Leistungsanpassung mit Anpassgeräten

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1 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 1 von 7 Leistungsanpassung mit Anpassgeräten Ein funktechnisches Anpassgerät sorgt für eine möglichst verlustarme Abstrahlung elektromagnetischer Wellen über eine Antenne. Um die Funktion eines Anpassgeräts zu beschreiben, wurde nachstehend auf die theoretischen Grundlagen der Wechselstromtechnik zurückgegriffen, wie sie beispielsweise in [1] Lunze, K.: Theorie der Wechselstromschaltungen, Lehrbuch. 2. Aufl. VEB Verlag Technik Berlin, 1977, und [2] Reusch; Hoschke; Scholz: Lehrbuch elektrischer Systeme, Bd. 1, Verfahren zur Analyse und Beschreibung. VEB Verlag Technik Berlin, 1971, dargestellt sind. Ein Sender ist eine Zusammenschaltung mindestens einer realen Spannungs- oder Stromquelle und einer Vielzahl von realen Verbrauchern. Reale Quellen und Verbraucher besitzen ein nichtlineares Verhalten. Die U-I-Kennlinie einer nichtlinearen Quelle ist gekrümmt. Der Innenwiderstand der nichtlinearen Quelle ist abhängig von der Belastung. Die Verbraucher können die Eigenschaften eines ohmschen, kapazitiven oder induktiven Schaltelements aufweisen. Die Eigenschaften der nichtlinearen Verbraucher hängen von den Betriebsbedingungen, wie Temperatur, magnetische Induktion oder elektrische Feldstärke, ab. Die U-I- Kennlinie eines nichtlinearen Verbrauchers ist gekrümmt. Für die Beschreibung der Funktion eines Anpassgeräts werden folgende vereinfachende Annahmen getroffen: - Alle Quellen und Verbraucher befinden sich in einem Betriebszustand, in dem ein linearer U-I-Zusammenhang besteht, d.h., die Innenwiderstände der Quellen und die Widerstände der Schaltelemente der Verbraucher sind zeitlich konstant. - Die Zusammenschaltung befindet sich in einem eingeschwungenen, quasistationären Zustand. Ein typischer Amateurfunksender besteht aus den in Abbildung 1 (Anhang) dargestellten Blöcken. Wenn man die Zusammenschaltung der Blöcke an den Punkten A, B auftrennt, hält man zwei Schaltungsteile mit je zwei Anschlusspunkten. Den eine Quelle enthaltenden Schaltungsteil nennt man aktiven Zweipol. Der zweite Schaltungsteil, dem das Anpassgerät zugeordnet ist, enthält keine Quelle- er wird passiver Zweipol genannt. Die Auftrennung der Zusammenschaltung an den Punkten A, B ist zweckmäßig, weil Anpassgeräte häufig räumlich separat neben einem Sendegerät betrieben werden. Das den aktiven Zweipol verkörpernde Sendegerät liefert an einer i.d.r. koaxialen Ausgangsbuchse an den Klemmen A, B eine hochfrequente sinusförmige Wechselspannung mit einem definierten Innenwiderstand von z.b. 50 Ω. Alle Elemente der Zweipole können zu Ersatzelementen zusammengefasst werden. Es ergibt sich ein aktiver Ersatzzweipol mit einer Urspannung e und einem Ersatzinnenwiderstand Z i des Sendegeräts. Die Urspannung e und der Ersatzinnenwiderstand Z i sind jeweils mit einem unterstrichenen Buchstaben als komplexe Größen gekennzeichnet. Die im passiven Zweipol vorhanden Widerstände des SWR-Indikators, des Anpassgeräts, der Antennenleitung und der Antenne zeigen eine Gesamtwirkung eines komplexen Ersatzarbeitswiderstands Z a. Das Anpassgerät enthält einstellbare Kapazitäten und/oder Induktivitäten und/oder Hochfrequenzübertrager mit einstellbarer magnetischer Kopplung, so dass Za veränderlich ist. Zum Verändern von Z a dienen Drehkondensatoren, Rollspulen oder Kugelvariometer hoher Güte. Ein gutes Anpassgerät hat geringe Eigenverluste und erlaubt eine große Veränderung von Z a.

2 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 2 von 7 Die komplexen Größen wurden eingeführt, um den Rechenaufwand zu mindern. Die komplexen Größen für den Strom i und die Spannungen e, u können als mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umlaufende Zeiger gesehen werden, deren Projektion in einem Koordinatensystem über die Zeit jeweils eine Sinusfunktion ergibt. Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude, die Winkelgeschwindigkeit der Frequenz und die Lage des Zeigers zu der Zeit t = 0 dem Nullphasenwinkel der Sinusfunktion. Die komplexen Größen für die Widerstände Z i und Z a sind dementsprechend ruhende Zeiger. Legt man einen Zeiger A in eine Gaußsche Zahlenebene, dann ergibt sich ein Zeiger mit einer reellen Komponente A 1 und einer imaginären Komponente ja 2 : A = A 1 + ja 2. (1) Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich der Betrag des Zeigers A: A = A =. (2) Besitzt A zur reellen Achse die Neigung a, dann ergeben sich durch Anwenden der Winkelfunktionen die Komponenten zu: A 1 = A cos a, (3.1) A 2 = A sin a (3.2) (3.1, 3.2) eingesetzt in (1) führt zu: A = A (cos a + j sin a). (4) Gemäß der Eulerschen Formel gilt: cos a + j sin a = e ja, (5) so dass sich aus (4) ergibt: A = A 1 + ja 2 = A e ja. (6) Die zu A konjugiert komplexe Größe A * hat den gleichen Realteil und einen Imaginärteil mit entgegengesetztem Vorzeichen: A * = A 1 - ja 2 = A e -ja. A * ist zu A an der reellen Achse gespiegelt. Eine Multiplikation einer komplexen Größe mit ihrer konjugiert komplexen Größe ergibt eine reelle Größe: A A * = A e ja A e -ja = A 2 e j(a-a) = A 2 e j(0) = A 2 e 0 = A 2. (7) Mit der komplexen Schreibweise können Sinusfunktionen vorteilhaft addiert, subtrahiert, integriert und differenziert werden. Multiplikation und Quotientenbildung sind im komplexen Bereich nicht gestattet.

3 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 3 von 7 Mit diesen mathematischen Grundlagen, kann man ausrechnen, wie mit einem Anpassgerät die Impedanz Z a des passiven Zweipols eingestellt werden muss, so dass ausgehend vom aktiven Zweipol eine maximale Wirkleistung P a zum passiven Zweipol übertragen wird. Die Wirkleistung P a ist der Leistungsanteil, den der passive Zweipol im Mittel aufnimmt und an die Umgebung abgibt. Die Blindleistung Q a ist der Anteil, der durch zeitweilige Energiespeicherung zwischen aktiven und passiven Zweipol hin- und herpendelt. Die komplexe Scheinleistung S a an Z a ist wie folgt definiert: S a = U a I *. (8) U a, I * sind komplexe Effektivwerte. In Exponentialform ergibt sich: S a = U a I * = U a I = U a I = U a I = S a. Nach der Eulerschen Formel (cos f + j sin f = e jf ) gilt: S a = S a cos f + js a sin f = U a I cos f + ju a I sin f = P a + jq a. Die interessierende Wirkleistung P a entspricht dem Realteil von S a : P a = Re(S a ). Weil nach dem Ohmschen Gesetz U a = Z a I gilt, wird aus (8): S a = U a I * = I 2 Z a (9) Die Impedanz Z a wird definiert als: Z a = = = = = = =. (10) Durch Herauskürzen vom jwt ist Z a eine zeitunabhängige Größe. Nach der Eulerschen Formel (U a cos f + j U a sin f = U a e jf ) wird aus (10): Z a = + j = R a + jx a. (11) R a ist der Ohmsche Widerstand (Resistanz). X a bezeichnet man als Blindwiderstand (Reaktanz). Analoges gilt für Z i : Z i = R i + jx i. (12) Zusammengeschaltet bilden aktiver und passiver Zweipol einen Grundstromkreis. Der Grundstromkreis besteht aus einer Reihenschaltung der Urspannungsquelle e und der Widerstände Z i, Z a. Getrieben durch die Urspannung e fließt im Grundstromkreis ein Strom I, der an den Widerständen Z i, Z a die Spannungsabfälle U i = IZ i und U a = IZ a erzeugt. Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz ( Maschensatz ) ist die von der Spannungsquelle E = U l gelieferte Energie gleich der Summe der in den Widerständen Z i, Z a umgesetzten Teilenergien. Es gilt: U l = U i + U a oder: U l = IZ i + IZ a = I (Z i + Z a ). Damit folgt für den Strom im Grundstromkreis: I = = (13)

4 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 4 von 7 bzw. konjugiert komplex: I * =. (14) Weil I 2 = I I * gilt, wird aus (9) mit (11), (13), (14): S a = I 2 Z a = Z a. (15) In Gleichung (15) stehen im Zähler und im Nenner des Bruches jeweils Produkte aus einer komplexen Größe und deren konjugiert komplexen Größe. Wenn in (15) für Z a = R a + jx a eingesetzt und der Nenner ausmultipliziert wird ergibt sich: S a =, wobei mit j*j = -1 folgt: S a = = + j. (16) Aus (16) kann der Realteil direkt abgelesen werden: P a = Re(S a ) =. Wenn U l 2 und R i als konstant gegeben sind, ist P a eine Funktion f von R a und X a : P a = f(r a,x a ) =. (17) P a wird maximal, wenn der Nenner der Gleichung (17) minimal wird. Der zweite Summand in der eckigen Klammer verschwindet, wenn X a = -X i ist. Aus (17) wird: P a = f(r a ) = =. (18) P a wird maximal, wenn der Nenner der Gleichung (18) minimal wird. Das ist mit R i = R a erfüllt: P a,max = f(r i ) = = =. (19) Die vom aktiven Zweipol bereitgestellte Leistung ergibt sich aus: P = U l I = Bei R i = R a wird: P max = f(r i ) =. (20). (21) Der Wirkungsgrad η berechnet sich nach: η =, 0,5. D.h. selbst bei maximaler Leistungsabgabe des aktiven Zweipols ist der Wirkungsgrad nur 50 %.

5 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 5 von 7 Die maximale Wirkleistung P a,max, die über Z a an die Umgebung abgegeben wird, kann auch mit den Mitteln der Differentialrechnung bestimmt werden. Eine Funktion P a = f(r a,x a ) besitzt dort ein Maximum, wo die 1. Ableitung eine Nullstelle hat: 0 (22) 0 (23) P a = f(r a,x a ) ist ein Produkt aus einer Konstanten und einer Funktion. Nach der Konstantenregel gilt: Die Ableitung ist Null, wenn 0 ist. ist ein Bruch mit einer Funktion 1 im Zähler und einer Funktion im Nenner. Hier gilt die Quotientenregel: Weil 1 wird: Die Ableitung ist Null, wenn der Zähler 0 ist: 0 (24) 0 (25) Um diese Ableitungen (24) und (25) zu bilden, kann man die Produktregel anwenden: Mit 1/ und als der Faktor in der eckigen Klammer wird aus (24): 1 2 2( (26)

6 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 6 von 7 Die Produktregel auf (25) angewendet führt zu: (27) Aus (27) folgt:. Das bedeutet, dass bei Leistungsanpassung die Blindwiderstände, gleiche Beträge aber entgegengesetztes Vorzeichen aufweisen müssen, so dass sie sich gegenseitig aufheben. Wirkt z.b. der Innenwiderstand induktiv, dann muss der Blindwiderstand kapazitiv wirken. Wenn in (26) gesetzt wird, ergibt sich: oder oder oder Um grafisch darzustellen, bei welchem Widerstandsverhältnis die maximale Leistung P a,max an abgegeben wird kann Gl. (18) wie folgt umgeformt werden: P a = Für wird eingesetzt und umgeformt: Weil 4 nach Gl. (19) P a,max entspricht, folgt: 4, 1 Die Leistung am Innenwiderstand der Spannungsquelle errechnet sich nach: Für wird eingesetzt und umgeformt: Weil 4 nach Gl. (19) P a,max entspricht, folgt: 4,

7 Arbeitsblatt Amateurfunk: Leistungsanpassung Seite 7 von 7 4 Leistung P/P a,max 3 f 2 (x) = P i /P a,max 2 1 f 1 (x) = P a /P a,max Ra/Ri

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