Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Nichttechnik - A I - Lösung

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe. Gegeben ist die ganzrationale Funktion g dritten Grades mit D g IR, deren Graph G g in untenstehender Abbildung dargestellt ist. Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: G g hat bei der Nullstelle x eine Tangente G t mit t: y x mit x IR und besitzt den Wendepunkt W( ). Graph von g x x Teilaufgabe. ( BE) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von g in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die maximalen Monotonieintervalle der. Ableitungsfunktion g ' an. Graph von g ' x x x Der Graph von g ' ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen x und x. Der Scheitel liegt bei x. Der Graph von g ' ist streng monoton steigend in ] ; ] und streng monoton fallend in [ ; [. AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

2 Teilaufgabe.. Zur Bestimmung des Funktionsterms gx ( ) ist folgendes Gleichungssystem gegeben: (I) (II) (III) (IV) a a a a b b b b c c c d d Teilaufgabe.. ( BE) Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen. gx ( ) ax bx g' ( x) a x b cx x c d g'' ( x) a x b Nullstelle x : a b c d W G g : a b c d g' ( ) a b c g'' ( ) a b Teilaufgabe.. ( BE) Bestimmen Sie gx ( ) mithilfe der Gleichungen aus... (I) - (II) (V) (III) (III) - (V) (VI) (IV) a a a a b b b b c c (IV) - (VI) a in (IV) a a b b a und b in (III) c c a, b,c in (I) ( ) ( ) d d Konkreter Funktionsterm: gx ( ) x x x AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

3 Teilaufgabe. Gegeben ist nun die Funktion f mit f( x) gx ( ) x x x mit D f IR, wobei g die Funktion aus Teilaufgabe.. ist. Der Graph wird mit G f bezeichnet. Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen G f mit den Koordinatenachsen. f( x) x x x x aus. S ( ) x x x ( x ) x x x x x x x x x ( x ) x x ( ) ( ) x S ( ) x S ( ) f( ) S ( ) Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von G f. Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle f' ( x) x x f' ( x) x x AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

4 ( ) ( ) x e x e. f (.). x e x e. f (.) Extrempunkte: HP(.. ) TP(. ) Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von G f. f'' ( x) ( x ) f'' ( x) x x w Mithilfe der Zeichnung aus.: G f ist linksgekrümmt für ] ; ] und rechtsgekrümmt für [ ; [. Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Gaphen G f im Bereich x in ein kartesisches Koordintensystem. Maßstab: LE cm. x d - fx d AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

5 Teilaufgabe. ( BE) Es gilt f( x) dx. Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf G f. Der Intergrationsbereich enthält die Nullstelle x mit Vorzeichenwechsel. Das heißt: Das Flächenstück zwischen G f und der im Bereich wie das Flächenstück zwischen G f und der im Bereich Teilaufgabe. ( BE) x ist genau so groß x. Die Parabel G p mit px ( ).x.x. und D p IR schließt mit G f im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnn Sie G p für x in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden. x d - px d..... G p G f A ( px ( ) f( x) ) dx AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

6 Differenzfunktion: px ( ) f( x) x x x x x dx ( ) x x x Stammfunktion: Dx ( ) x x x D ( ). D ( ) A D( ) D ( ). A. Teilaufgabe. Einer Halbkugel mit Radius R cmsoll ein Zylinder mit Radius r und Höhe h einbeschrieben werden (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die Maßzahl Vh ( ) des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V: h V(h) an, wenn die Höhe mindestens cm betragen soll [ Mögliches Zwischenergebnis: Vh ( ) hπ h ] Zielfunktion: V r πh Nebenbedingung: h r r h Einsetzen in Zielfunktion: Vh ( ) h πh Vh ( ) π h h Definitionsmenge: D V [ : [ AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von

7 Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie h so, dass V(h) den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen V max des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt. V' ( h) π h V' ( h) h h h nicht def. h Vergleich mit den Randwerten: V ( ). lim h Vh ( ) Funktionswert: V. absolut größter Wert. Vergleich: V max V Halbkugelvolumen: V Halbkugel π V max. V V max Halbkugel V Halbkugel Animation AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von