Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3

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1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis Wahrscheinlichkeitsrechnung Mathematische Statistik Fehler- und Ausgleichsrechnung 2., verbesserte Auflage Mit zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik, 548 Abbildungen und 284 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen vieweg

2 VII I Vektoranalysis 1 1 Ebene und räumliche Kurven Vektorielle Darstellung einer Kurve Differentiation eines Vektors nach einem Parameter Ableitung eines Vektors Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Massenpunktes Bogenlänge einer Kurve Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor Krümmung einer Kurve Ein Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und Normalkomponenten 27 2 Flächen im Raum Vektorielle Darstellung einer Fläche Flächenkurven Tangentialebene, Flächennormale, Flächenelement Flächen vom Typ z = f(x; y) P Skalar- und Vektorfelder Ein einführendes Beispiel Skalarfelder Vektorfelder Spezielle Vektorfelder aus Physik und Technik Homogenes Vektorfeld Kugelsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) Zylindersymmetrisches Vektorfeld Zusammenstellung der behandelten Vektorfelder 60 4 Gradient eines Skalarfeldes Definition und Eigenschaften des Gradienten Richtungsableitung Flächen vom Typ F(x; y; z) = Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung 69

3 VIII 5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Divergenz eines Vektorfeldes Ein einführendes Beispiel Definition und Eigenschaften der Divergenz Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders Rotation eines Vektorfeldes Definition und Eigenschaften der Rotation Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe Spezielle Vektorfelder Quellenfreies Vektorfeld Wirbelfreies Vektorfeld Laplace- und Poisson-Gleichung Ein Anwendungsbeispiel: Potentialgleichung des elektrischen Feldes 92 6 Spezielle ebene und räumliche Koordinatensysteme Polarkoordinaten Definition und Eigenschaften der Polarkoordinaten Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Polarkoordinaten Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ^ Zylinderkoordinaten Definition und Eigenschaften der Zylinderkoordinaten Darstellung eines Vektors in Zylinderkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Zylinderkoordinaten Zylindersymmetrische Vektorfelder Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor eines Massenpunktes in Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Definition und Eigenschaften der Kugelkoordinaten Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace- Operator in Kugelkoordinaten Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Ein Anwendungsbeispiel: Potential und elektrische Feldstärke in der Umgebung einer geladenen Kugel 139

4 IX 7 Linien- oder Kurvenintegrale Ein einführendes Beispiel Definition eines Linien- oder Kurvenintegrals Berechnung eines Linien- oder Kurvenintegrals Wegunabhängigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals. Konservative Vektorfelder Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Magnetfeld eines stromdurchfiossenen linearen Leiters Elektrisches Feld eines geladenen Drahtes Arbeitsintegral Arbeit eines Kraftfeldes Ein Anwendungsbeispiel: Elektronen im Magnetfeld Oberflächenintegrale Ein einführendes Beispiel Definition eines Oberflächenintegrals Berechnung eines Oberflächenintegrals Oberflächenintegral in speziellen Koordinaten Oberflächenintegral in Flächenparametern Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Fluß eines homogenen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Würfels Fluß eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Zylinders Fluß eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel Integralsätze von Gauß und Stokes Gaußscher Integralsatz Ein einführendes Beispiel Gaußscher Integralsatz im Raum Gaußscher Integralsatz in der Ebene Stokes'scher Integralsatz Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders Magnetfeld eines stromdurchfiossenen linearen Leiters 222 Übungsaufgaben 226 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 6 235

5 X Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt II Wahrscheinlichkeitsrechnung Hilfsmittel aus der Kombinatorik Urnenmodell Permutationen Kombinationen Variationen Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Formeln Grundbegriffe Einführende Beispiele Zufallsexperimente Elementarereignisse und Ergebnismenge eines Zufallsexperiments Ereignisse und Ereignisraum Verknüpfungen von Ereignissen Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente Wahrscheinlichkeitsaxiome Eigenschaften der relativen Häufigkeiten Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff Festlegung unbekannter Wahrscheinlichkeiten in der Praxis n ( statistische" Definition der Wahrscheinlichkeit) Wahrscheinlichkeitsraum Additionssatz für beliebige Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Stochastisch unabhängige Ereignisse Ereignisbäume Totale Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und Bayes'sche Formel Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Zufallsvariable oder Zufallsgrößen Einführende Beispiele Definition einer Zufallsvariablen Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen (diskrete Verteilung) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen (stetige Verteilung) 325

6 XI 5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert einer Zufallsvariablen Ein einführendes Beispiel Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen Erwartungswert einer Funktion Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen Mittelwert und Varianz einer linearen Funktion Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung Gaußsche Normalverteilung Allgemeine Normalverteilung Standardnormalverteilung Erläuterungen zur tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der Normalverteilung Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen Approximation einer diskreten Verteilung durch eine andere Verteilung, insbesondere durch die Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Ein einführendes Beispiel Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Diskrete zweidimensionale Verteilung Stetige zweidimensionale Verteilung Stochastisch unabhängige Zufallsvariable Funktionen von mehreren Zufallsvariablen Summen und Produkte von Zufallsvariablen Additionssatz für Mittelwerte Multiplikationssatz für Mittelwerte Additionssatz für Varianzen Eigenschaften einer Summe von stochastisch unabhängigen und normalverteilten Zufallsvariablen 427

7 XII 7.6 Über die große Bedeutung der Gaußschen Normal Verteilung in den Anwendungen Zentraler Grenzwertsatz Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe von Zufallsvariablen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace Prüf- oder Testverteilungen Chi-Quadrat-Verteilung t-verteilung von Student 440 Übungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt III Grundlagen der mathematischen Statistik Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe Häufigkeitsfunktion einer Stichprobe Verteilungsfunktion einer Stichprobe Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben (Einteilung in Klassen) Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe Spezielle Berechnungsformeln für die Kennwerte einer Stichprobe Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Häufigkeitsfunktion Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe Statistische Schätzmethoden für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Parameterschätzungen") Aufgaben der Parameterschätzung Schätzfunktionen und Schätzwerte für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Punktschätzungen") Ein einführendes Beispiel Schätz- und Stichprobenfunktionen 489

8 XIII Schätzungen für den Mittelwert n Schätzungen für die Varianz <r Schätzungen für einen Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Schätzfunktionen und ihrer Schätzwerte Ein Verfahren zur Gewinnung von Schätzfunktionen Maximum-Likelihood-Methode Anwendungen auf spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Poisson-Verteilung Gaußsche Normalverteilung Vertrauens- oder Konfidenzintervalle für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Intervallschätzungen") Vertrauens- oder Konfidenzintervalle und statistische Sicherheit Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert fi einer Normalverteilung bei bekannter Varianz a Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert fi einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz <r Vertrauensintervalle für die unbekannte Varianz a 2 einer Normalverteilung Vertrauensintervalle für einen unbekannten Anteilswert/» (Parameter p einer Binomialverteilung) Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert (i einer beliebigen Verteilung Statistische Prüfverfahren für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Parametertests") Ein einführendes Beispiel Statistische Hypothesen und Parametertests Planung und Durchführung eines Parametertests Mögliche Fehlerquellen bei einem Parametertest Spezielle Parametertests Tests für den unbekannten Mittelwert fi einer Normalverteilung bei bekannter Varianz a Tests für den unbekannten Mittelwert \x einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz a Tests für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte n l und \i 2 zweier Normalverteilungen (Differenzentests) Abhängige und unabhängige Stichproben Differenzentests bei abhängigen Stichproben Differenzentests bei unabhängigen Stichproben Tests für die unbekannte Varianz er 2 einer Normalverteilung Tests für einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Ein Anwendungsbeispiel: Statistische Qualitätskontrolle unter Verwendung von Kontrollkarten 593

9 XIV 5 Statistische Prüfverfahren für die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Anpassungs- oder Verteilungstests") Aufgaben eines Anpassungs- oder Verteilungstests Ein einführendes Beispiel Chi-Quadrat-Test ( * 2 -Test") Korrelation und Regression Korrelation Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Grundgesamtheit Regression 627 Übungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt IV Fehler- und Ausgleichsrechnung Fehlerarten" (systematische und zufällige Meßabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung Statistische Verteilung der Meßwerte und Meßabweichungen ( Meßfehler") Häufigkeitsverteilungen Normalverteilte Meßgrößen Auswertung einer Meßreihe Mittelwert und Standardabweichung Vertrauensbereich für den Mittelwert y., Meßunsicherheit, Meßergebnis Fehlerfortpflanzung" nach Gauß Ein einführendes Beispiel Mittelwert einer indirekten" Meßgröße Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz (Varianzfortpflanzungsgesetz) Meßergebnis für eine indirekte" Meßgröße Ausgleichs- oder Regressionskurven Ein einführendes Beispiel Ausgleichung nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate".. 691

10 XV 5.3 Ausgleichs- oder Regressionsgerade Bestimmung der Parameter einer Ausgleichsgeraden Streuungsmaße und Unsicherheiten bei der Parameterbestimmung Ausgleichs- oder Regressionsparabel Nichtlineare Ausgleichsprobleme, die auf die lineare Regression zurückführbar sind 714 Übungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Anhang 734 Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 734 Tabelle 1: Verteilungsfunktion <j) (u) der Standardnormalverteilung Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung 736 Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 738 Tabelle 4: Quantile der t-verteilung von Student" 740 Teil B: Lösungen der Übungsaufgaben '. 744 I Vektoranalysis 744 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Wahrscheinlichkeitsrechnung 773 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt 7 787

11 XVI III Grundlagen der mathematischen Statistik 791 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt IV Fehler- und Ausgleichsrechnung 814 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise 823 Sachwortverzeichnis 824