3 Dynamik. 3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz

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Kerstin Vogel
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1 3 Dynaik 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensatz chwepunktsatz Die Bewegungsgeichungen eines staen Köpes egeben sich aus de chwepunkt- ode Ipussatz sowie de Moenten- ode Dasatz unte Beachtung kineatische Zwangsfühungen. Estee chaakteisieen die tansatoische Bewegung des ysteschwepunktes, wähend de Moenten- bzw. Dasatz die Rotation des Köpes bewetet. d x = F dt x d y = F dt y d z = F dt z De chwepunkt eines Massenpunktsystes bzw. eines Bauteisbewegtsichso,asobdieGesatassedesKöpesin ihveeinigtwäeunddieresutieende(f x,f y,f z )aeäußeen Käfte an ih angeift. Ipussatz Ipus v d p = F dt p = v Masse des staen Köpes Geschwindigkeitsvektodeschwepunktes Dasatz, Moentensatz Rotation eines staen Köpes it aufeste, köpeeigenen Bezugspunkt Die zeitiche Ändeung des Dehipusvektos(Das) ist geich de esutieenden Moentenvekto de äußeen Käfte. M d L = M dt ektodesäußeenmoentsbezügich

2 104 3 Dynaik Rotation eines staen Köpes it bewegte chwepunkt as Bezugspunkt M d L = M dt ektodesäußeenmoentsbezügich chtung: chwepunkt- bzw. Moentensatz stae Köpe geten auch fü ehteiige, vebundene ystee. Die Bewegungsgeichungen fü jedes Teieeent des Gesatsystes assen sich aus den genannten ätzen unte Beücksichtigung von chnittkäften bzw. chnittoenten sowie kineatischen Beziehungen fü die gekoppete Bewegung zwischen den einzenen Bauteien abeiten. Dasatz(ebene Bewegung) M = && ϕ+ yx && && xy M äußees Moent Massentägheitsoent des staen Köpes bezügich des köpeeigenen Refeenzpunktes ϕ&& Winkebescheunigung (&& x, && y) Bescheunigung des Bezugspunktes ( x, y) Diffeenzkoodinaten zwischen Bezugspunkt und chwepunkt Dehipus(ebene Bewegung) Ebene Rotation eines staen Köpes u aufesten, köpeeigenen Bezugspunkt L=ω ω Massentägheitsoent des staen Köpes zu aufesten, köpeeigenen Refeenzpunkt Winkegeschwindigkeit de Rotation u

3 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensatz 105 Ebene Rotation eines staen Köpes u den bewegten chwepunkt L=ω ω Massentägheitsoent des staen Köpes bezügich des chwepunktes Winkegeschwindigkeit de Rotation u Dehipus Refeenzpunktveschiebung Fouieung d B ( & &) L = L + x y y x B B Masse des Bauteis ( xb, yb) Diffeenzkoodinaten vo Bezugspunkt B zu x&, y& Geschwindigkeitskoodinaten des bewegten chwepunkts Massentägheitsoent bezügich des chwepunktes = s ρd ρ Dichte des Mateias Entfenung vo chwepunkt des Köpes ouen des Bauteis Keisscheibe = s R R Masse de Keisscheibe Radius des Keisqueschnitts

4 106 3 Dynaik Kuge(chwepunktachse) = s R 5 R Masse de Kuge Radius de Kuge chanke tab = 1 Masse des tabes Länge des schanken tabes atz von teine(d) = + a a a bstand de paaeen chsen und Masse des Köpes Tägheitsadius i = De Tägheitsadius ist die Entfenung eines as Punktasse gedachten Esatzköpes von de Dehachse, de das geiche axiaemassentägheitsoent hatwieeinoiginaes,ausgedehntes Bautei it de Gesatasse.

5 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensatz 107 Reduziete Masse = Dehipus(3d) Die eduziete Masse ist die Masse eines i vogegebenen bstand von de Dehachse angebachten punkt- ode ingföigen Esatzköpes, de das geiche axiae Massentägheitsoent hatwiedasoiginaebautei. Rotation eines staen Köpes it aufeste, köpeeigenen Bezugspunkt L = xx xy xz xy yy yz xz yz zz ω xx, yy, zz axiae Massentägheitsoente bezügich xy, xz, yz Deviationsoente bezügich ω ektodewinkegeschwindigkeitdesköpes Rotation eines staen Köpes it bewegte chwepunkt as Bezugspunkt L = xx xy xz xy yy yz xz yz zz ω xx, yy, zz axiae Massentägheitsoente bezügich xy, xz, yz Deviationsoente bezügich ω ektodewinkegeschwindigkeitdesköpes

6 108 3 Dynaik Dehipus Refeenzpunktveschiebung Fouieung 3d L = L + v B B v B Masse des Bauteis ektovobezugspunktbzubezugspunkt Geschwindigkeitsvektodesbewegtenchwepunkts xiae Massentägheitsoente xx = ( y + z) ρd yy= ( + ) zz = x + y ρd x z ρd ρ Dichte ouen des Bauteis Deviationsoente, Zentifugaoente = = xy yx xyd ρ = = yz zy yzd ρ = = xz zx xzd ρ ρ Dichte ouen des Bauteis x,, y z Koodinaten de oueneeente d des Köpes bezügich des Refeenzpunktes De Wet von indestens zwei Deviationsoenten wid zu Nu,wenneinedeKoodinatenachsenx,yodeziteine yetieachse des staen Köpes zusaenfät.

7 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensatz 109 Hoogene Quade xx = b+ h 1 z yy = + h 1 zz = + b 1 h x b y Masse des Quades,, b h bessungen des Quades Zyinde xx = yy = + 1 zz = ( 3 ) Masse des Zyindes, bessungen des Zyindes z y x Keiskege 3 xx= yy= h+ 0 = 3 10 zz ( 4 ) x z y h h Masse des Keiskeges Höhe des Keiskeges Radius de Gundfäche

8 110 3 Dynaik atz von teine(3d) y * y y* z x* x * x z * z * xiae Moente xx xx = + y + z = + z + x yy yy zz zz = + x + y xx, yy, zz axiaemoentezuchwepunkt Masse des Köpes * (,, ) x y z Diffeenzkoodinaten zwischen Bezugspunkt und chwepunkt Deviationsoente xy=xy xy yz=yz yz zx=zx zx xy, yz, zx Deviationsoente zu chwepunkt Masse des Köpes * (,, ) x y z Diffeenzkoodinaten zwischen Bezugspunkt und chwepunkt

9 3. toßgesetze 111 xiaes Massentägheitsoent fü chse in Rauichtung(φ,θ) z θ φ y x ( xx yy xy ) zz ( yz zx ) = cosφ+ sinφ+ sin φ sinθ + cosθ+ sinφ+cosφsinθ xx, yy, zz axiae Massentägheitsoente xy, xz, yz Deviationsoente φ, θ Rauwinke 3. toßgesetze toß eine Punktasse gegen dehba befestigten Köpe ω 1 v 1

10 11 3 Dynaik Geschwindigkeitsändeung Punktasse v= ( ω v)( 1+ ε) Ändeung de Winkegeschwindigkeit des Köpes ω = ( v ω)( 1+ ε) 1 + v1 1 ω ε stoßende Punktasse Masse des dehba geageten Köpes Geschwindigkeit de Punktasse vo de toß Lot vo Dehpunkt auf die toßichtung Massentägheitsoent des dehba geageten Köpes bezügich de Dehachse Winkegeschwindigkeit des dehba geageten Köpes vo de toß toßzah toßittepunkt(tägheitsittepunkt) Die dynaischen Lageeaktionen eines dehba geageten, staen Köpes veschwinden, wenn die toßnoae duch den toßittepunkt des staen Köpes veäuft und senkecht zu ebindungsgeaden zwischen de Dehpunkt und de chwepunkt des staen Köpes geichtet ist. De toßittepunkt iegt auf diese ebindungsgeaden in de Entfenung vo Dehpunkt. = Masse des gestoßenen, dehba geageten Köpes Entfenung des chwepunktes vo Dehpunkt Massentägheitsoent des gestoßenen Köpes bezügich

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