Schwerpunkt 1 E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Transkript

1 Schwerpukt 1 E

2 Der starre c Körper Abb. 1 1: Zur Defiitio eies starre Körpers Uter eiem starre Körper verstehe wir ei System vo Massepukte, bei dem der Abstad zwische zwei beliebige Massepukte i ud j des Körpers kostat bleibt r i r j = r i j = cost 1 1

3 Schwerpukt eies cc starre Körpers Abb. 1 2: Das Schwerkraftfeld erzeugt i eiem starre Körper ei System paralleler Kräfte Ei starrer Körper der Masse m befidet sich i eiem Schwerkraftfeld. Wir ehme a, dass die Schwerkraft icht ur proportioal zur Masse ist, soder überall die gleiche Richtug hat. Die Schwerkraft, die auf jedes Masseelemet wirkt, ist gleich der Masse eies Masseelemets multipliziert mit der Fallbeschleuigug g. Das bedeutet, dass das Kraftfeld i dem Körper ei System paralleler Kräfte ererzeugt. 1 2

4 Schwerpukt eies cc starre Körpers Abb. 1 3: Das Schwerkraftfeld erzeugt i eiem starre Körper ei System paralleler Kräfte 1 3 Der Schwerpukt ist der Pukt, i dem wir us die gesamte Gewichtskraft des Körpers vereiigt deke köe. A diesem Pukt muss eie etgegegesetzt zur Fallbeschleuigug wirkede Kraft agreife, um die gesamte Gewichtskraft des Körpers zu kompesiere. Diese Kraft bewirkt keie Rotatio. G = m g die Gewichtskraft des Körpers, g die Fallbeschleuigug m die Masse des Körpers,

5 Schwerpukt eies cc starre Körpers Abb. 1 4: Zur Ermittlug des Schwerpuktes eies starre Körpers. Der Schittpukt zweier beliebiger Schwerpuktliie ist der Schwerpukt 1 4 Die experimetelle Bestimmug des Schwerpuktes: Der Körper wird acheiader a zwei verschiedee Pukte z.b. A ud B seier Oberfläche a eiem Fade aufgehägt. Die resultierede Gewichtskraft G ud die Fadekraft stehe im Gleichgewicht miteiader. Die lotrechte Verlägerug des Fades heißt Schwereliie. Der Schittpukt zweier beliebiger Schwereliie ist der Schwerpukt.

6 Gleichgewichtsbediguge cc Abb. 1 4: Zum Begriff des Gleichgewichts eies starre Körpers Gleichgewichtsbediguge: Ei starrer Körper ist im statische Gleichgewicht, we die Summe aller a ihm agreifede äußere Kräfte ud Drehmomete Null ist F i = 0, i=1 M i = 0 1 5

7 Das Drehmomet cc Abb. 1 5: Die Kraft G erzeugt bezüglich des Drehpuktes O ei Drehmomet M i Ei starrer Körper ist um eie Pukt O drehbar gelagert. Bei icht verschwidedem Abstad d erzeugt die Kraft G ei Drehmomet i M = r G i, M = r G i si = G i d 1 6

8 Schwerpukt cceies Körpers Abb. 2 1: Zur Bestimmug des Schwerpuktes eies starre Körpers Wir betrachte die Gruppe paralleler Kräfte: G i = G i e i = 1, 2,..., 1 7 Befidet sich der Körper im Gleichgewicht, ist das resultierede Drehmomet gleich Null S M i = s i G i = s 1 G 1 s 2 G 2... s G = 0

9 Schwerpukt cceies Körpers Abb. 2 2: Zur Bestimmug des Schwerpuktes eies starre Körpers bezüglich beliebige Puktes O 1 8 M S i = M S i = s i G i e, r i = r S s i s i = r i r S r i r S s i G i e = G i r i r S G i e = 0 i=1 a

10 Schwerpukt cceies Körpers Kräftemittelpukt: r S = G i r i G i i=1 G i = m i g, G i = m i g Massemittelpukt: r S = 1 m m i r i, m = i=1 m i Der Massemittelpukt eies Körpers hägt ur vo der Massegeometrie ab. Wir bestimme im Folgede die Lage des Schwerpuktes oder des Massemittelpuktes eies ebee Systems, das aus drei Massepukte besteht. 1 9

11 Schwerpukt eies ccsystems: Beispiel 1 Abb. 3 1: Das System besteht aus drei Massepukte, die durch gewichtslose Stage miteiader verbude sid Wir utersuche die Lage des Massemittelpuktes abhägig a) vo der Masse des zweite Massepuktes m 1 = m 3 = m, m 2 = a m b) vo der Lage des zweite Massepuktes auf der x-achse m 1 = m 2 = m 3 = m, m 2 : b d, Sehr wichtig ist die Wahl eies geeigete Koordiatesystems, i dem die Rechuge am eifachste sid!

12 Schwerpukt eies ccsystems: Beispiel 1 x S = m 1 x 1 m 2 x 2 m 3 x 3 m 1 m 2 m 3, y S = m 1 y 1 m 2 y 2 m 3 y 3 m 1 m 2 m 3 m 1 : 0, 0, m 2 : d, 0, m 3 : 2 d, d m 1 = m 3 = m, m 2 = a m x S = m 0 a m d m 2 d 2 m a m = 2 a m d 2 a m = d y S = m 0 a m 0 m d 2 m a m = d 2 a 2 2

13 Schwerpukt eies cc Systems: Beispiel 1a Abb. 3 2: Die Lage des Schwerpuktes i Abhägigkeit vo der Masse des zweite Masseelemets m 1 = m 3 = m, m 2 = a m : x S = d, y S = d 2 a 1 ) a = 0, y S = d 2, 2 ) a = 1, y S = d 3, 3 ) a = 4, y S = d 6 2 3

14 Schwerpukt eies cc Systems: Beispiel 1b Abb. 3 3: Die Lage des Schwerpuktes i Abhägigkeit vo der Lage des zweite Masseelemets m 1 = m 2 = m 3 = m, m 2 : b d, 0 : x S = 2 b d 3, y S = d 3 1 ) b = 1, x S = d, 2 ) b = 2, x S = 4 d 3, 3 ) b = 4, x S = 2 d 2 4

15 Kotiuierliche cc Masseverteilug Abb. 4: Zur Schwerpuktberechug eies räumliche Körpers der Masse m Schwerpuktkoordiate eies Körpers mit kotiuierlicher Masseverteilug: r S = 1 m m i r i, r i r, m i dm r S = 1 m V r dm x S = 1 m V x dm, y S = 1 m V y dm, z S = 1 m V z dm 3 1

16 Kotiuierliche cc Masseverteilug Das Masseelemet dm ka ma auch durch das Produkt vo der Dichte des Materials ρ ud dem Volumeelemet dv darstelle, d.h. = x, y, z, dm = dv, m = dv r S = r dv V dv V, dv = dx dy dz = cost, m = V, r S = 1 V V r dv 3 2