Eine Einführung in R: Varianzanalyse

Transkript

1 Eine Einführung in R: Varianzanalyse Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig 13. Januar 2009 Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 1/14

2 I. Varianzanalyse: Theorie Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 2/14

3 I. Varianzanalyse: Theorie Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 3/14

4 Beispiel: toycar Fragestellung: Fahren die drei Autotypen unterschiedlich weit? Oder wie untersucht man die Nullhypothese: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3? Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 4/14

5 Varianzanalyse Daten: Gegeben ist eine metrische (normalverteilte) Zielgröÿe Y und mindestens (p 1) Faktorstufen, die jeweils mehrere Gruppen (k 2) umfassen. Insgesamt sind n n k = n Beobachtungen gegeben p = 1: Einfaktorielle Varianzanalyse p = 1 und k = 2: t-test p > 1: Mehrfaktorielle Varianzanalyse Frage: Unterscheiden sich die Erwartungswert der metrischen Zufallsvariable in den Gruppen? Oder: Ist die Varianz zwischen den Gruppen gröÿer als in den Gruppen? Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 5/14

6 Das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse p = 1 Spezialfall k = 2: t-test Das Modell für j = 1,.., k Gruppen und i = 1,..., n j Beobachtungen in Gruppe j: Y ji = µ j + ɛ ji Voraussetzungen: 1. ɛ ji N(0, σ) 2. ɛ ji ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 3. identischer Varianz σ 2 H 0 : µ 1 =... = µ k Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 6/14

7 Streuungszerlegung ANOVA: ANalysis Of VAriances SQT = n (y i ȳ) 2 = i=1 n k j (y ij ȳ j ) 2 + j=1 i=1 } {{ } SQR k n j (ȳ j ȳ) 2 j=1 } {{ } SQE Für die Streuungszerlegung werden folgende Gröÿen berechnet: SQT: Sum of Squares Total, die Gesamtstreuung (Var(Y )) SQR: Sum of Squares Residuals, Streuung in den Gruppen SQE: Sum of Squares Explained, Streuung zwischen den Gruppen Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 7/14

8 Der F -Test H 0 : µ 1 =... = µ k Aus der Streuungszerlegung wird verwendet: Streuung df Mittlerer Quadr. Fehler zwischen den Gruppen k-1 SQE/(k-1) in den Gruppen n-k SQR/(n-k) Die Prüfgröÿe F berechnet sich aus: F = MQE/MQR = SQE k 1 / SQR n k F ist F -verteilt mit (k 1, n k) Freiheitsgraden Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 8/14

9 Mehrfaktorielle Varianzanalyse p > 1 Natürlich können mehrere Faktoren und Wechselwirkungen zwischen Faktoren berücksichtigt werden Die Formeldarstellung kann dabei sehr leicht sehr kompliziert werden Wichtig in der Praxis ist dabei, dass jede der einzelnen Unterkategorien eine ausreichende Stichprobengröÿe besitzt Es gibt F -Tests für alle Faktoren und deren Wechselwirkungen Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 9/14

10 Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 10/14

11 Beispiel: toycar-daten Berechnung des linearen Modells lm.car: lm.car <- lm(distance car) R-Befehl zur Varianzanalyse: anova(lm.car) Output: Analysis of Variance Table Response: distance Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) car Residuals Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 11/14

12 Beispieldaten: Taste Untersuchung von zwei verschiedenen Einussfaktoren auf den Geschmack eines Nahrungsmittels: SCORE: Geschmackspunktzahl LIQ: Flüssigkeitskomponente: hohe (1) oder niedrige (0) Konzentration SCR: Textur des Nahrungsmittels: rauh (0) oder fein (1)) Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 12/14

13 Beispiel für 2-faktorielle Varianzanalyse: Taste-Daten Berechnung des linearen Modells taste: taste <- lm(score LIQ * SCR) R-Befehl zur Varianzanalyse: anova(taste) Output: Analysis of Variance Table Response: SCORE Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) LIQ SCR *** LIQ:SCR Residuals Nur der Eekt von SCR ist signikant von 0 verschieden Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 13/14

14 Beispiel - Schätzung der Eektgröÿen / Koezienten Schätzer der Eektgröÿen des Modells taste: summary(taste) Output wie im linearen Modell: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) LIQ SCR LIQ1:SCR Bernd Klaus, Verena Zuber Das Lineare Modell 14/14