Formelsammlung Schließende Statistik

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1 Prof. Dr. Philipp Sibbertsen Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Leibniz Universität Hannover Formelsammlung Schließende Statistik Inhaltsverzeichnis 1 Spezielle theoretische Verteilungen und Grenzwertsätze 1.1 Normalverteilung Allgemeine Normalverteilung Standardnormalverteilung Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen Quantile und Schwankungsintervalle Bernoulli- und Binomialverteilung Bernoulli-Verteilung Binomialverteilung Grenzwertsätze Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWS Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes für die Binomialverteilung 5 Grundlagen der induktiven Statistik 6.1 Tschebyschevsche Ungleichung Eigenschaften des arithmetischen Mittels Eigenschaften von Anteilswerten Erwartungswert von empirischer Varianz und Stichprobenvarianz Eigenschaften der Stichprobenfunktion = X Ȳ Punktschätzung Eigenschaften von Schätzern Maximum Likelihood-Schätzung Intervallschätzung Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert einer Grundgesamtheit Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert einer Grundgesamtheit 10 5 Statistische Signifikanztests Fehler 1. und. Art Einstichprobentests Test auf einen Erwartungswert Test auf einen Anteilswert Test auf einen Median Test auf Anpassung an ein Verteilungsmodell Zweistichprobentests

2 5.3.1 Test auf Erwartungswerte bei unverbundenen Stichproben Test auf Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben Test bei zweidimensionalen Verteilungen Test auf einen Korrelationskoeffizienten Test auf monotone Unabhängigkeit Test auf Unabhängigkeit Regressionsanalyse Das lineare Modell Bestimmtheitsmaß im einfachen linearen Modell Konfidenzintervalle Hypothesentests

3 1 Spezielle theoretische Verteilungen und Grenzwertsätze 1.1 Normalverteilung Allgemeine Normalverteilung Notation X N(µ;σ Dichtefunktion f(x = 1 σ π exp ( 1 ( x µ σ mit σ > 0 und µ R Verteilungsfunktion F(x o = x o ( 1 σ π exp 1 Erwartungswert E(X = µ Varianz V(X = σ ( x µ dx mit σ > 0 und µ R σ 1.1. Standardnormalverteilung Notation Z N(µ = 0;σ = 1 Dichtefunktion f(z = φ(z = 1 π exp ( z Verteilungsfunktion F(z = Φ(z = z ( 1 exp t dt π Standardisierungsverfahren Ist X N(µ;σ, so gilt Z := X µ N(0;1 und somit σ ( x µ F(x = P(X x = Φ = Φ(z. σ 3

4 1.1.3 Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen Lineartransformation normalverteilter Zufallsvariablen Ist X N(µ;σ und Y = a+bx mit a,b R gilt: Y N(a+bµ;b σ. Linearkombination normalverteilter Zufallsvariablen Sind X i N(µ i ;σi und unabhängig, gilt: Y = ( a i X i N a i µ i ; a iσi. Symmetrie Die Normalverteilung ist symmetrisch. Damit gilt: E(X = µ = x 0,5 = x h F(µ x = 1 F(µ+x für jedes x Φ( z = 1 Φ(z Quantile und Schwankungsintervalle Quantile x 1 = µ+z 1 σ Zentrales Schwankungsintervall für normalverteilte Zufallsvariablen P(x X x 1 = P(µ+σ z X µ+σ z 1 = 1 k-faches zentrales Schwankungsintervall P(µ k σ X µ+k σ = P(X µ+k σ P(X µ k σ = Φ(k Φ( k = Φ(k 1 für k > 0 1. Bernoulli- und Binomialverteilung 1..1 Bernoulli-Verteilung Notation X BE(p 4

5 Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x = Erwartungswert E(X = p Varianz V(X = p(1 p { 1 p für x = 0 p für x = Binomialverteilung Notation X B(n;p Wahrscheinlichkeitsfunktion ( n p x (1 p (n x für x = 0,1,...,n f(x = P(X = x = x 0 sonst Verteilungsfunktion F(x = P(X x = x i=0 ( n p i (1 p (n i i für x = 0,1,...,n Ableseregeln für die Verteilungstabellen für p > 0, 5 f(x;n,p = f(n x;n,1 p F(x;n,p = 1 F(n x 1;n,1 p Erwartungswert E(X = np Varianz V(X = np(1 p Quantile Zentrales Schwankungsintervall x 1 = min(x F(x 1, P(x u X x o 1 gilt mit: ( x u = max x F(x ( ; x o = min x F(x 1. Additivität der Binomialverteilung (Reproduktionseigenschaft SinddieZufallsvariablenX 1 undx voneinanderunabhängigbinomialverteiltgemäß X 1 B(n 1 ;p, X B(n ;p, gilt für die Summe der Zufallsvariablen X = X 1 +X : X B((n 1 +n ;p. 5

6 1.3 Grenzwertsätze Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWS Gegeben sind X 1,...,X n unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit E(X i = µ und V(X i = σ > 0 und deren standardisierte Summe Z n = X i nµ nσ = 1 n X i µ. σ Dann konvergiert die Verteilung von Z n für n gegen die Standardnormalverteilung, also Schreibe Z n appr N(0;1. lim P(Z n z = Φ(z. n Faustregel: Der ZGWS gilt als erfüllt, wenn n Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes für die Binomialverteilung Auch die Binomialverteilung konvergiert nach dem ZGWS für n gegen die Normalverteilung. Die Approximation gilt als hinreichend gut, wenn die Faustregeln: erfüllt sind. n 30, np 10 und n(1 p 10 Es ergibt sich: ( x np P(X x = F(x Φ np(1 p ( ( b np a np P(a X b Φ Φ np(1 p np(1 p Quantile x 1 = np+z 1 np(1 p, Zentrales Schwankungsintervall P(x u X x o 1 gilt mit: x u = np z 1 / np(1 p; xo = np+z 1 / np(1 p. 6

7 Grundlagen der induktiven Statistik.1 Tschebyschevsche Ungleichung Sei X eine Zufallsvariable mit E(X = µ < und V(X = σ <. Dann gilt P(µ kσ X µ+kσ 1 1 k, bzw. mit kσ = ε: P(µ ε X µ+ε 1 σ ε.. Eigenschaften des arithmetischen Mittels Es seien X 1,X,...,X n iid Stichprobenvariablen mit E(X i = µ und V(X i = σ. Dann gilt für die Stichprobenfunktion X = 1 X n i E( X = µ und V( X = σ n. Verteilung, Schwankungsintervalle (SI und Mindeststichprobenumfänge (n Situationen 1. X ist normalverteilt oder. X ist nicht normalverteilt, aber der ZGWS ist erfüllt Verteilung von X ( X N µ, σ SI n P ( µ z 1 σ n X µ+z 1 σ n = 1 ( z1 σ ( z1 σ n = L n ε Situation SI n X ist nicht normalverteilt und der ZGWS ist nicht erfüllt Mit der Tschebyschevschen Ungleichung gilt für symmetrische Intervalle um µ: P ( µ ε X µ+ε 1 σ P (µ k n σ X µ+k n σ P nε 1 1 k bzw. mit ε = k σ n : ( µ σ n X µ+ σ n 1 n σ ε = 4σ L Schwaches Gesetz der großen Zahl lim P( µ X ε = 1 bzw. plim n n 7 X = µ.

8 .3 Eigenschaften von Anteilswerten Sei i {1,...,n} : X i BE(p und damit X = n X i B(n;p. Dann gilt für die Stichprobenfunktion ˆp = X (relative Häufigkeit als Schätzer für den unbekannten n Anteilswert p einer Grundgesamtheit E(ˆp = p und V (ˆp = 1 n p(1 p. Verteilung, Schwankungsintervalle (SI und Mindeststichprobenumfänge (n Situation Verteilung von ˆp = X n ˆp appr ZGWS ist erfüllt N ( p; 1 p(1 p, somit gilt für Wahrscheinlichkeiten: n P ( ( X x x n n Φ n. n p p(1 p SI ( P p z 1 n n 4z 1 p(1 p L bzw. n z 1 L p(1 p X p+z n n 1 = z 1 p(1 p ε = z 1 4ε p(1 p = 1 n (falls p unbekannt.4 Erwartungswert von empirischer Varianz und Stichprobenvarianz Seien s (Empirische Varianz bzw. ˆσ (Stichprobenvarianz Schätzfunktionen für die unbekannte Varianz σ. Dann gilt E(s = n 1 n σ sowie E(ˆσ = σ mit ˆσ = n n 1 s = 1 n 1 (X i X..5 Eigenschaften der Stichprobenfunktion = X Ȳ Es seien X und Ȳ die arithmetischen Mittel zweier unabhängiger Stichproben mit E( X = µ X, V( X = σ X n X, E(Ȳ = µ Y, V(Ȳ = σ Y n Y. Verteilung der Stichprobenfunktion = X Ȳ ( 1. X und Y normalverteilt: N µ X µ Y ; σ X nx + σ Y n Y,.X undy nichtnormalverteilt,aberzgwserfüllt: appr N ( µ X µ Y ; σ X nx + σ Y n Y. 8

9 3 Punktschätzung 3.1 Eigenschaften von Schätzern Sei ˆθ ein Schätzer für den unbekannten Parameter(-vektor θ einer Verteilung. Unverzerrtheit (Erwartungstreue E(ˆθ = θ Verzerrung (Bias Bias(θ, ˆθ = E(ˆθ θ Asymptotische Unverzerrtheit lim E(ˆθ = θ n Mittlerer quadratischer Fehler (Mean Squared Error MSE(θ, ˆθ = E[(ˆθ θ ] = Bias(θ, ˆθ +V(ˆθ Starke Konsistenz lim MSE(θ, ˆθ = 0 n (Schwache Konsistenz lim P( ˆθ θ > ε = 0 n 3. Maximum Likelihood-Schätzung Es seien X 1,...,X n iid Zufallsvariablen mit (gegebenen Realisationen x 1,...,x n, unbekanntem Parameter(-vektor θ und der gemeinsamen Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f(x 1,...,x n θ. Likelihood- und Log-Likelihoodfunktion L(θ = f(x 1,...,x n θ = lnl(θ = lnf(x i θ n f(x i θ Maximum Likelihood-Prinzip: Wähle θ gemäß L(ˆθ = max θ L(θ bzw. f(x 1,...,x n ˆθ = maxf(x 1,...,x n θ. θ Aus ln L(θ θ! = 0 ergibt sich der Maximum Likelihood-Schätzer ˆθ := ˆθ(x 1,...,x n. 9

10 4 Intervallschätzung Es sei 1 das Konfidenzniveau, z w das w-quantil der N(0;1-Verteilung, σ die Varianz der Grundgesamtheit und ˆσ ein geeigneter (erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit. Weiterhin bezeichnen X bzw. ˆp erwartungstreue Schätzer für den gesuchten unbekannten Parameter der Grundgesamtheit. L = ε bezeichnet die Länge des KIs. 4.1 Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert einer Grundgesamtheit Situation 1: σ ist bekannt Situationen Konfidenzintervall Mindeststichprobenumfang 1. X ist normalverteilt oder. X ist nicht normalverteilt, aber n 30 [ ] X σ ±z1 n ( z1 σ ( z1 σ n = L ε Situation X ist nicht normalverteilt, n < 30 [ ] Konfidenzintervall X ± σ n ( Mindeststichprobenumfang n = σ σ L ε Situation : σ ist unbekannt und muss mit ˆσ geschätzt werden Situation X ist normalverteilt, n < 30 [ ] Konfidenzintervall X ˆσ ±tn 1,1 n Mindeststichprobenumfang nicht bestimmbar Situation X ist beliebig verteilt und n 30 [ ] Konfidenzintervall X ˆσ ±z1 n Mindeststichprobenumfang nicht bestimmbar Situation X ist nicht normalverteilt, ZGWS nicht erfüllt kein Konfidenzintervall bestimmbar 10

11 4. Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert einer Grundgesamtheit Situation Konfidenzintervall ZGWS für Binomialverteilung nicht erfüllt [ ] ˆp± 1 4n Mindeststichprobenumfang n 1 L = 1 4ε Situation ZGWS für Binomialverteilung erfüllt: Konfidenzintervall Mindeststichprobenumfang n ( z1 L n 30, nˆp 10, n(1 ˆp 10 [ ] ˆp(1 ˆp ˆp±z 1 n = ( z1 ε 5 Statistische Signifikanztests Es bezeichnet H 0 die Nullhypothese und H 1 die Alternativhypothese. Weiterhin bezeichnet das Signifikanzniveau des Tests. 5.1 Fehler 1. und. Art Realität \ Testentscheidung H 0 ablehnen H 0 nicht ablehnen H 0 wahr Fehler 1. Art richtige Entscheidung H 1 wahr richtige Entscheidung Fehler. Art p-wert: Das Signifikanzniveau, bei dem die Nullhypothese gerade noch abgelehnt werden kann. Ist das Signifikanzniveau kleiner als der p-wert, kann die Nullhypothese somit nicht mehr verworfen werden. 11

12 5. Einstichprobentests 5..1 Test auf einen Erwartungswert Weiterhin bezeichnet σ die Varianz der Grundgesamtheit. Ist diese unbekannt, muss sie durch eine geeignete Schätzfunktion ˆσ für die unbekannte Varianz geschätzt werden. µ 0 ist der vorzugebende Wert, auf den der unbekannte Erwartungswert µ der Grundgesamtheit getestet werden soll. X ist dabei ein erwartungstreuer Schätzer für den unbekannten Parameter µ. Hypothesenpaar: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 Situationen: 1. X ist normalverteilt, σ ist bekannt oder. X ist nicht normalverteilt, aber n 30, σ ist bekannt. Prüfgröße: Z = X µ 0 σ n Situation: X ist beliebig verteilt, σ ist unbekannt, n 30 Prüfgröße: Z = X µ 0 ˆσ n Z > z 1 Lehne H 0 ab, falls Z > z 1 Z < z 1 Situation: X ist normalverteilt, aber n < 30, σ ist unbekannt Prüfgröße: T = X µ 0 ˆσ n T > t n 1,1 Lehne H 0 ab, falls T > t n 1,1 T < t n 1,1 1

13 5.. Test auf einen Anteilswert Es ist p 0 der vorzugebende Wert, auf den der unbekannte Anteilswert p der Grundgesamtheit getestet werden soll. ˆp ist dabei ein erwartungstreuer Schätzer für den unbekannten Parameter p. Situation: ZGWS für Binomialverteilung erfüllt: n 30, np 0 10, n(1 p 0 10 Hypothesenpaar: H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p < p 0 Prüfgröße: Z = ˆp p 0 n p0 (1 p 0 Z > z 1 Lehne H 0 ab, falls Z > z 1 Z < z 1 Situation: ZGWS für Binomialverteilung nicht erfüllt (Binomialtest Hypothesenpaar: H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p < p 0 Prüfgröße: X:= Anzahl der Erfolge, d.h. die Anzahl des Auftretens des Ereignisses, das unter H 0 mit Wahrscheinlichkeit p 0 eintritt Lehne H 0 ab, falls X < c u oder X > c o X > c o X < c u Die kritischen Werte des Binomialtests können der Verteilungstabelle einer mit n und p 0 binomialverteilten Zufallsvariablen X entnommen werden: Zweiseitiger Binomialtest: c u = x (x F(x;n,p = min 0 c o = x 1 (x F(x;n,p = min 0 1 Einseitiger Binomialtest: c u = x = min(x F(x;n,p 0 c o = x 1 = min(x F(x;n,p

14 5..3 Test auf einen Median Situation: Der Median x 0,5 wird auf einen vorgegebenen Wert x 0 getestet. Hypothesenpaar: H 0 : x 0,5 = x 0 H 0 : x 0,5 x 0 H 0 : x 0,5 x 0 H 1 : x 0,5 x 0 H 1 : x 0,5 > x 0 H 1 : x 0,5 < x 0 Prüfgröße ZGWS nicht erfüllt: n + = n(x i x 0 ZGWS erfüllt: Z = ˆp p n 0 p0 (1 p 0 mit ˆp = n+ n und p 0 = 0,5 Entscheidungsregeln und kritische Werte können Abschnitt 5.. entnommen werden Test auf Anpassung an ein Verteilungsmodell Situation: Es wird die Nullypothese getestet, ob das Merkmal X in der Grundgesamtheit dem Verteilungsmodell F 0 folgt. Hierzu werden die bei GültigkeitdesModellserwartetenHäufigkeitenñ i denempirischen Häufigkeiten gegenübergestellt. Hypothesenpaar: H 0 : X F 0 H 1 : X F 0 Prüfgröße: X = k (n i ñ i ñ i Lehne H 0 ab, falls X > χ ν,1 Anmerkung 1: Die Anzahl der Freiheitsgrade ν ist gleich der um 1 verringerten Anzahl der Klassen, abzüglich der Anzahl der geschätzten Parameter m: ν = k m 1. Anmerkung : Der Test ist nur anwendbar, falls alle erwarteten Häufigkeiten größer oder gleich 5 sind: i : ñ i 5. Falls diese Bedingung nicht erfüllt ist, müssen benachbarte Klassen zusammengefasst werden. 14

15 5.3 Zweistichprobentests Es ist k 0 der vorzugebende Wert, auf den die unbekannte Differenz der Erwartungswerte von X und Y in der Grundgesamtheit getestet werden soll. X und Y sind dabei erwartungstreue Schätzer für die unbekannten Parameter µ X und µ Y Test auf Erwartungswerte bei unverbundenen Stichproben Situation: Es liegt ein unverbundenes Zweistichprobenproblem vor. 1. X und Y normalverteilt, Varianzen bekannt oder. X und Y beliebig verteilt, aber n X,n Y 30, Varianz(en unbekannt Hypothesenpaar: H 0 : µ X µ Y = k 0 H 0 : µ X µ Y k 0 H 0 : µ X µ Y k 0 H 1 : µ X µ Y k 0 H 1 : µ X µ Y > k 0 H 1 : µ X µ Y < k 0 Prüfgröße: Z = X Y k 0 σ Y n Y + σ X nx Im Falle unbekannter Varianzen müssen σx, σ Y durch die Schätzungen ˆσ X, ˆσ Y ersetzt werden. Z > z 1 Lehne H 0 ab, falls Z > z 1 Z < z 1 Anmerkung: Sind X und Y normalverteilt, n X,n Y < 30 und die Varianzen unbekannt, so ist die obige Prüfgröße t ν -verteilt mit ν = ν ist auf eine ganze Zahl abzurunden. (ˆσ X + ˆσ Y n X n Y 1 n X 1 ˆσ X n X + 1 n Y 1 ˆσ Y n Y. 15

16 5.3. Test auf Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben Situation: Es liegt ein verbundenes Zweistichprobenproblem vor. X und Y seien normalverteilt mit unbekannten Varianzen. Die Entscheidung erfolgt auf Basis der Differenz D = X Y. Hypothesenpaar: H 0 : µ D = k 0 H 0 : µ D k 0 H 0 : µ D k 0 H 1 : µ D k 0 H 1 : µ D > k 0 H 1 : µ D < k 0 Prüfgröße: T = D k 0 n ˆσ D mit ˆσ D = 1 n 1 (D i D = n n 1 (D D sowie D = 1 n D i = X Y T > t n 1,1 Lehne H 0 ab, falls T > t n 1,1 T < t n 1,1 Anmerkung: Dieser Test kann in großen Stichproben mit n X, n Y 30, wie die vorangegangenen Tests, auch ohne weitere Verteilungsannahmen für X und Y als Z-Test mit kritischen Werten der Normalverteilung durchgeführt werden. 16

17 5.4 Test bei zweidimensionalen Verteilungen Test auf einen Korrelationskoeffizienten Situation: X und Y sind normalverteilt. Hypothesenpaar: H 0 : ρ = 0 H 0 : ρ 0 H 0 : ρ 0 H 1 : ρ 0 H 1 : ρ > 0 H 1 : ρ < 0 Prüfgröße: T = r n 1 r Dabei bezeichnet r den empirischen Korrelationskoeffizienten. T > t n,1 Lehne H 0 ab, falls T > t n,1 T < t n,1 Situation: X und Y sind normalverteilt, n 30. Hypothesenpaar: H 0 : ρ = ρ 0 H 0 : ρ ρ 0 H 0 : ρ ρ 0 H 1 : ρ ρ 0 H 1 : ρ > ρ 0 H 1 : ρ < ρ 0 Prüfgröße: Z = 1 ( ( ( 1+r 1+ρ0 n 3 ln ln 1 r 1 ρ 0 Dabei bezeichnet r den empirischen Korrelationskoeffizienten. Z > z 1 Lehne H 0 ab, falls Z > z 1 Z < z 1 17

18 5.4. Test auf monotone Unabhängigkeit Situation: X und Y sind mindestens ordinal-skalierte Einzelwerte, n 30. Hypothesenpaar: H 0 : X und Y sind monoton unabhängig H 1 : X und Y sind monoton abhängig Prüfgröße: Z = r s n 1 Dabei bezeichnet r s den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman. Lehne H 0 ab, falls Z > z Test auf Unabhängigkeit Situation: Es liegt eine Kontingenztabelle vor. Das Skalenniveau ist beliebig, es wird kein Verteilungsmodell unterstellt. Hypothesenpaar: H 0 : X und Y sind unabhängig H 1 : X und Y sind abhängig Prüfgröße: Prüfgröße ist der χ -Koeffizient zu X und Y χ = J L (n jl ñ jl ñ j=1 jl l=1 Lehne H 0 ab, falls χ > χ (L 1(J 1,1 Anmerkung: Der Test ist nur anwendbar, falls alle erwarteten Häufigkeiten größer oder gleich 5 sind: ñ jl 5 für alle j,l. Falls diese Bedingung nicht erfüllt ist, müssen benachbarte Klassen zusammengefasst werden. 18

19 6 Regressionsanalyse Die in den folgenden Formeln enthaltenen Summen werden wie folgt abgekürzt: - aus Einzeldaten: Σ x := n x i, Σ xx := n x i, Σ y := n y i, Σ yy := n yi - aus Korrelationstabelle: Σ x := J x j n j, Σ xx := J x j n j, Σ y := L y l n l, Σ yy := L j=1 Σ xy := J j=1l=1 L x j y l n jl j=1 l=1 Σ xy := n x i y i yl n l, l=1 6.1 Das lineare Modell Kleinste Quadrate-Ausgleichsgerade ŷ i = â+ˆbx i KQ-Schätzer für den Steigungskoeffizienten ˆb = (xi x(y i ȳ (xi x KQ-Schätzer für die Konstante Residuen geschätzte Störgrößenvarianz ˆσ = 1 n û i = 1 n = s xy s x â = ȳ ˆb x û i = y i ŷ i geschätzte Varianz der geschätzten Konstanten x ˆσ â = i ˆσ n ( x i n x = nσ xy Σ x Σ y xy x ȳ = nσ xx (Σ x x x (y i â ˆb x i = n ( s y n 1 s xy s x geschätzte Varianz des geschätzten Steigungskoeffizienten ˆσ ˆb = ˆσ x i n x = ˆσ n s x 19

20 6. Bestimmtheitsmaß im einfachen linearen Modell R = r = = (ŷ i ȳ = (y i ȳ s ŷ s y = ˆb s x s y = [ (x i x(y i ȳ ] = 1 (x i x (y i ȳ (nσ xy Σ x Σ y [ nσxx (Σ x ][ nσ yy (Σ y ] û i (y i ȳ 6.3 Konfidenzintervalle Unter der Annahme u i N(0;σ für alle i gilt: für den Modellparameter a: für den Modellparameter b: [â±tn, 1 ˆσ ] â ] [ˆb±tn, 1 ˆσˆb Anmerkung: Wenn n 30 ist, wird t n, 1 durch z 1 ersetzt. 6.4 Hypothesentests Es sind a 0 bzw. b 0 die vorzugebenden Werte, auf die die Modellparameter getestet werden sollen. Unter der Annahme u i N(0,σ für alle i gilt: Hypothesen: H 0 : a = a 0 H 1 : a a 0 H 0 : a a 0 H 1 : a > a 0 H 0 : a a 0 H 1 : a < a 0 Prüfgröße: T = â a 0 ˆσâ Entscheidung Lehne H 0 ab, falls T > t n,1 T > t n,1 T < t n,1 Anmerkung: Wenn n 30, werden die Normalverteilungsquantile als kritische Werte benutzt. 0

21 Hypothesen: H 0 : b = b 0 H 1 : b b 0 H 0 : b b 0 H 1 : b > b 0 H 0 : b b 0 H 1 : b < b 0 Prüfgröße: T = ˆb b 0 ˆσˆb Lehne H 0 ab, falls T > t n,1 T > t n,1 T < t n,1 Anmerkung 1: Wenn n 30, werden die Normalverteilungsquantile als kritische Werte benutzt. Anmerkung :Esgilt: ˆb 0 = r n ˆσˆb 1 r, sodass fürdietests aufh 0 : b = 0bzw. H 0 : b 0, H 0 : b 0 die Prüfgröße auch aus T = r n 1 r berechnet werden kann. 1