Berechnung MCR unter Solvency II

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1 Berechnung MCR unter Solvency II Berechnung MCR unter Solvency II Die Wahl des richtigen Risikomaßes Sina Wiesinger 29. März 2018

2 Überblick 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Eigenschaften von Risikomaßen 4 Risikomaße 5 Praxis

3 Einleitung Einleitung Aufbau Solvency II: Säule 1: Eigenmittelanforderungen Solvenzkapitalerfordernis Mindestkapitalerfordernis Säule 2: Aufsichtsrechliches Prüfungsverfahren Säule 3: Marktdisziplin

4 Grundlagen Risiko als Zufallsvariable Was ist Risiko? Risiko ist die Gefahr der Abweichung von Vermögenswerten und Schäden von den Erwartungen

5 Grundlagen Risiko als Zufallsvariable Definition (Risiko) (Ω, σ) ist ein Messraum. Eine reelwertige Zuvallsvariable X auf (Ω, σ) heißt Risiko, wenn X den zukünftigen Wert einer finanziellen Position am Ende einer Betrachungsperiode (0,T) darstellt. Der Raum aller interessierenden Risiken wird mit X bezeichnet. X sei ein Vektorraum, der die konstanten Funktionen erhält. Alle X X seien reelwertig und beschränkt. Die betrachtete Periode ist in unserem Fall ein Jahr. Definition (Risikomaß) Eine Abbildung ρ : X R heißt Risikomaß.

6 Eigenschaften von Risikomaßen Anforderung an Risikomaße aus praktischer Sicht Welche Eigenschaften sollte ein Risikomaß haben? Die Erfassung der Risikopositionen muss vollständig sein. Das Risiko muss in Geldeinheiten gemessen werden. Die Interpretation soll ökonomisch leicht verständlich sein. Das Verfahren sollte leicht zu ermitteln sein. Besonders soll es keine speziellen Anforderungen oder spezielle Verteilungsfunktion benötigen. Es soll objektiv bestimmbar sein, um einen Vergleich zu ermöglichen.

7 Eigenschaften von Risikomaßen Kohärenz und Konvexität Definition (monetäres Risikomaß) Eine Abbildung ρ : X R heißt monetäres Risikomaß, wenn für alle X,X 1,X 2 X die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Monotonie: Wenn X 1 X 2 ist, dann gilt ρ(x 1 ) ρ(x 2 ). Translationsequivarianz: Für m R gilt ρ(x +m) = ρ(x) m

8 Eigenschaften von Risikomaßen Kohärenz und Konvexität Definition Ein monetäres Risikomaß ist kohärent, wenn es subadditiv ist, das heißt ρ(x 1 +X 2 ) ρ(x 1 )+ρ(x 2 ) für alle X 1,X 2 X. Außerdem muss es positiv homogen sein, was bedeutet, dass: ρ(λx) = λρ(x) für λ 0. Wenn man die Monotonie durch Positivität ersetzt erhält man ein äquivalentes Axiomsystem für Kohärenz. Definition Ein Maß ρ heißt positiv, wenn für alle X X mit X 0 gilt, dass ρ(x) 0 ist. Vorallem sind positiv homogene Risikomaße auch normiert, das bedeutet, dass ρ(0) = 0.

9 Eigenschaften von Risikomaßen Kohärenz und Konvexität Definition (Konvexität) Ein monetäres Risikomaß heißt konvex, wenn für X 1,X 2 X und für ein λ [0,1] gilt ρ(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λρ(x 1 )+(1 λ)ρ(x 2 ).

10 Eigenschaften von Risikomaßen Charaktisierung von Risikomaßen durch ihre Akzeptanzmengen Akzeptanzmengen Definition (Akzeptanzmenge) Eine Akzeptanzmenge unter einem Risikomaß ist definiert als A ρ := {X X ρ(x) 0}. Unterscheidung zwischen akzeptablen und inakzeptablen Risiken.

11 Eigenschaften von Risikomaßen Robuste Darstellung kohärenter Risikomaße kohärentes Risikomaß mithilfe eines Erwartungswerts der Form ρ(x) = sup Q Q E Q [ X] darstellen Risikomaß mit Penalty-Funktion β korriegieren Theorem (Darstellung konvexer Risikomaße) Es ist möglich, des konvexe Risikomaß ρ : X R als ρ(x) = max Q M 1.f (E Q [ X] β min (Q)) für alle X X. dargestellt werden. Dabei ist β min (Q) = sup X Aρ E Q [ X] für Q M 1,f. Zustätzlich ist β min die minimale penalty-funktion, die ρ darstellt. Das bedeutet, dass für jede beliebige penalty-funktion gilt: β(q) β min (Q) für alle Q M 1,f

12 Eigenschaften von Risikomaßen Verteilungsinvarianz Wert ρ(x) hängt nur von Verteilung der Zufallsvariable X ab und nicht von der Struktur des Wahrscheinlichkeitsraumes. Definition (Verteilungsinvarianz) Ein monetäres Risikomaß ρ auf X := L (Ω,σ,P) wird verteilungsinvariant genannt, falls ρ(x) = ρ(y) immer dann gilt, wenn X und Y dieselbe Verteilung unter P haben.

13 Risikomaße Definition (Worst-Case Risikomaß) X sei der Vektorraum aller beschränkten und messbaren Funktionen auf einem Messraum (Ω,σ). Das Worst-Case Risikomaß ρ max ist für alle X X definiert als ρ max (X) := inf ω Ω X(ω). Gilt als konservativstes Risikomaß. Es gilt für jedes monetäres, normiertes Risikomaß auf X ρ(x) ρ(inf X(ω)) = ρ(0) inf X(ω) = inf X(ω) = ρ max ω Ω ω Ω ω Ω

14 Risikomaße Value-at-Risk Definition (Quantile) Sei X X mit Verteilungsfunktion F X und sei α (0,1). Dann ist q + α(x) = inf{x R F X (x) > α} = sup{x R F X α} das obere α-quantil von F X und q α(x) = inf{x R F X (x) α} = sup{x R F X < α} das untere α-quantil von F X. Eine reele Zahl q α heißt α-quantil von X, wenn gilt dass P(X q α ) = F X (q α ) α und P(X < q α ) α. Die Menge aller α-quantile ist [q α(x),q + α(x)]

15 Risikomaße Value-at-Risk Definition (Value-at-Risk) Der Value-at-Risk zum Niveau α (0,1) ist definiert als VaR α (x) := q + α(x) = q 1 α ( X). Besonders für kleinen α interessant. Ziel: Wahrscheinlichkeit einen Velust zu erzielen ist kleiner als α

16 Risikomaße Value-at-Risk Theorem (Eigenschaften des VaR) Für X X mit Verteilungsfunktion F X und α (0,1) ist der VaR α (x) monoton fallend, translationsequivariant, positiv homogen und verteilungsinvariant.

17 Risikomaße Value-at-Risk Ist der Value-at-Risk subadditiv? Example Wir nehmen zwei unabhängige Bonds X 1,X 2 mit identischem Auszahlungsprofil. Mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 0,04 wird ein Verlust von 100 generiert, sonst ein Gewinn/Verlust von 0. Damit gilt VaR 0,95(X 1) = VaR 0,95(X 2) = VaR 0,95(X 1)+VaR 0,95(X 2) = 0. Die Zufallsvariable X 1 +X 2 hat somit die Verteilung: P(X 1 +X 2 = 0) = 0,96 2 = 0,9216 P(X 1 +X 2 = 100) = 2 0,04 0,96 = 0,076 P(X 1 +X 2 = 200) = 0,04 2 = 0,0016 Also ist VaR 0,95(X 1 +X 2) > 0 = Var 0,95(X 1)+Var 0,95(X 2) und damit keine Subadditivität gegeben.

18 Risikomaße Kritik am Value-at-Risk Positives: kann auf alle Arten von Finanzpositionen und Risiken angewendet werden Ermittlung von Einzelpositionen Einheit: lost money

19 Risikomaße Kritik am Value-at-Risk Negatives: VaR ist nicht subadditiv nur ein Punkt an der Verteilung nicht verträglich mit der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung

20 Risikomaße Kritik am Value-at-Risk Example Sei α = 0,0275 vorgegeben. Es folgt, 1 α = 0,9725. Wir betrachten nun zwei verschiedene Portfolios F und G, die für x { 5, 4, 3, 2, 1, 0,3,4} mit Wahrscheinlichkeiten f(x) und g(x) annehmen. Die Verteilungen sind gegeben durch: x f(x) g(x) -5 0,005 0,01-4 0,01 0, ,015 0,01-2 0,015 0,02-1 0,03 0,03 0 0,225 0, ,4 0,4 4 0,3 0,3 Erwartungswert beider Portfolios = 2,23. VaR 0,0275(F) = 3 und VaR 0,0275(G) = 2 Nach dem Value-at-Risk Konzept ist also F riskanter als G.

21 Risikomaße Expected Exceeded Measures Expected Exceeded Measures neue Risikomaße, bei denen zwei Punkte beachtet wurden: nicht nur ein Punkt an der Verteilung; sondern auch der linke Tail miteinbezogen Das Risikomaß ist kohärent, besonders sollte es subadditiv sein. Dazu gehören: Expected Shortfall, Average Value-at-Risk, Tail Value-at-Risk, Conditional Value-at-Risk

22 Risikomaße Expected Exceeded Measures Average Value-at-Risk Definition (Average Value-at-Risk) Es sei E[ X] <. Dann wird der Tail Mean (TM) zum Niveau α (0,1] definiert durch TM α = α 1 (E[X1 (X q α (X)) ]+q α(x)(α P[X q α(x)])). Der Average Value-at-Risk wird nun definiert als der Negative Tail-Mean AVaR α (X) = TM α (X)

23 Risikomaße Expected Exceeded Measures Theorem (Integraldarstellung des AVaR) Sei X X mit E[X ] < und einem festen α (0,1). Sei nun TM α (X) = α 1 α 0 q u (X)du Damit ist der AVaR α α AVaR α (X) = α 1 qu (X)du = α 1 VaR u (X)du 0 0

24 Risikomaße Expected Exceeded Measures Eigenschaften des Average Value-at-Risk Der Average Value-at-Risk erfüllt alle von uns geforderten Anforderungen. Das heißt er ist: Kohärenz (insbesondere ist er subadditiv) Verteilungsinvarianz Konsistent zur stochastischen Dominanz zweiter Ordnung

25 Risikomaße Expected Exceeded Measures Kritik am Avarage Value-at-Risk Positiv: erfüllt alle Anforderungen an ein Risikomaß Aussage über Überschaden möglich Negativ Benötigt große Menge an Daten über den linken Tail Falsche Daten falsches Ergebnis bei Multivariat Normalverteilten Risiken besteht Zusammenhang zwischen VaR und AVaR

26 Praxis MCR Berechnung in der Praxis 1 Basis ist ein Value-at-Risk mit einer 85-% Sicherheit 2 Absolutwerte: 1 Nichtlebensversicherunge 2,5 Millionen Euro 2 Lebensversicherungen 3,7 Millionen Euro 3 Rückversicherung 3,6 Millionen Euro 3 bei Nichteinhaltung kann Geschäftszulassung widerrufen werden MCR = min{max{mcr Nichtleben +MCR Leben ;25% SCR}45% SCR}

27 Praxis Mindestkapitalanforderungen in Österreich Praxis in Österreich 1 Studie von EY aus Juni Alle österreichischen Versicherungen erfüllen MCR Vorgaben 3 im Durchschnitt ist der MCR um 257 % überschritten

28 Praxis Mindestkapitalanforderungen in Österreich Abbildung: MCR-Quote nach Art des Versicherungsunternehmens

29 Praxis Mindestkapitalanforderungen in Österreich Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!