Multivariate Analysemethoden

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1 Psychlg Multvarat Analysmthdn q-q-plt Mthd zur Prüfung dr Multvaratn Nrmalvrtlung Güntr Mnhardt Jhanns Gutnbrg Unvrstät Manz

2 Psychlg Prüfung dr NV-Annahm Klassfkatn Vrtlungsanpassung/Prüfung Prüfung dr Vrtlungsannahm Ausrßranalys: Vr dr Schätzung dr Paramtr (m,s) für d multvarat NVwrd n Analys dr Rhdatn auf Ausrßr vrgnmmn. Effznt Tsts: D NV- Annahm st mt ffktvn Mthdn und trnnscharfn Tst zu prüfn, um hr Gültgkt schrzustlln Krrkturn und Datntransfrmatnn: Ist d NV- Annahm auf dn rgnaln Skaln vrltzt, könnn Skalntransfrmatnn für d nzlnn Varabln ds Varablnvrbunds gfundn wrdn, mt dnn d multvarat Nrmalvrauf dn transfrmrtn Skaln glt.

3 Psychlg Unvarat Tsts (1D) Klassfkatn c - Tst auf Güt dr Passung D allgmn Frm ds Ch Quadrat für Häufgktn st: k c 1 : bbachtt Häufgkt : rwartt Häufgkt Dss Schma wrd flxbl auf d jwlg Fragstllung angwndt. D Frag st, nach wlchm Krtrum sch d rwarttn Häufgktn rgbn. Das nfach c hat k-1 Frhtsgrad, d zughörg Wahrschnlchktsvrtlung st d c Vrtlung. Für dn Tst dr Anpassung an d Nrmalvrtlung wrdn d rwarttn Häufgktn aus dn Wahrschnlchktn dr Quantl- Intrvall dr Nrmalvrtlung brchnt.

4 Psychlg Unvarat Tsts (1D) Klassfkatn c - Tst auf Güt dr Passung Nr. Intrvall j h j (abslut) p j (rlatv) p ˆ j (rwartt) j (rwartt) h j (Dffrnz) x x 1 h 1 p 1 F x F 1 h 1-1 x1 x x Unvarat Nrmalvrtlung h p F x F x 1 h - 1 j h j j j x x x h k1 k k p k F xk F xk 1 k h k - k S N 1 1 N c D rwarttn rlatvn Häufgktn brchnt man aus dr Dffrnz dr Wrt dr Vrtlungsfunktn für d xaktn Intrvallgrnzn. D rwarttn Häufgktn rgbn sch durch Multplkatn mt dr Anzahl dr Bbachtungn N. Tst mt prgrssvm alpha-nvau, da man an dr Abschrung für d Bbhaltung dr H 0 ntrssrt st (a = mnd. 10%).

5 Psychlg Unvarat Tsts (1D) Klassfkatn c - Tst auf Güt dr Passung h(x) 4000 Unvarat Nrmalvrtlung Bbachtt: h(x) 4000 rwartt als Nrmalvrtlung: h(x) 4000 x x Vrglch: x

6 Psychlg Prüfung dr NV-Annahm Klassfkatn Nachtl vn c - Tsts Tsts dr NV- Annahm c Tsts snd ncht shr trnnscharf und brauchn n hhs N S hängn vn dr Anzahl dr Intrvall (Frhtsgrad) ab S könnn nur für d unvaratn Vrtlungn dr nzlnn Mßvarabln durchgführt wrdn (- Ausrssr durch spzll Wrtkmbnatnn n dr multvaratn Vrtlung könnn ncht aufgdckt wrdn) Altrnatv: Q-Q Plt Mthdn und Krrlatns- Tsts Effktv Mthdn: Mthdn, d d Quantl dr rwarttn und tatsächlchn Dstanzn vm Zntrd vrwndn, könnn unvarat und multvarat vrwndt wrdn Effznt Tsts: D Tstung dr Glchht vn rwarttn und tatsächlchn Quantln bruht auf nr trnnscharfn Tstung ds Krrlatnskffzntn (un-und multvarat).

7 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Data Clarng Idntfkatn vn Ausrßrn Ausrßr snd hkl zu bstmmn, b klnn Stchprbn N < 30 gbt s kn zuvrlässgn Mthdn B N > 30 lgt man d Quantl dr Nrmalvrtlung zugrund und lmnrt d Wrt, d jnsts dr äußrn Quantl lgn. Ds slltn ncht mhr als 7%-8% sn. 0.5 N0.5 1 p, 1,, N 1 p N N N q F p F p z 1 1 max max max p q x z Ausrßr: z z max

8 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Tst übr Quantlskrrlatn Nach Ausrßrbrngung wrdn dn Mßwrtn mprsch Quantl q (n z) zugrdnt übr d srtrt Rh dr Mßwrt. Mt aus dn Datn gschätztn Paramtrn (m,s) wrdn für d Prznträng rwartt Quantl q (n z) bstmmt. Man trägt q (y-achs) und q (x-achs) ggnnandr ab. Prfkt Passung lgt vr, wnn d Datn auf dr Wnklhalbrndn lgn. Man bstmmt Antl dr aufgklärtn Varanz und Krrlatn. r qq q q var( ) 1 1 var( y) q q var q q q var q cv, Für dn Krrlatnskffzntn xstrn krtsch Wrt, d b Untrschrtung zur Ablhnung dr NV-Annahm führn (s. Tabll).

9 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Krrlatns- Tst rqq rcrt( a ) Krtsch Q-Q- Krrlatnn Smpl Sz N Sgnfcanc lvl Ist r qq < r crt(a), wrd d Annahm dr NV auf dm gwähltn a Lvl vrwrfn. a sllt prgrssv gwählt sn (10%), da man n Schrht für d Bbhaltung wünscht.

10 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Datnbspl mt Ausrßrn r q q q q var q q q var q cv,.974 bsrvd quantl (q) N = xpctd quantl (q) Krrlatns- Tst rqq rcrt( a.1) NV Tst knapp m Annahmbrch, abr Ausrßr vrschlchtrn d Passung bträchtlch

11 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Datnbspl hn Ausrßr r q q q q var q q q var q cv,.99 bsrvd quantl (q) N = 8 Krrlatns- Tst rqq rcrt( a.1) xpctd quantl (q) NV Tst und Varanzaufklärung zgt prfkt dr mprschn Quantl an d NV an.

12 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Datnbspl Nchtlnar Abwchung r q q q q var q q q var q cv,.937 bsrvd quantl (q) N = xpctd quantl (q) Krrlatns- Tst rqq rcrt( a.1) NV Annahm st hkl und sllt abglhnt wrdn Ausrßrntfrnung würd Passung vrbssrn, abr d Art dr Abwchung dutt auf n systmatsch Transfrmatn dr Quantl

13 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Bx-Cx- Pwr- Quantls-Transfrmatn zur NV Unsystmatsch Ausrßr slltn ntfrnt wrdn. B systmatschn Quantlsabwchungn könnn d Rhdatn nr Ptnztransfrmatn untrzgn wrdn, um n gut Apprxmatn an d NV zu rrchn. Paramtrschätzung für (m,s) dr NV snd übr d transfrmrtn Datn auszuführn. g x k Transfrmatn maxmrt nach k k x 1,,für k 0 k N l k ln var g x, k k 1 ln x D Pwr-Transfrmatn g(x) lfrt mt dm Wrt k aus dr Maxmrung vn l(k) d bst Annährung an d NV

14 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Optmal Ptnz- Transfrmatn bsrvd quantl (q) Datnbspl nchtlnar Abwchung Q-Q - Plt Maxmrungsfunktn l(k) N = xpctd quantl (q) l(k) Ptnztransfrmatn dr Orgnalskala: g x, k k 0 k k0 k l k max l k 0.35 k x 1 x 1 Ernutr Q-Q Tst k 0.35

15 Psychlg Tst dr NV-Annahm (unvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Datnbspl nchtlnar Abwchung Q-Q Plt rgnal Q-Q Plt nach Ptnztransfrmatn bsrvd quantl (q) =.877 r =.937 bsrvd quantl (q) =.986 r = xpctd quantl (q) xpctd quantl (q) Optmal Ptnz- Transfrmatn g x, k brchnn z- transfrmrn Q-Q plttn Ptnztransfrmatn brngt fast prfkt Passung dr NV rqq rcrt( a.1)

16 Psychlg Tst dr NV-Annahm (multvarat) Klassfkatn Data Clarng p-dmnsns Idntfkatn vn Ausrßrn Auch m multvaratn Fall snd Ausrßr n klnn Stchprbn ncht zuvrlässg bstmmbar, B N > 30 lgt man d Quantl dr multvaratn Nrmalvrtlung zugrund (c ) und lmnrt d Bbachtungn, dssn quadrrt Mahalanbs-Dstanzn jnsts dr äußrn Quantl lgn. Ds slltn ncht mhr als 7%-8% sn. 0.5 N0.5 1 p, 1,, N 1 p N N N c q c p p p p max max max p c [Excl-Bspl q-q-plt] Ausrßr: c p p max

17 Psychlg Tst dr NV-Annahm (multvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd multvarat r qq var Tst übr Quantlskrrlatn Nach Ausrßrbrngung wrdn dn Mßvktrn mprsch Quantl q zugrdnt übr d Rh dr Mßwrt srtrt nach Mahalanbsdstanz. Mt aus dn Datn gschätztn Paramtrn (m,s) wrdn für d lnarn Prznträng rwartt Quantl q aus dr c - Vrtlung bstmmt. Man trägt q (y-achs) und q (x-achs) ggnnandr ab. Prfkt Passung lgt vr, wnn d Datn auf dr Wnklhalbrndn lgn. Man bstmmt Antl dr aufgklärtn Varanz und Krrlatn. q q q var q cv, c p q q q p 1 1 q Für dn Tst ds Krrlatnskffzntn vrfährt man xakt w m unvaratn Fall.

18 Psychlg Tst dr NV-Annahm (multvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Krrlatns- Tst Datnbspl (p = 4 Varabln) q q q q r var q q q var q cv, bsrvd quantl (q) rqq rcrt( a.1) mt 3 Ausrßrn xpctd quantl (q) c p p N = 30 p = 4 NV Tst knapp m Annahmbrch, abr Ausrßr vrschlchtrn d Passung bträchtlch, auch n dn untrn Quantln D bdn größtn Ausrßr rfülln das Krtrum, abr dr 3. höchst Wrt st bnfalls suspkt (hhr Intrvallabstand)

19 Psychlg Tst dr NV-Annahm (multvarat) Klassfkatn Q-Q Plt Mthd Krrlatns- Tst Datnbspl (p = 4 Varabln) q q q q r var q q q var q cv, bsrvd quantl (q) rqq rcrt( a.1) hn 3 Ausrßr xpctd quantl (q) c p p N = 7 p = 4 NV Tst zgt nach Entfrnung dr höchstn 3 Wrt (ncht nur ) nun n gut Passung dr multvaratn NV

20 Psychlg Tst dr NV-Annahm (multvarat) Klassfkatn Ausrssr- Kntrll Allgmns zur Vrtlungskrrktur Ausrßrbrngung sllt mmr multvarat rflgn, da n Ausrssr n nr nzlnn Varabl nch ncht nn Ausrßr m Varablnvrbund dfnrt. Das Entfrnn xtrmr Bbachtungn ändrt d Krrlatnsmatrx, dahr könnn tratv Brngungn nötg wrdn. Transfrmatnn Skalntransfrmatnn Skalntransfrmatnn könnn nur unvarat rflgn. (Kn Mthd dfnrt n Transfrmatn für dn Varablnvrbund) Es st ratsam n unvarat Untrsuchung systmatschr Vrtlungsabwchungn nach dr multvaratn Ausrßrkntrll durchzuführn, und d nzlnn Varabln mt ggntn Ptnztransfrmatnn zu krrgrn. Snd d Randvrtlungn (unvarat) all nrmal, s wrd auch d multvarat Vrtlung nrmalvrtlt sn.

21 Psychlg Ausrssr n D Klassfkatn Ausrßr als Dstanz vm Zntrd unvarat & multv. x multvarat abr ncht unvarat Zntrd x 1 Ausrssr n D: nr unvarat & multvarat und nr multvarat

22 Psychlg Ausrßr als Dstanz vm Zntrd Ausrssr n D Klassfkatn Ausrssr n 4D: nr un+mult und zw multvarat un+multvarat multvarat D Z4 Z3 Z Z1 multvarat