Magnetohydrodynamik. Ivan Kostyuk Universität Heidelberg

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1 Magnetohydrodynamik Ivan Kostyuk Universität Heidelberg

2 Inhalt 1. Ladungen in Elektromagnetischen Feldern 1.1 E B Drift 1.2 Ladungen in inhomogenen magnetischen Feldern 1.3 Magnetische Flasche 2. Magnetohydrodynamik 2.1 Magnetische Reynoldzahl 2.2 MHD Gleichungen 2.3 Flux Freezing 2.4 Energiezunahme durch Dehnung der Feldlinien 3. Anwendungen 3.1 Neutronensterne 3.2 Sonnenwinde 3.3 Sonnenflecken

3 Ladung im homogenen Magnetfeld In einem homogenen magnetischen Feld wirkt auf eine bewegte Ladung die Lorentzkraft: F = q c ( v B) Dadurch führt die Ladung eine kreisförmige Bewegung aus mit der Frequenz: ω = qb mc Der Radius ist dann: ρ = v ω Die Ladung bewegt sich im Durchschnitt mit v entlang der Feldlinie

4 E B Drift In einem elektromagnetischen Feld existieren zwei Lorenzinvarianten: E B und B 2 E 2 Man betrachte ein Feld in dem gilt E B = 0 In einem solchen Feld kann ein Bezugssystem gefunden werden indem: E = 0 wenn E < B oder B = 0 wenn E > B Wir betrachten nun die Bewegung einer Ladung senkrecht zu einem E und einem dazu orthogonalen B Feld mit E < B

5 E B Drift Transformiere die Felder in ein Bezugssystem mit E Geschwindigkeit v D = c B B 2 Bewegungsgleichung im transformierten Bezugssystem: d p dt = q( E + v D B c ) E = γ( E + v c B) = 0 und B = 1 γ B Die Ladung befindet sich auch einer stabilen Bahn mit Driftgeschwindigkeit v D Dies macht nur Sinn wenn v D < c ist

6 Ladung im inhomogenen magnetischen Feld Im homogenen magnetischen Feld bewegt sich eine Ladung auf einer Kreisbahn mit dem Radius: ρ = v ω mit ω = qb mc Betrachte magnetisches Feld mit kleinem Gradienten B senkrecht zum magnetischen Feld Der Radius ist antiproportional zu B ρ wird kleiner, wenn B größer wird Wir erhalten einen Drift ähnlich wie im E B Feld welcher orthogonal zu B und B Die Driftgeschwindigkeit beträgt dann v = v 2 B 2ω B

7 magnetische Flasche Betrachte nun ein magnetisches Feld, welches sich in Richtung der Feldlinien ändert Auf Grund der Rotationsbewegung der Ladung entsteht ein magnetisches Momemt µ = mv 2 2B B und µ sind parallel zueinander Es wirkt eine Kraft F = µ B auf die Ladung, welche diese vom stärkeren Feld abstößt Magnetisches Moment und Energie bleiben erhalten Die Ladung kann reflektiert werden B > 0 an zwei Enden des Systems Ladung wird gefangen

8 magnetische Reynoldzahl Das Verhältnis von Advektion zur Diffussion zu beschreiben verwendet man die magnetische Reynoldzahl: R M = 4πvL ηc = meνc n ee 2 Für Diffusionskonstante gilt η 1 σ 0 In der MHD betrachten wir Systeme für die gilt R M D.h. Diffusion bzw. Widerstand wird vernachlässigt

9 MHD Gleichungen: Maxwellgleichungen Maxwellgleichungen Durchflutungsgesetz: B = 4π c j + ( 1 c Induktionsgesetz E = 1 c Gauß sches Gesetz: E = 4πρ B t Fehlen magnetischer Monopole: B = 0 E t )

10 MHD Gleichungen: Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung: ρ t = ρ v Folgt direkt aus der Massenerhaltung: ρ V t dv = V ρ vd A Satz von Gauß: ρ V t dv = V ρ vdv Gilt V ρ t = ρ v Produktregel: ρ t = ( ρ) v ρ( v)

11 MHD Gleichungen: Eulergleichung Für ideale Fluide gilt die Eulergleichung: ρ d v dt = p + f Für die totale Ableitung gilt die Produktregel: + g( x, t) x d g( x,t) dt = g( x,t) t Daraus folgt: d v dt = v t + ( v ) v Die zusätlichen Kräfte sind in unserem Fall die Lorenzkraft und die Gravitationskraft: f = 1 c j B + q E + ρ g Somit gilt für die MHD die Bewegungsgleichung: ρ v t + ρ( v ) v = j B c + qe p + ρ g

12 MHD Gleichungen: Zustandsgleichung Im MHD-System findet senkrecht zum Plasmafluss nur geringer Energieaustausch statt Der Energiefluss parallel zum Fluss ist sehr rapide Die Entropie bleibt erhalten: ds dt = d dt (C V ln( p ρ )) = 0 γ ρ C γ d V p dt ( p ρ ) = 0 γ d dt ( p ρ ) = 0 γ

13 Sonnenkorona

14 MHD Gleichungen: ohmsches Gesetz Ohmsches Gesetz in Schaltkreisen: U = RI Verallgemeitertes ohm sches Gesetz im System des Plasmas: E = η j Verwende Lorenztransformation um ins Laborsystem zu wechseln: E = E + v B c Bilde Rotation: E + v B c = η j Verwende Induktionsgesetz: E = 1 c B t = ( v B) c (η j) Nach Annahme ist die R M groß η klein B t = ( v B) B t

15 MHD Gleichungen (Zusammenfassung) Kontinuitätsgleichung: ρ t = ρ v Bewegungsgleichung: ρ v t + ρ( v ) v = j B p + ρ g Zustandsgleichung: d dt ( p ρ ) = 0 γ Induktionsgleichung: B t = ( v B) Ampèr sches Gesetz: B = 4π j

16 Flux Freezing Der magnetische Fluss Φ(t) = S(t) B( r, t)d A bleibt im Rahmen eines MHD Systems erhalten. Grund: magnetische Feldlinien werden durch das Plasma stabilisiert oder das Plasma steuert die Feldlinien Feldlinien sind geschlossen Topologie bleibt erhalten Große Mengen an Energie können gespeichert werden

17 Verstärkung des Feldes durch Dehnung der Feldlinien Bei einer Dehnung von l auf l gilt: 1. Fluss bleibt erhalten: B A = B A 2. Masse bleibt erhalten: ρ Al = ρ A l B = B( ρ l ρ )( l )

18 Neutronensterne Es gilt: B = B( ρ l ρ )( l ) Ein Stern kollabiert: ρ ρ l l 3 B ( l l ) 2 Magnetfelder von Neutronensternen können bis Gauss erreichen

19 Sonnenwinde

20 Aurora

21 Sonnenflecken

22 Sonnenflecken

23 Sonneneruption

24 Informationsquellen Jackson, John David, and John D. Jackson. Classical electrodynamics. Vol. 3. New York etc.: Wiley, Kulsrud, Russell M. Plasma physics for astrophysics. Vol. 77. Princeton: Princeton University Press, G. Wolschin, Hydrodynamik Skript Gurnett, Donald A., and Amitava Bhattacharjee. Introduction to plasma physics: with space and laboratory applications. Cambridge university press, 2005.

25 Bildquellen LECTURES/LECTURE6/ucar_sunspot_formation_small.jpg _ m1flare- orig_full.jpg