Zusammengesetzte Beanspruchungen

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1 Zusammengeseze Beanspruchungen Lieraur Lesen Sie zu diesem Thema bie das Kapiel D 3 im Handbuch Maschinenbau. Übungsaufgaben finden Sie in der Aufgabensammlung TM (Böge) Nr.97 bis Nr.949 Allgemeines In der Praxis kommen neben den uner behandelen Grundbeanspruchungen auch zusammengeseze Beanspruchungen or. Von zusammengesezen Beanspruchungen sprich man, wenn mehrere Grundbeanspruchungsaren gleichzeiig aufreen. Dieser Umsand is in Baueilen of anzureffen, or allem wenn die Wirklinien äußerer Kräfe in einem beliebigen Winkel erlaufen oder außerhalb der Sabmie angreifen. Die hier zu behandelnden zusammengesezen Beanspruchungen einschließlich der zugehörigen Baueilauslegungen sezen sich aus folgenden Beanspruchungen zusammen: Zug und Biegung Druck und Biegung Biegung und Torsion Abscheren und Torsion Zu beachen is, dass bei zusammengesezen Beanspruchungen einzelne Belasungen of so gering sind, dass sie ernachlässig werden können. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

2 Zug bzw. Druck und Biegung Zug-, Druck- und Biegebelasungen erursachen Normalspannungen, die parallel erlaufen und rechwinklig zur Querschnisfläche des Sabes sehen. Für die Berechnung der Baueilfesigkei werden diese Normalspannungen im ersen Schri separa mi Hilfe der Haupgleichungen für Zug-, Druck- und Biegespannungen berechne. Im Anschluss werden sie zur Ermilung der Gesamspannung wie parallele Vekoren addier bzw. subrahier. Haupgleichungen: σ b Mb / W σ z F / A σ d F / A Die resulierende Normalspannung: σ res σ b ± σ z ± σ d Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

3 Aufgabenbeispiel: Mi einer Schraubzwinge wird eine Spannkraf on F 3000N aufgebrach. Für das innere Kräfesysem werden im Bereich des Bügels folgende Were ermiel: F N F 3000N und M b F 0,1m 360Nm Bei einem recheckigen Bügelquerschni on 30x8mm ergeben sich: A 8mm 30mm 40mm² W b h² / ² / 6 100mm³ Daraus errechnen sich folgende Spannungen: Zugspannung: σ z F N / A 3000N / 40mm² 1,5 N/mm² Biegespannung: σ b M b / W Nmm / 100mm³ 300N/mm² Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

4 Spannungsereilung Über den Querschni des Bügels berache ergib sich die folgende Spannungsereilung: (Darsellung der Spannung nich maßsäblich) Maximal aufreende Druckspannung: Maximal aufreende Zugspannung: σ res Druck σ bd - σ z 300N/mm² - 1,5N/mm² 87,5N/mm² σ res Zug σ bz + σ z 300N/mm² + 1,5N/mm² 31,5N/mm² Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

5 Aufgabe 1: Zug und Biegung Aufgabensellung: Ein im Boden erankeres Rohr räg die Las F 1 50kN. Zusäzlich süz sich ein seilicher Träger mi einer Kraf on F 6kN auf dem Rohrprofil ab. Es handel sich um ein nahloses Sahlrohr nach DIN448 mi dem Außendurchmesser D 114,3mm und 1mm Wandsärke. In welchem Querschni wird das Profil am särksen belase? Berechnen Sie die dor herrschende Normalspannung σ res, die sich aus der Druck- und der Biegespannung zusammensez. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

6 Aufgabe : Zug und Biegung Aufgabensellung: Der skizziere Winkelhebel soll für eine Kraf on F 1 3kN dimensionier werden. Als zulässige Biegespannung wird ein Wer on σ b 10 N/mm² orgegeben. Das Bauerhälnis b zu h soll in beiden Hebelarmen 1 zu 4 beragen. Berechnen Sie: Die Hebelkraf F Die Querschnismaße h und b uner der Annahme reiner Biegebeanspruchung. Die resulierende Normalspannung im gefährdeen Querschni des waagerech liegenden Hebelarms. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

7 Biegung und Torsion Werden Baueile wie beispielsweise Geriebewellen auf Torsion und auf Biegung beanspruch, reen zeigleich Normalspannungen (Biegespannungen) und Schubspannungen (Torsionsspannungen) auf. Normalspannungen sehen senkech auf der Querschnisfläche, Schubspannungen liegen im Querschni. Da der Werksoff auf beide Spannungsaren unerschiedliche reagier, is eine einfache Addiion dieser Spannungen nich möglich. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

8 Vergleichsspannung σ und Ansrengungserhälnis α 0 Da Normal- und Schubspannungen nich addier werden können, muss zur Ermilung der Gesambelasung eine Vergleichsspannung besimm werden. Die Vergleichsspannung is diejenige Spannung, die auf das Werksück in ewa die gleiche Belasung ausüb wie Normalund Schubspannungen zusammen. Dazu werden Normal- und Schubspannungen geomerisch addier und mi einem Korrekurfakor muliplizier. Bei zähen Werksoffen finde die Berechnung der Vergleichsspannung auf Basis der Gesaländerungshypohese sa. Versuchsergebnisse wurden mi den oben beschriebenen Annahmen erglichen und zu einer Gleichung weierenwickel. σ σ b + 3 ( α τ ) 0 σ bzul Der Fakor α 0 wird als Ansrengungserhälnis bezeichne und is abhängig on den Grenzfesigkeisweren des bereffenden Werksoffs. α 0 σ 1, 73 τ bgrenz Grenz Bei der für Wellen ypischen Werksoff und Belasungskonsellaion kann näherungsweise mi dem Wer α 0 0,7 gerechne werden, wenn die Fesigkeiswere nich bekann sind. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

9 Biegung und Torsion - Das Vergleichsmomen M Wirken in einem Baueil mehrere Normalspannungen, is deren Summe das Maß für die Auslegung der Abmessungen dieses Baueils. Anders bei Wellen, bei denen sich Biege- und Torsionsspannungen überlagern. Hier wird auf Basis des Biege- und des Torsionsmomens ein Vergleichsmomen besimm. Vergleichsmomen und der zulässige Spannungswer des erwendeen Werksoffs ergeben dann die Ausgangsdaen zur Ermilung des erforderlichen Wellendurchmessers. Zur Berechnung des Vergleichmomenes on Wellen läss sich die Gleichung für die Vergleichsspannung weier enwickeln. Dazu werden die Biege- und die Torsionshaupgleichung in die orhandene Gleichung eingesez: σ σ b + 3 ( α τ ) 0 σ bzul σ b M b W τ M W p M W σ M b M + 3 α 0 W 4W Das Ergebnis is die Gleichung für das Vergleichsmomen: M M + α b 0,75 ( 0 M ) Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

10 Biegung und Torsion - Der erforderliche Wellendurchmesser d erf Ausgehend on einem Kreis- bzw. Kreisringquerschni bei Wellen läss sich der erforderliche Durchmesser d erf für die Enwurfsberechnung on Wellen aus der Biegehaupgleichung ableien: Gleichung für Vollwellen: d erf 3 3 M π σ bzul 3 M Gleichung für Hohlwellen: erf 3 4 π σ ( 1 q ) d bzul d Außendurchmesser der Welle / Hohlwelle d i Innendurchmesser der Hohlwelle q d i / d (Verhälnis Innen- zu Außendurchmesser) Achung! Die Einhei des Vergleichsmomens M muss or dem Einsezen in die Gleichung in [Nmm] umgerechne werden. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

11 Aufgabenbeispiel: Biegung und Torsion (Vergleichsmomen und erforderlicher Wellendurchmesser) Auf der Zwischenwelle des Geriebes der Verholwinde sind die Zahnräder und 3 plazier. Das Zahnrad wird mi einer angenialen Umfangskraf on F kn angerieben. Die Welle aus Vergüungssahl besiz eine zulässige Biegespannung on σ zul 100 N/mm² und eine zulässige Torsionsspannung on τ zul 80N/mm² Aufgabensellung: Berechnen Sie: die Lagerkräfe in den Lagern C und D das Torsionsmomen M der Welle die Biegemomene in Höhe der Zahnräder 3 und. das Vergleichsmomen M und den erforderlichen Wellendurchmesser d erf Zeichnen Sie die Verläufe der Querkraf, des Biegemomens und des Torsionsmomens Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

12 Aufgabenbeispiel: Biegung und Torsion - Lösung Berechnung der Lagerkräfe F C und F D : ΣM C 0 -F 3 0,139m + F 0,389m + F D 0,474m F3 0,139m F 0,389m F D 0, 474m 100kN 0,139m kn 0,389m F D 11, 3kN 0,474m ΣF y 0 F C F 3 + F + F D F C F 3 - F - F D 100kN kn 11,3kN 66,7kN Berechnung des Torsionsmomens M : F 0,99m kn 0,99m M 10, 9kNm Berechnung der Biegemomene: M b3 - F C 0,139m -66,7kN 0,139m -9,7kNm M bmax M b - F C 0,389m + F 3 0,5m -66,7kN 0,389m + 100kN 0,5m -66,7kN -0,95kNm M b3 M bmax Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

13 Aufgabenbeispiel: Biegung und Torsion - Lösung Berechung des Vergleichsmomens M : M bmax 9,7kNm M 10,9kNm σ bzul 100N / mm² α 0 0,7 3 80N / mm² 3 τ zul M M + α M ) b 0,75 ( 0 M ( 9,7kNm)² + 0,75 (0,7 10,9kNm)² 11, 5kNm Berechung des erforderlichen Wellendurchmessers d erf : d 3 M π σ Nmm π 100N / mm² 3 3 erf 105, 4 bzul mm gewähl 110mm Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

14 Aufgabe 3: Biegung und Torsion (Vergleichsmomen und erforderlicher Wellendurchmesser) Aufgabensellung: Besimmen Sie den am särksen gefährdeen Querschni der Geriebewelle aus E335. Die zulässige Biegespannung beräg σ zul 65 N/mm², das Ansrengungserhälnis α 0 0,7. Als maximales Torsionsmomen wurden M 15,4Nm, als maximales Biegemomen M b 150Nm ermiel. Besimmen Sie das in diesem Querschni wirkende Vergleichmomen M. Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d erf für die Geriebewelle. Lösungshinweis: Die Schaubilder geben Aufschluss über die Belasung der Welle. Die durch die Querkräfe herorgerufene Abscherspannung kann im Vergleich zur Biege- und Torsionsspannung ernachlässig werden. Im Bereich des Lagers B befinde sich das maximale Biegemomen. Die Belasung auf Torsion is zwischen der rechen und der mileren Riemenscheibe am größen. Die maximale Belasung der Welle is somi an der Lagerselle B zu erwaren. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc

15 Aufgabe 4: Biegung und Torsion (Vergleichsmomen und erforderlicher Wellendurchmesser) Eine Welle wird über ein Keenrad angerieben. Die Kee des Keenrades wird on Hand mi einer Kraf on F H 150N beäig. Am gegenüberliegenden Ende der Welle befinde sich eine Keilriemenscheibe. Die auf die Keilriemenscheibe wirkende Querkraf sowie die Lagerkräfe wurden bereis ermiel. Die zulässige Biegespannung σ bzul des Werksoffs beräg 50N/mm², die zulässige Torsionsspannung τ zul 40 N/mm² Aufgabensellung: a) Tragen Sie den Verlauf der Querkraf F q über die Länge der Welle in ein Diagramm ein. b) Berechnen Sie das Drehmomen M der Welle sowie die Biegemomene M b1 und M b in Höhe der Lager A und B und besimmen Sie das maximale Biegemomen M bmax. c) Sellen Sie die Verläufe des Biegemomenes M b und des Torsionsmomenes M über die Länge der Welle jeweils in einem Diagramm dar. d) Berechnen Sie das Ansrengungserhälnis α 0 und das Vergleichsmomen M sowie den erforderlichen Wellendurchmesser d erf. Sand _Zusammengeseze Beanspruchung.doc