Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung

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1 INSTITUT FÜR THEORETISCHE NACHRICHTENTECHNIK UND INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel: Formelsammlung (wird gestellt), Taschenrechner (nicht programmiert) eine DIN A4-Seite mit beliebigem Text oder Formeln (beidseitig) Anzahl der Blätter: 5 (einschließlich Deckblatt) Name: Matrikelnummer: Aufgabe 3 4 Summe Punkte Bewertung: Es können nur Ergebnisse und Aufgabenteile berücksichtigt werden, die nachvollziehbar bzw. begründet sind. Jedes abzugebende Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu kennzeichnen. Bitte nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben!

2 Aufgabe : (8 Punkte) Gegeben sei die Antwort y(n) {0,, + α, + }{{} αa, + }{{} αa,..., + }{{} αa n,...} }{{} a a a 3 a n+ eines rekursiven, linearen, zeitdiskreten und zeitinvarianten reellen Systems h(n) auf die Einheits-Sprungfolge { : n 0 u(n) 0 : sonst a) Geben Sie die Impulsantwort h(n) des Systems an. Nutzen Sie dazu die Linearität des Systems aus. Zeichnen Sie weiterhin einen Signalflußgraphen des Systems. (5) b) Unter welcher Bedingung für α ist das System stabil? (5) c) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(z) Z{h(n)}. () Im Folgenden gelte H(z) angeregt. z. Das System wird mit einem Eingangssignal z x(n) { βn : n 0 0 : sonst d) Berechnen Sie X(z) und das Ausgangssignal Y (z). (4) e) Berechnen Sie das zu Y (z) gehörige Zeitbereichssignal y(n). (7) f) Bei dem Eingangssignal x(n) handelt es sich um eine Folge unbegrenzter Länge. Trotzdem kann y(n) x(n) h(n) alternativ zur Z-Transformation nicht mit Hilfe der DFT und dem Overlap-Add-Verfahren oder Select-Saving verfahren berechnet werden. Begründen Sie dies. (3) g) Wie muß h(n) in ein ĥ(n) überführt werden, damit eine ungefähre Berechnung von y(n) mit der DFT statt mit der Z-Transformation möglich ist? Begründen Sie Ihre Antwort. ()

3 Aufgabe : (9Punkte) x(n) a b c y(n) Ein diskretes System werde durch obigen Signalflußgraphen beschrieben. Dabei gelte: a, b <, c < ; a, b, c R. a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) Y (z) des Systems. (7) X(z) b) Zeichnen Sie einen vereinfachten Signalflußgraphen von H(z) in der direkten Form I. Welchen Nachteil hat die direkte Form I gegenüber der direkten Form II? (4) Im Folgenden gelte H(z) (b c) z +z+a. z (z b)(z c) c) Geben Sie die Pole und Nullstellen in der Form Realteil +j Imaginärteil an. (6) d) Welche Bedingungen müßen a, b und c erfüllen, damit sowohl das System H(z) als auch das inverse System H (z) stabil sind? Wie nennt man solche Systeme? (5) Im Folgen wird die Wortlänge von a, b, c auf 3 Bit begrenzt. Im übrigen arbeitet das System mit unendlicher Wortlänge. Für die Zahlendarstellung von a, b, c wird Sign and Magnitude gewählt, mit n n 0 (n + n ) n 0 {, } Vorzeichen; n, n 0, ; n {a, b, c}. e) Welche Werte können a, b und c annehmen? () f) Welche Werte sind für a, b und c nach Aufgabenteil d) zulässig? () g) Skizzieren Sie ein Pol-Nullstellen-Diagramm für a, b, c. (3) 3

4 Aufgabe 3: (0 Punkte) Das zeitkontinuierliche Signal x(t) soll abgetastet werden: x(t) cos(ω t) + cos(ω t) mit Ω π 4 khz, Ω π 8 khz, Die Folge x(n) wird durch Abtastung von x(t) mit der Abtastrate f s 0 khz gewonnen: x(n) cos(ω n) + cos(ω n) a) Bestimmen Sie ω und ω. () Verwenden Sie im Folgenden ω 3π 5 ; ω 8π 5 b) Berechnen Sie die Diskrete Fourier-Transformierte X(k) DFT N {x(n)} von x(n) mit N 0. Skizzieren Sie X(k) getrennt nach Real- und Imaginärteil für k 0,,,..., 9. Hinweis: DFT N {} Nδ(k) (0) Die Folge x(n) wird mit dem idealen Tiefpass mit der Grenzfrequenz ω g π gefiltert. Der Tiefpass besitzt den folgenden Betragsfrequenzgang H(e jω ) mit H(e jω ) H(e jω ): H(e jω ) π ω g ω g π ω c) Skizzieren Sie den Betrag der Diskreten Fourier-Transformierten H(k) mit einer DFT- Länge von N 0 für k 0,,,..., 9, der durch Abtastung von H(e jω ) gewonnen wird. (3) d) Das Signal y(n) x(n) h(n) wird durch Filterung mit dem idealen Tiefpass gewonnen. Geben Sie y(n) an. (3) e) Sie wollen die DFT mit einem schnellen Algorithmus realisieren. Würden Sie dann die Länge M 0 wählen? Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort, wenn nein, geben Sie eine Länge an, die zu einem minimalen Rechenaufwand führt. () 4

5 Aufgabe 4: (3 Punkte) Die Übertragungsfunktion H a (s) eines kontinuierlichen kausalen Systems sei H a (s) s a s + a mit a > 0 und a R a) Handelt es sich bei diesem System um einen Hochpaß, Tiefpaß, Bandpaß oder Allpaß? Begründen Sie Ihre Antwort. () Bestimmen Sie die Z-Übertragungsfunktion H(z) und die Impulsantwort h(n) eines äquivalenten diskreten Systems mit Hilfe b) der Bilineartransformation. (7) c) des Sprunginvarianzverfahrens, d.h. w(n) w a (nt ), wobei w(n) die Antwort des diskreten Systems auf die Sprungfolge u(n) und w a (t) die Antwort des kontinuierlichen Systems auf die Sprungfunktion u(t) ist. Hinweis: w a (t) L { s H a(s)} (e at ) u(t) (9) Es soll untersucht werden, ob sich die Transformationen derart durchführen lassen, daß auch das diskrete System H(z) die besonderen Eigenschaften des kontinuierlichen Systems nach Aufgabenteil a) aufweist. Stellen Sie hierfür Bedingungen der Pol-Nullstellenlagen auf. Für welche Werte von a bleiben die besonderen Eigenschaften des kontinuierlichen Systems erhalten, d) bei der Bilineartransformation? () e) bei dem Sprunginvarianzverfahren? Diskutieren Sie die Lösung hinsichtlich einer sinnvollen Realisierung. (3) 5

6 Aufgabe : Lösung Digitale Signalverarbeitung Frühj. 005 a) h(n) {0,, α, ( α),..., ( α)n,...} ( α)n u(n ) x(n) α y(n) b) Hinreichende Bedingung für Stabilität: Die Impulsantwort muß absolut summierbar sein! h(n) < n0 ( α)n ; geometrische Reihe! n0 α für α < Da es sich um ein reelles System handelt gilt bei Stabilität: α < ; α R c) H(z) Y (z) X(z) αz z α d) X(z) kann aus Korrespondenztafeln der Formelsammlung entnommen werden: X(z) Z{x(n)} ( β ) für z > β Y (z) X(z)H(z) ( β ) z z (z β) z

7 e) Partialbruchzerlegung: Y (z) A z β + B z ; A β β ; B ( β) β (β )(z β) + ( β)(z ) ( ) β (β ) z β (z ) ( ) βz (β ) βz ( z ) Das Problem ist invers zu Aufgabenteil c). y(n) ( β (n) u(n ) ) (n) u(n ) (β ) f) Bei den Verfahren zur Berechnung der Faltung mit Hilfe der DFT darf nur eine Folge unbegrenzte Länge haben. Die zweite Folge muß begrenzt sein. Die unbegrenzt lange Folge wird dann in Teilfolgen zerlegt und für diese werden entsprechende Teilfaltungen berechnet. Diese Teilfaltungen werden anschließend zu der Faltung einer unbegrenzt langen Folge mit einer begrenzt langen Folge zusammengesetzt. In dieser Aufgabe sind jedoch beide Folgen von unbegrenzter Länge (nicht nur das Eingangssignal x(n), sondern auch die Impulsantwort h(n)). Damit sind die Voraussetzungen für die Faltung mit Hilfe der DFT nicht erfüllt. g) Die unbegrenzt lange Impulsantwort h(n) kann mit Hilfe einer Fensterfunktion auf eine Funktion ĥ(n) endlicher Länge gekürzt werden.

8 Aufgabe : Lösung Digitale Signalverarbeitung Frühj. 005 a) Das System kann in Teile H (z) und H (z) zerlegt werden. b) H (z) + + az z (z + z + a) H (z) z + bz cz z b + z c (b c) z (b + c)z + bc H(z) z + z + a H (z) H (z) (b c) z (z (b + c)z + bc) az 4 + z 3 + z (b c) (b + c) + bcz x(n) b c y(n) b + c bc a Die Direkte Form I hat einen größeren Speicherbedarf als die Direkte Form II. c) Pole: Nullstellen: H(z) (b c) z + z + a z (z b)(z c) z ;, 0, z ; 3 b, z ; 4 c z 0;, ± 4 a a 4 : z 0;, ± j a 4 a < 4 : z 0;, ± 4 a 3

9 d) Damit H(z) stabil ist müßen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Die Pole von H(z) sind die Nullstellen von H(z). Damit auch H(z) stabil ist müßen auch die Nullstellen von H(z) im Einheitskreis liegen. Das bedeutet, sowohl alle Pole als auch alle Nullstellen liegen innerhalb des Einheitskreises. Solche Systeme werden minimalphasig genannt. z ;, 0, z ; 3 b und z ; 4 c müßen innerhalb des Einheitskreises liegen. Also gilt b < und c <. Für die Nullstellen gilt: a 4 : z 0;, 4 + (a 4 ) a < a < 4 : z 0;, 4 a < a > 0 0 < a < e) a, b, c {0, ± 4, ±, ±3 4 } f) b, c {0, ± 4, ±, ±3 4 } a { 4,, 3 4 } g) Im doppelt z-ebene : Pol : Nullstelle Re 4

10 Aufgabe 3: Lösung Digitale Signalverarbeitung Frühj. 005 a) f s 0kHz ω Ω f s ω Ω f s 5 π 9 5 π b) X(k) N n0 x(n) e j π N nk 9 (cos ω n + cos ω n)e n0 9 (e jωn + e jωn + e jωn + e jωn )e n0 9 (e j 3π 5 n + e j 3π 5 n + e j 8π 5 n + e j 8π 5 n )e n0 9 (e n0 DFT N {} Nδ(k) j3 π 0 n + e j3 π 0 n + e j8 π 0 n + e j8 π π j 0 nk π j 0 nk 0 n )e π j 0 nk π j 0 nk X(k) N (δ(k 3) + δ(k + 3) + δ(k 8) + δ(k + 8)) Re{X(k)} Im{X(k)} k k c) Abtastung des Frequenzgangs erfolgt alle ω k π N k π 5 k. H(k) k 5

11 d) Y (k) X(k) H(k) y(n) cos(π 0 n) cos( 5 πn) e) Ein rechentechnisch günstiger Algorithmus zur Berechnung der DFT ist die schnelle Fourier Transformation (FFT). Die FFT arbeitet mit einer Länge N M, hier also N

12 Aufgabe 4: Lösung Digitale Signalverarbeitung Frühj. 005 a) Das System ist ein Allpaß, da s 0 a s. b) s T H(z) z z + z T z T at + at h(n) at + at a z+ + a z at at z at z( z+ z + at + ) at at z z( + at ) + at z + at at at + at at z at + at + at at + at ( ) n at u(n) + ( at at + at at + at ) n u(n ) c) { w a (t) L s s a } { } L s + a s + a a s(s + a) [ e at ( e at ) ] u(t) (e at )u(t) w(n) (e ant )u(n) h(n) w(n) w(n ) (e ant )u(n) (e a(n )T )u(n ) e ant ( e at )u(n ) + δ(n) ( e ant u(n) e a(n )T u(n ) ) δ(n) H(z) z z e z + e at at z e at d) z 0 + at at z Allpaß für alle a. e) z 0 e at e at e at e at e at. z a 0 ist die triviale Lösung. T 0 bedeutet eine unendlich dichte Abtastung. Damit gibt es für kein a einen sinnvollen Allpaß. 7

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