Vorlesung 7a. Der Zentrale Grenzwertsatz

Transkript

1 Vorlesung 7a Der Zentrale Grenzwertsatz als Erlebnis und Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen

2 Wiederholung: Die Normalverteilung

3 Dichtefunktion ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) x

4 ϕ(x) Die Gaußsche Glocke x

5 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion:

6 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2

7 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion:

8 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx

9 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx Z standard-normalverteilt:

10 Die Standardnormalverteilung Dichtefunktion: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx Z standard-normalverteilt: P( Z a ) = Φ(a)

11 Die Standard-Normalverteilung EZ = 0 σ Z = 1

12 Die Standard-Normalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ+σz

13 Die Standard-Normalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ+σz EN = µ σ N = σ

14 Die Standard-Normalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ+σz EN = µ σ N = σ

15 Dichtefunktion ϕ der Standard-Normalverteilung ϕ(x) x

16 ϕ(x) P( Z < 1) x

17 ϕ(x) Φ(1) Φ( 1) x

18 ϕ(x) P( Z < 2 ) x

19 Und für allgemeine normalverteilte Zufallsgrößen N? ϕ(x) x

20 ϕ(x) Dasselbe in grün x

21 P( N EN < σ N ) 0.68 ϕ(z) z = (x EN)/σ N

22 P( N EN < 2σ N ) 0.95 ϕ(z) z = (x EN)/σ N

23 Der Zentrale Grenzwertsatz

24 Die Summe von vielen kleinen, unabhängigen Summanden

25 Die Summe von vielen kleinen, unabhängigen Summanden ist annähernd normalverteilt.

26 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1,X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen.

27 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1,X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n

28 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1,X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n und Z n := (S n ES n ) / σ Sn.

29 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1,X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n und Z n := (S n ES n ) / σ Sn. ( EZ n = 0, σ Zn = 1.)

30 Dann gilt: Z n ist asymptotsich standard-normalverteilt.

31 Dann gilt: Z n ist asymptotsich standard-normalverteilt. Das heißt: P( Z n a ) Φ(a).

32 Zentraler Grenzwertsatz (in mathematischer Sprechweise fomuliert:)

33 Zentraler Grenzwertsatz (in mathematischer Sprechweise fomuliert:) Die standardisierte Summe von n unabhängigen, identisch verteilten R-wertigen Zufallsvariablen mit endlicher Varianz konvergiert mit wachsendem n in Verteilung

34 Zentraler Grenzwertsatz (in mathematischer Sprechweise fomuliert:) Die standardisierte Summe von n unabhängigen, identisch verteilten R-wertigen Zufallsvariablen mit endlicher Varianz konvergiert mit wachsendem n in Verteilung gegen eine standard-normalverteilte Zufallsvariable.

35 Zentraler Grenzwertsatz (in mathematischer Sprechweise fomuliert:) Die standardisierte Summe von n unabhängigen, identisch verteilten R-wertigen Zufallsvariablen mit endlicher Varianz konvergiert mit wachsendem n in Verteilung gegen eine standard-normalverteilte Zufallsvariable. kurz:... konvergiert in Verteilung gegen N(0,1).

36 Formal:

37 Formal: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle a R

38 Formal: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle a R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) a P(Z a). n

39 Formal: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle a R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) a P(Z a). n Dabei ist Z standard-normalverteilt.

40 Formal: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle a R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) a P(Z a). n Dabei ist Z standard-normalverteilt.

41 Geschichte des Zentralen Grenzwertsatzes

42 Abraham de Moivre Der faire Münzwurf (1733)

43 Pierre-Simon Laplace Allgemeine binomiale Zufallsgrößen (1812)

44 Pafnuty Lvovich Chebyshev P( X EX > kσ ) 1 k 2 (1846)

45 Andrei Andreyevich Markov Allgemeiner zentraler Grenzwertsatz

46 Aleksandr Mikhailovich Lyapunov Noch allgemeiner (1906)

47 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt.

48 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf e x2 /2?

49 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt.

50 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken?

51 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf ϕ?

52 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf ϕ? Warum gerade e x2 /2?

53 BEISPIEL

54 BEISPIEL Rundungsfehler bei Addition

55 In Wirklichkeit π =

56 In Wirklichkeit π = Im Rechner

57 In Wirklichkeit π = Im Rechner π

58 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler.

59 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = 10 15

60 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = Annahme: X uniform verteilt auf [ 0.5,0.5].

61 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = Annahme: X uniform verteilt auf [ 0.5,0.5]. ni=1 A i =?

62 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = Annahme: X uniform verteilt auf [ 0.5,0.5]. ni=1 A i =? ni=1 A i = n i=1 a [R] i +ε n i=1 X i

63 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = Annahme: X uniform verteilt auf [ 0.5,0.5]. ni=1 A i =? ni=1 A i = n i=1 a [R] i +ε n i=1 X i Wie groß ist der Fehler?

64 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. A = a [R] +εx ε = Annahme: X uniform verteilt auf [ 0.5,0.5]. ni=1 A i =? ni=1 A i = n i=1 a [R] i +ε n i=1 X i Wie groß ist der Fehler? ni=1 X i?

65 Empirische Verteilung von S n := X X n

66 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen

67 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen n = 1,2,...,10

68 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen n = 1,2,...,10 n = 15,20,...,100

69 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) x

70 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) EX = x

71 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) EX = xf X (x)dx EX = x

72 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) EX = EX = 0 xdx x

73 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) EX = 1 2 x EX = x

74 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) EX = 0 EX = x

75 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ EX = 0 σ = x

76 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = E(X EX) 2 EX = 0 σ = x

77 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = EX 2 EX = 0 σ = x

78 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = x 2 f X (x)dx EX = 0 σ = x

79 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = x 2 dx EX = 0 σ = x

80 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = 1 3 x EX = 0 σ = x

81 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = 1 12 EX = 0 σ = x

82 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) σ EX σ x

83 Dichtefunktion f X der Verteilung von X f X (x) Aus dieser Verteilung wird mal eine Stichprobe vom Umfang n gezogen. σ EX σ x

84 Anzahl Simulationen (aus ) Verteilung von S 1 = X 1 (n = 1) Sn

85 Anzahl Simulationen (aus ) Verteilung von Sn = X 1 + +Xn (n = 2) Sn

86 Anzahl Simulationen (aus ) Verteilung von Sn (n = 3) Sn

94 Anzahl Simulationen (aus ) Bisher: dynamische Skalierung Sn

95 Anzahl Simulationen (aus ) Jetzt: feste Skalierung Sn

114 z Anzahl Simulationen (aus ) Standardisierung: Zn := (Sn ESn)/σ S n (n = 1)

141 z Anzahl Simulationen (aus ) Standardisierung: Zn := (Sn ESn)/σ S n (n = 100)123456

142 Die Verteilung von Z n scheint zu konvergieren.

143 Die Verteilung von Z n scheint zu konvergieren. Welche Form hat die Grenzverteilung?

144 Die Verteilung von Z 100 ist glockenförmig.

145 Die Verteilung von Z 100 ist glockenförmig. Welche Glocke?

146 Glücklicher Einfall:

147 Glücklicher Einfall: Zwei unabhängige Kopien (U,V) = (Z 100,Z 100 )

148 Glücklicher Einfall: Zwei unabhängige Kopien (U,V) = (Z 100,Z 100 ) Wie sieht die gemeinsame Verteilung von U und V aus?

149 Simulationen V = Z U = Z 100

160 Die Verteilung von (U,V) ist rotationssymmetrisch! V = Z U = Z 100

161 Behauptung: Aus U und V unabhängig und Verteilung von (U,V) rotationssymmetrisch

162 Behauptung: Aus U und V unabhängig und Verteilung von (U,V) rotationssymmetrisch folgt, dass U und V normalverteilt sind:

163 Behauptung: Aus U und V unabhängig und Verteilung von (U,V) rotationssymmetrisch folgt, dass U und V normalverteilt sind: f U (x) = f V (x) = 1 σ 2π e x2 /(2σ 2 )

164 Denn: U, V unabhängig bedeutet:

165 Denn: U, V unabhängig bedeutet: f (U,V) (a,b) = f U (a)f V (b)

166 Denn: U, V unabhängig bedeutet: f (U,V) (a,b) = f U (a)f V (b) f (U,V) rotationssymmetrisch heißt: es existiert ein g mit

167 Denn: U, V unabhängig bedeutet: f (U,V) (a,b) = f U (a)f V (b) f (U,V) rotationssymmetrisch heißt: es existiert ein g mit f (U,V) (a,b) = g(r) r := a 2 +b 2

168 Denn: U, V unabhängig bedeutet: f (U,V) (a,b) = f U (a)f V (b) f (U,V) rotationssymmetrisch heißt: es existiert ein g mit f (U,V) (a,b) = g(r) r := a 2 +b 2 Mit f U = f V =: h folgt

169 Denn: U, V unabhängig bedeutet: f (U,V) (a,b) = f U (a)f V (b) f (U,V) rotationssymmetrisch heißt: es existiert ein g mit f (U,V) (a,b) = g(r) r := a 2 +b 2 Mit f U = f V =: h folgt g(r) = h(a)h(b)

170 g(r) = h(a)h(b) g(r) = c h(r) (c := h(0)))

171 g(r) = h(a)h(b) g(r) = c h(r) (c := h(0))) ch( a 2 +b 2 ) = h(a)h(b)

172 g(r) = h(a)h(b) g(r) = c h(r) (c := h(0))) ch( a 2 +b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung:

173 g(r) = h(a)h(b) g(r) = c h(r) (c := h(0))) ch( a 2 +b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung: h(x) = e x2

174 g(r) = h(a)h(b) g(r) = c h(r) (c := h(0))) ch( a 2 +b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung: h(x) = e x2 e (a2 +b 2) = e a2 e b2

175 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2

176 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen:

177 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P( U R ) = h(x)dx = 1

178 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P( U R ) = h(x)dx = 1 σ 2 U = x 2 h(x)dx = 1

179 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P( U R ) = h(x)dx = 1 σ 2 U = x 2 h(x)dx = 1 h(x) = 1 2π e x2 /2

180 FAZIT

181 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten

182 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten (in konkreten Fällen,

183 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten (in konkreten Fällen, mit etwas Glück).

184 Bei unserer Entdeckungsreise zum Zentralen Grenzwertsatz hatten wir die (Beinahe-) Rotationssymmetrie der Verteilung von (Z n,z n ) aus den Simulationen abgelesen. Diese lässt sich aber auch konzeptionell begründen, wenn man die Existenz (irgend-) einer Grenzverteilung im ZGS unterstellt. Aufgabe: Endecken Sie die Rotationssymmetrie der Grenzverteilung von (Z n,z n ) (und damit die Gaußsche Glockenkurve) nochmal, indem Sie (ohne Rückgriff auf den ZGS) Folgendes begründen:

185 Falls für unabhängige, identisch verteilte X 1,X 2,... mit E[X i ] = 0, E[X 2 i ] = 1 die Folge 1 n (X 1 + +X n ) in Verteilung konvergiert, dann hat die Grenzverteilung ν die folgende Eigenschaft:

186 Falls für unabhängige, identisch verteilte X 1,X 2,... mit E[X i ] = 0, E[X 2 i ] = 1 die Folge 1 n (X 1 + +X n ) in Verteilung konvergiert, dann hat die Grenzverteilung ν die folgende Eigenschaft: Sind Z und Z unabhängig mit Verteilung ν, und sind α und β positive Zahlen mit α 2 +β 2 = 1, dann hat auch αz+βz die Verteilung ν.

187 Der Münzwurf passt in den Zentralen Grenzwertsatz:

188 Der Münzwurf passt in den Zentralen Grenzwertsatz: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle l < r R

189 Der Münzwurf passt in den Zentralen Grenzwertsatz: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle l < r R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) [l,r] P(Z [l,r]). n

190 Der Münzwurf passt in den Zentralen Grenzwertsatz: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle l < r R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) [l,r] P(Z [l,r]). n Dabei ist Z standard-normalverteilt.

191 Der Münzwurf passt in den Zentralen Grenzwertsatz: Seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 > 0. Dann gilt für alle l < r R P ( X1 + +X n nµ nσ 2 ) [l,r] P(Z [l,r]). n Dabei ist Z standard-normalverteilt. Mit µ = p und σ 2 = pq ergibt sich der alte Satz von de Moivre und Laplace.

192 Das passt zur Approximation der Binomialgewichte ( n )p k q n k 1 σ ϕ ( k µ k σ ) k σ ϕ ( x µ σ ) dx, k 1 2 mit µ := np, σ := npq

193 Das passt zur Approximation der Binomialgewichte ( n )p k q n k 1 σ ϕ ( k µ k σ ) k σ ϕ ( x µ σ ) dx, k 1 2 mit µ := np, σ := npq P(k 1 X k 2 ) = k k σ ϕ ( x µ σ ) dx = (k µ)/σ (k µ)/σ ϕ(z)dz

194 Das passt zur Approximation der Binomialgewichte ( n )p k q n k 1 σ ϕ ( k µ k σ ) k σ ϕ ( x µ σ ) dx, k 1 2 mit µ := np, σ := npq P(k 1 X k 2 ) = k k σ ϕ ( x µ σ ) dx = (k µ)/σ (k µ)/σ ϕ(z)dz

195 Hier ist noch einmal die (im ZGS präzisierte) Botschaft der Stunde:

196 Hier ist noch einmal die (im ZGS präzisierte) Botschaft der Stunde: Summen (und Mittelwerte) von vielen unabhängigen, identisch verteilten ZV mit endlicher Varianz sind annähernd normalverteilt.

197 Hier ist noch einmal die (im ZGS präzisierte) Botschaft der Stunde: Summen (und Mittelwerte) von vielen unabhängigen, identisch verteilten ZV mit endlicher Varianz sind annähernd normalverteilt. Diese Aussage bleibt übrigens auch unter schwächeren Bedingungen bestehen,

198 Hier ist noch einmal die (im ZGS präzisierte) Botschaft der Stunde: Summen (und Mittelwerte) von vielen unabhängigen, identisch verteilten ZV mit endlicher Varianz sind annähernd normalverteilt. Diese Aussage bleibt übrigens auch unter schwächeren Bedingungen bestehen, sowohl was die Unabhängigkeit, als auch was die identische Verteiltheit betrifft.

199 Für unabhängige, identisch verteilte ZV e X 1,X 2,... mit Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 bekommen wir aus dem Zentralen Grenzwertsatz: Für große n ist der Mittelwert X 1+ +X n n annähernd normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ n. Daraus folgt insbesondere, dass für große n die Verteilung von X 1+ +X n n in der Nähe von µ konzentriert ist: P( X 1 + +X n n µ ε ) 0 für n

200 Das Schwache Gesetz der großen Zahlen P( X 1 + +X n n µ ε ) 0 für n gilt sogar für jede Folge von paarweise unkorrelierten Zufallsvariablen mit ein- und demselben Erwartungswert µ und ein-und derselben Varianz σ 2. Dahinter steckt, dass der Erwartungswert von X 1+ +X n n gleich µ bleibt und seine Standardabweichung klein wird, nämlich σ n.

201 Den (einfachen) Beweis des Schwachen Gesetzes der Großen Zahlen bereiten wir vor durch zwei einfache Ungleichungen: die Markov-Ungleichung und die Chebyshev-Ungleichung.

202 Markov-Ungleichung: Für jede Zufallsvariable X 0 und jedes ε > 0 gilt P(X ε) 1 ε E[X].

203 Markov-Ungleichung: Für jede Zufallsvariable X 0 und jedes ε > 0 gilt P(X ε) 1 ε E[X]. Beweis: Es gilt εi {X ε} = ε1 [ε, ] (X) X.

204 Markov-Ungleichung: Für jede Zufallsvariable X 0 und jedes ε > 0 gilt P(X ε) 1 ε E[X]. Beweis: Es gilt εi {X ε} = ε1 [ε, ] (X) X. Mit der Monotonie des Erwartungswertes folgt die Behauptung.

205 Chebyshev-Ungleichung: Für eine reellwertige Zufallsvariable X mit endlichem Erwartungswert gilt für beliebiges ε > 0 P ( X E[X] ε ) 1 ε 2 Var[X]

206 Chebyshev-Ungleichung: Für eine reellwertige Zufallsvariable X mit endlichem Erwartungswert gilt für beliebiges ε > 0 P ( X E[X] ε ) 1 ε 2 Var[X] Beweis: Markov-Ungleichung angewandt auf Y = (X E[X]) 2 : P ( X E[X] ε ) = P(Y ε 2 ) ε 2 E[Y] = ε 2 Var[X].

207 Schwaches Gesetz der Großen Zahlen (Buch S. 74) Die Zufallsvariablen X 1,X 2,... seien reellwertig, identisch verteilt mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher Varianz, und sie seien unkorreliert. Dann gilt für alle ε > 0 ( lim n P X 1 + +X n n µ ε ) = 0.

208 Beweis: Gemäß Voraussetzung gilt [ ] X E 1 + +X n = E[X 1]+ +E[X n ] = µ, n n [ ] X Var 1 + +X n = Var[X 1]+ +Var[X n ] n n 2 = Var[X 1]. n

209 Beweis: Gemäß Voraussetzung gilt [ ] X E 1 + +X n = E[X 1]+ +E[X n ] = µ, n n [ ] X Var 1 + +X n = Var[X 1]+ +Var[X n ] n n 2 = Var[X 1] n. Die Chebyshev-Ungleichung, angewandt auf (X 1 + +X n )/n ergibt ( X P 1 + +X n n ) µ ε Var[X 1] ε 2 n.

210 Beweis: Gemäß Voraussetzung gilt [ ] X E 1 + +X n = E[X 1]+ +E[X n ] = µ, n n [ ] X Var 1 + +X n = Var[X 1]+ +Var[X n ] n n 2 = Var[X 1] n. Die Chebyshev-Ungleichung, angewandt auf (X 1 + +X n )/n ergibt ( X P 1 + +X n n ) µ ε Var[X 1] ε 2 n. Die Behauptung folgt nun mit n.

211 Im Schwache Gesetz der Großen Zahlen treffen wir auf die sogenannte stochastische Konvergenz von Zufallsvariablen:

212 Im Schwache Gesetz der Großen Zahlen treffen wir auf die sogenannte stochastische Konvergenz von Zufallsvariablen: Definition: Seien Y,Y 1,Y 2,... Zufallsvariable. Man sagt

213 Im Schwache Gesetz der Großen Zahlen treffen wir auf die sogenannte stochastische Konvergenz von Zufallsvariablen: Definition: Seien Y,Y 1,Y 2,... Zufallsvariable. Man sagt Y n konvergiert für n stochastisch gegen Y, wenn für alle ε > 0 gilt: P( Y n Y > ε) n 0

214 Das Schwache Gesetz kompakt formuliert: Unter den angegebenen Voraussetzungen (paarweise Unkorreliertheit, gleicher Erwartungswert, gleiche Varianz) konvergiert die Folge der Stichprobenmittel stochastisch gegen den Erwartungswert.

215 Ein Wiedersehen von ein paar früheren Folien: Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X:= Anzahl der Erfolge. Wie erlebt man den Erwartungswert?

216 Ein Wiedersehen von ein paar früheren Folien: Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X:= Anzahl der Erfolge. Wie erlebt man den Erwartungswert? Durch wiederholtes Werfen der drei Münzen!

217 Wiederholungen: X 1,X 2,...,X Xn n

218 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

219 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

220 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

221 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

222 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

223 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

224 M n E[X] Xn n

225 Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen wurde von Jacob Bernoulli im Münzwurfmodell endeckt.

226 Ergänzung Zum Schätzen von Mittelwerten

227 Eine große Population von Werten w 1,...,w g ist auf der Zahlengeraden verteilt.

228 Eine große Population von Werten w 1,...,w g ist auf der Zahlengeraden verteilt. Man interessiert sich für den Populationsmittelwert: µ := 1 g g w j. j=1

229 Zur Verfügung stehen die Werte einer rein zufällig aus der Population gezogene Stichprobe x 1,...,x n

230 Zur Verfügung stehen die Werte einer rein zufällig aus der Population gezogene Stichprobe x 1,...,x n m := 1 n (x x n ) ist ein Schätzwert für µ.

231 Wie zuverlässig ist diese Schätzung?

232 Wie zuverlässig ist diese Schätzung? Das hängt ab von der Streuung der Werte w j in der Population

233 Wie zuverlässig ist diese Schätzung? Das hängt ab von der Streuung der Werte w j in der Population und von der Größe n der Stichprobe.

234 Goldene Idee der Statistik: Man fasst x 1,...,x n auf als Ergebnis eines (rein) zufälligen Ziehens aus der Population:

235 Goldene Idee der Statistik: Man fasst x 1,...,x n auf als Ergebnis eines (rein) zufälligen Ziehens aus der Population: X 1 := w J1,X 2 := w J2,... mit J 1,J 2,... rein zufällige Wahl aus {1,...,g}.

236 Ein Maß für die Variabilität in der Population ist σ 2 := 1 g g (w j µ) 2 j=1

237 Ein Maß für die Variabilität in der Population ist σ 2 := 1 g g (w j µ) 2 j=1 Stellen wir uns vor: X 1,X 2,... unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2

238 m = 1 n (x x n ) fasst man auf als eine Realisierung (einen Ausgang) der Zufallsvariable X := 1 n (X X n )

239 m = 1 n (x x n ) fasst man auf als eine Realisierung (einen Ausgang) der Zufallsvariable X := 1 n (X X n ) Wie ist X verteilt?

240 Wie ist X verteilt? Der Zentrale Grenzwertsatz gibt eine Antwort:

241 Wie ist X verteilt? Der Zentrale Grenzwertsatz gibt eine Antwort: X ist approximativ N(µ, σ2 n )-verteilt.

242 Ein Problem in der Praxis: Man kennt σ 2 nicht. Auch σ 2 muss man schätzen. Zwei Vorschläge: s 2 := 1 n 1 n (x i m) 2 i=1 ^σ 2 := 1 n n (x i m) 2. i=1