). 5. Geben Sie alle Maxima er Funktion f : R R, f(x) =5 3cos(4x ). Was sollte man überlegen, um schnell en Graphen zu zeichnen, unter Markierung er wichtigsten quantitativen Eigenschaften? 6. Ermitteln Sie urch Bruchrechnung as Aitionstheorem für Tangens: Setzen Sie an: tan (x + y) = sin(x+y) cos(x+y), nun ersetzen Sie in Zähler un Nenner urch ie von en Aitionstheoremen von sin un cos gegebenen Ausrücke, un kürzen Sie en entstehenen Bruch so, ass Sie wieer Tangens-Ausrücke erhalten. 7. Rechnen Sie nach, welchen Betrag er Vektor (r cos(ϕ) sin(ϑ),r cos (ϕ)sin(ϑ),r cos (ϑ)) hat. 8. Skizzieren Sie grob ie Graphen er Funktionen mit en Rechenausrücken sin(x), sin x, sin (x), sin(x ),xsin(x). Stellen Sie Symmetrien ausrücklich fest. 9. Sei f eine auf ganz R efinierte Funktion. Formulieren Sie mit einer Gleichung ie Beingung: Der Graph von f liegt spiegelsymmetrisch zur Geraen x = a. 0. Sei f eine auf ganz R efinierte Funktion. Geben Sie eine Parameterarstellung für en Graphen von f. Nunmehr parametrisieren Sie auch ie Punktmenge, ie man erhält, wenn man en Graphen von f mit em Vektor (a, b) R. parallel verschiebt. Geben Sie einen (möglichst einfachen) Ausruck für ie Funktion an, eren Graph iese neue Punktmenge ist. Führen Sie asselbe Programm urch mit er geometrischen Operation: Stauchen es Graphen von f längs er x Achse (mit Festlassen er y Achse) mit Faktor α>0.

3 Übung (). Analysieren Sie en Ausruck sin(x x +cos (x +))(Baumiagramm).. Skizzieren Sie grob en Graphen von f(x) =x 3 x. Erkennen Sie en Wenepunkt qualitativ. Nehmen Sie nun als (später auch zu begrünene) Tatsache hin, ass ie Extrema bei ± 3 3 liegen. Wie können Sie ie Funktion erart veränern, ass er Wenepunkt in en Punkt (a, b) versetzt wir un zusätzlich er Abstan es Wenepunktes zu en lokalen Extrema en Wert c>0 erhält? 3. Schreiben Sie en Ausruck k 3 auf ie Basis e um. 4. Was beeutet ie Formel ln(ax) =ln(a) +ln(x) für en geometrischen Zusammenhang es Graphen zu ln(ax) mit em Graphen zu ln(x)? Welche anere geometrische Operation mit em Graphen zu ln(x) liefert ebenfalls en Graphen zu ln(ax)? 5. Lösen Sie ie Gleichungen 3 4x =0un log 5 (x) =5. 6. Wenn eine geämpfte Schwingung ie Form e 3t sin(5t) hat - in welchen Zeitabstänen sinkt ann ie Amplitue auf jeweils Prozent? 7. Konstruieren Sie eine Funktion, welche en zeitlichen Verlauf einer Schwingung arstellt, eren Amplitue perioisch auf- un abschwillt. 8. Wie sehen ie Graphen er Funktionen f (x) = arctan (a (x b)) aus, a, b R, a6= 0? 9. Skizzieren Sie grob ie Graphen zu folgenen Funktionen - sie sollten sämtlich in ihrem maximalen reellen Definitionsbereich er jeweiligen Vorschrift genommen weren; geben Sie iesen Definitionsbereich jeweils an. Nutzen Sie as elementare Graphenkonstruieren aus bereits vorhanenen Grungraphen. Vergessen Sie auch nicht, sofort nach etwa vorhanenen Stanar-Symmetrien zu fragen. (a) f(x) =x 3 e x (b) g(x) = x 3 (c) k (x) = +x,k (x) = x +x,k 3 (x) = x +x () h (x) = x x,h (x) = x x,h 3 (x) = x3 x 0. Stellen Sie f(x) =sin(3x)+cos(3x) in er Form f(x) =A sin (3x + ϕ) ar. 3

4 Übung (). Schreiben Sie ie Tangentenzerlegung für ie Funktion f(x) =(x +) 5 an er Stelle x 0 = auf, un ermitteln Sie nach Prüfung es Restterms amit f 0 ( ). Nun geben Sie amit ie Näherung. Ornung für f(.99). Geben Sie en absoluten un en relativen Fehler er Näherung an.. Berechnen Sie folgene Ableitungen: (a) (b) (c) x ³ e x 3 x 5 + x e+ +ln(x) 3sin(x) x sin( 3x), t cos(ωt + ϕ), x ( x +)5 x x tan(x) (Nutzen Sie, ass Sie tan0 =+tan schon kennen.) sin(x) x +cos(x), x e x +e x, x 3 (x+) 4 () - in welchem Falle sollte man hier ie Quotientenregel anwenen, in welchen Fällen nicht? e (e) x x sin(), x ( x ln(x)) ; skizzieren Sie auch en Graphen er letzteren Funktion, un nutzen Sie ie Ableitung, um as Steigungsverhalten bei x =0 un für x zu klären. - Rechnen Sie auch en Extremwert aus. (f) x x 5x (Kettenregel, nicht ausmultiplizieren!) (g) x sin3 (x) (was ist beim Graphen qualitativ aners als bei sin, un wie äußert sich as in er Ableitung?) (h) x αx +,αreellwertige Konstante (Wohin geht ie Steigung er Funktion x 7 αx + bei α < 0 für x gegen ie Räner es Definitionsbereiches?) x (i) (j) (k) x x 3 x α (x+α) 3 (x 3) (Achtung, nach α ist abzuleiten!) x log a(x), x ax (a>0 in beien Fällen) 3. Wohin geht ie Steigung es Graphen von f(x) =ln (x) für x? Was beeutet as graphisch? 4. Wie sieht er Graph aus zu g(x) =e cos (x)? (Geben Sie eine grobe Skizze). Wo liegen ie Maxima? Überlegen Sie as irekt, verifizieren Sie es auch über ie. Ableitung. 5. Geben Sie ie Näherung. Ornung für kleine x für en Ausruck f(x) = +tan(π+x). Wie groß ist er relative Fehler bei entsprechener Näherung von f( 0.)? 6. Sei für ie Gerae g eine Parameterarstellung x g (λ) = x P + λ a, λ R, gegeben. Ferner sei x Q gegeben. Zeigen Sie mittels er ersten Ableitung, ass er minimale Abstan zwischen einem Punkt er Geraen g un em Punkt Q sich urch as Lot von Q auf g ergibt. Hinweis: Arbeiten Sie zweckmäßig mit em Abstansquarat. 4

5 Aufgaben zum Wochenene (3) Erster Block: Wieerholungen zur Vektorrechnung. Schreiben Sie für ie Ebene, welche urch x E (α, β) =(,, ) + α (3,, ) + β (, 3, ),α,β R, gegeben ist, eine Normalenform auf. Welchen Winkel bilet ie Ebene mit er Geraen g, x g (λ) = (,, 3) + λ (,, ),λ R?. Betrachten Sie ie Ebene E, welche urch ie Gleichung x y + z =gegeben ist. Geben Sie eine Parameterarstellung für E, un prouzieren Sie eine Parameterarstellung für ie Ebene F, welche aus E aurch entsteht, ass E um ie z Achse um en Winkel π/6 gereht wir, un zwar links herum, wenn man vom Punkt (0, 0, ) auf ie xy Ebene blickt. Hinweis: Drehmatrix bilen un auf en allgemeinen Ausruck er Parameterarstellung für E anwenen. 3. Welches Volumen hat er Spat, welcher von en Vektoren a, b, c mit a =(,, ), b =(, 3, ), c = (,, 3) aufgespannt wir? Welches Volumen hat er Spat, welcher von en Vektoren a +3 b, b, c aufgespannt wir? (Letzte Frage möglichst praktisch beantworten!) 4. Betrachten Sie ie Kurve x (t) =(t cos t, t sin t, t),t 0. Zeigen Sie, ass ie Bahn ieser Kurve vollstänig auf em Kegel liegt, er urch ie Gleichung x + y = z beschrieben ist. Wie sieht iese Bahn aus? Zweiter Block: Zu en komplexen Zahlen. Geben Sie in kartesischer Enform an: z = 3+5j 3j, bestimmen Sie irekt mittels es Resultats ohne Rechnung ie kartesische Enform von z = 3 5j +3j.. GebenSieieexaktekartesischeFormzue 5jπ/6. 3. Lösen Sie in C aus zur Gleichung z jz+ =+j? 4. (Schwieriger) Wie sieht folgene Menge komplexer Zahlen aus? z(t) = +jt,t R? Dritter Block: Zu en Funktionen. Wie lauten ie Abszissenwerte er Maxima von 4sin(3x ) + 5?. Geben Sie alle reellen Lösungen er Gleichung tan(x) = 3 an. 3. Eine Funktion f habe ie Eigenschaft, ass f(0) = 0 un f(x) m für m, (m >0). f steige erart gegen en Wert m, ass sich er Abstan zwischen m un f(x) halbiert, wenn x um en Wert 0 anwächst. Geben Sie en Rechenausruck für f. 4. Diskutieren Sie ie Funktionen g(x) = x3 x x,h(x) = x4 x (ohne ie Ableitung heranzuziehen). Grobe Skizze er Graphen! Überlegen Sie aber ann auch, was ie erste Ableitung Ihnen noch mehr bringen würeiniesenfällen. 5. Geben Sie ie Näherung. Ornung von arctan( + x) für kleine Beträge von x. 6. Lösen Sie in R ie Gleichung ey e y = x eineutig nach y auf, mit äußerem Parameter x, nunmachensie x zur unabhängigen Variablen, un skizzieren Sie ie Funktion f(x) =ie Lösung y er obenstehenen Gleichung. Von welcher Funktion ist as ie Umkehrfunktion? 5