Skriptum Konstruierbare Zahlen. Projekttage Mathematik 2007

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1 Skriptum Konstruierbare Zahlen Projekttage Mathematik 007 c Florian Stefan und Stefan Englert Würzburg, 007

2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal Gegeben sei eine Menge M von Punkten in der Zeichenebene Dann sein C(M) die Menge aller Kreise deren Mittelpunkt in M liegt und deren Radius dem Abstand zweier Punkte aus M entspricht Weiter sei S(M) die Menge aller Geraden, die durch zwei verschiedene Punkte aus M verlaufen Nun seien die Zahlen 0 und der reellen Zahlengerade gegeben Diese betrachten wir nun als Punktmenge M 0 der Zeichenebene Wir denieren uns nun rekursiv eine Folge (M n ) n N von Mengen: Aus M n (n N) gewinnen wird die Menge M n, indem wir die folgenden Operationen durchführen: Für je zwei verschiedenen Geraden aus S(M n ), die sich schneiden, bilden wir den Schnittpunkt Für je eine Gerade aus S(M n ) und einem Kreis aus C(M n ), die sich schneiden, bilden wir die Schnittpunkte Für je zwei verschiedenen Kreise aus C(M n ), die sich schneiden, bilden wir die Schnittpunkte Konstruierbare Zahlen Wir nennen eine Zahl auf der reellen Zahlengerade konstruierbar, wenn sie auf einem Kreis mit Mittelpunkt 0 liegt, der durch einen Punkt aus einer Menge M n verläuft Satz Eine Zahl ist genau dann konstruierbar, wenn sie als Term mit rationalen Zahlen, Summen, Produkten, Quotienten und Quadratwurzeln geschrieben werden kann Beweis: Wir zeigen zunächst, dass eine konstruierbare Zahl als Term mit rationalen Zahlen, Summen, Produkten und Quadratwurzeln geschrieben werden kann Dazu weisen wir nach, dass die Koordinaten aller Punkte aus jeder Menge M n Terme der geforderten Art sind Dies genügt, da die zu (x, y) gehörende Zahl entweder x + y oder + x + y ist Nun wenden wir eine vollständige Induktion über die Anzahl der Konstruktionsschritte an Für M 0 ist die Aussage klar Seien nun die Koordinaten aller Punkte aus M n der geforderten Art Um von M n auf M n zu gelangen, schneidet man Geraden s, s S(M n ) und Kreise c, c C(M n ) Dabei gilt: (x, y) s y = a x + b (x, y) s y = a x + b (x, y) c x + y + α x + β y + γ = 0 (x, y) c x + y + α x + β y + γ = 0

3 worin a, a, b, b, α, α, β, β, γ, γ Terme der geforderten Art sind und a a sowie α α oder β β gilt Letzteres gilt, da sonst keine Schnittpunkte existieren ( x, ȳ) s und ( x, ȳ) s Man erhält a x + b = a x + b und daraus x = (b b )/(a a ) Wegen ȳ = a x + b folgt die Behauptung ( x, ȳ) s und ( x, ȳ) c Man erhält x + (a x + b ) + α x + β (a x + b ) + γ = 0 Da also x Lösung einer quadratischen Gleichung ist, in der nur Koezienten der geforderten Art auftreten, folgt die Behauptung mit ȳ = a x + b ( x, ȳ) c und ( x, ȳ) c Man erhält (α α ) x + (β β )ȳ + γ γ = 0 und etwa α α führt zu x = (γ γ +(β β )ȳ)/((α α )) Setzt man diesen Ausdruck in ( x, ȳ) c ein, so erhält man wieder eine quadratische Gleichung mit Koezienten der geforderten Art Insgesamt folgt die Behauptung Wir zeigen, dass man mit Zirkel und Lineal alle natürlichen Zahlen konstruieren kann Dann geben wir Methoden an, um aus bereits konstruierten Zahlen deren Summe, Dierenz, Produkt, Quotient und Quadratwurzeln zu konstruieren Da die Zahlen 0 und gegeben sind, ist die Konstruktion jeder natürlichen Zahl trivial Summen und Dierenzen von gegeben Zahlen sind ebenfalls triviale Konstruktionen Im Folgenden geben wir Konstruktionen für das Produkt, den Quotienten und die Quadratwurzel gegebener Zahlen an b >, x = a b (zentrische Streckung) b <, x = a b (zentrische Streckung)

4 Um a/b zu konstruieren, genügt es eine Konstruktion für /b anzugeben b >, x = b (zentrische Streckung) b <, x = b (zentrische Streckung) x = a (Thaleskreis) Unmöglichkeitsbeweise Satz ist keine rationale Zahl Beweis: Angenommen es ist = m/n mit m Z und n N, wobei m und n ohne Einschränkung teilerfremd sind Dann gilt n = m Da eine Primzahl ist, erhält man, dass ein Teiler von m ist Es gilt also m = l und daher n = l, dh ist auch ein Teiler von n Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass m und n teilerfremd sind Im Folgenden betrachten wir die Mengen K n Diese seien deniert durch K 0 = Q und K n = {a + b w : a, b, w K n, w > 0, w / K n } Satz Die Mengen K n sind abgeschlossen gegen Summen-, Dierenzen-, Produktund Quotientenbildung

5 Beweis: Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion Die Behauptung ist für K 0 klar Sei die Aussage für K n wahr Dann folgt (a + b w) + (c + d w) = (a + c) + (b + d) w (a + b w) (c + d w) = (ac + bdw) + (ad + bc) w (a + b w) (c + d w) = (a c) + (b d) w a+b w c+d w = (a+b w)(c d w) = (ac bdw)+(bc ad) w = ac bdw c +d w c +d w c +d w + bc ad c +d w w und die Induktionsannahme liefert aus a, b, c, d K n die Behauptung für K n+ Der zweite Abschnitt besagt, dass es für jede konstruierbare Zahl z eine Menge K n mit z K n gibt Für jede konstruierbare Zahl z / Q existiert insbesondere ein n mit z / K n und z K n Satz ist nicht konstruierbar Beweis: Wir nehmen an, dass konstruierbar ist Wegen gibt es eine Folge (K n ) mit / K n und K n Es ist = a+b w mit a, b, w K n und w / K n Dann folgt (a + b w) = a + a b w + ab w + b w w = c + d w (a b w) = a a b w + ab w b w w = c d w mit c = a + ab w K n und d = a b + b w K n Wegen a+b w = folgt c+d w = 0 Die Annahme d 0 liefert w = c/d K n ein Widerspruch Daher gilt d = 0 und damit auch c = 0 Es folgt (a b w) = c d w = 0 Die Annahme a b w = a + b w liefert b w = 0 und damit b = 0 Dies bedeutet aber Kn, ein Widerspruch Daher sind a b w und a + b w verschiedene Nullstellen der Gleichung x = 0 Die Gleichung x = 0 ist äquivalent zu (x ) (x + x+ ) = 0 Da a b w gilt, ist a b w eine Nullstelle von x + x + Dies kann aber nicht sein, denn es ist x + x + = ( x + ) + > 0 (für x R) Quasikonstruktionen Satz ist mit Hilfe einer Parabel konstruierbar Beweis: 5

6 Man konstruiert einen Kreis mit Mittelpunkt (, /), der duch 0 geht Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Parabel genügen den Gleichungen y = x und (x ) +(y /) = 5/ Es gilt also x x + + x x + / = 5/ und daher x = x Folglich besitzen die Schnittpunkte die Koordinaten (0, 0) und (, ) 5 Abzählbarkeit Eine Menge heiÿt abzählbar, wenn sie endlich ist oder zwischen ihr un den natürlichen Zahlen eine Bijektion besteht Satz 5 Die Mengen Z und Q sind abzählbar Beweis: Wir denieren ϕ : N Z durch ϕ() = 0, ϕ() =, ϕ() =, ϕ() =, ϕ(5) =, und ψ : N Q durch folgendes Schema m n sowie die Hinzunahme der Null und dem analogen Schema für negative Zahlen, wobei man bereits gezählte Elemente aus Q auslässt 6

7 Satz 5 Die Menge R ist nicht abzählbar Beweis: Wir zeigen, dass die Menge [0, ] R nicht abzählbar ist Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutige Dezimaldarstellung Die Annahme, dass [0, ] abzählbar ist, liefert, dass die Folge 0, a a a 0, a a a 0, a a a usw mit a ij {0,,, 9} alle Zahlen aus [0, ] ausschöpft Die Zahl 0, b b b mit b i a ii ist aus [0, ], aber nicht Teil der Folge ein Widerspruch Satz 5 Keine Quasikonstruktion erzeugt R Beweis: Man gebe sich die Menge {0, } und endlich viele geometrische Objektklassen, die durch endlich viele Punkte bestimmt sind, vor Die Folge (M n ), wobei M 0 = {0, } ist und M n aus M n hervorgeht, indem man die Schnittpunkte der durch M n denierten Objekte aus obigen Klassen bildet, besteht aus endlichen Mengen Die Vereinigung M n ist daher abzählbar und somit nicht mit R identisch 7

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