(Digital) Sorting. October 25, Algorithms & Datastructures 2 Exercises WS 2016

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1 (Digital) Sorting October 2, 2016 Algorithms & Datastructures 2 Exercises WS 2016 Dipl.-Ing. University Linz, Institute for Pervasive Computing Altenberger Straße 69, A-4040 Linz

2 Rückblick (Heaps) Sortieren basierend auf einem Heap Alle zu sortierenden Schlüssel in neu erzeugte PQ eingefügen: In unterste Ebene (äußerst links) einfügen ( Struktureigenschaft) upheap ( Ordnungseigenschaft) Anschließend jeweils das kleinste Element entfernen: Wurzel entfernen (= kleinstes Element) Lücke mit Element aus unterster Ebene füllen ( Struktureigenschaft) downheap ( Ordnungseigenschaft) Nachteile: zusätzliche Kopie der zu sortierenden Elemente angelegt in PQ N aufeinander folgende Einfügeoperationen zum Aufbau eines Heaps ist ineffizient (top-down) viele upheap Operationen Schritt 1 nur in O(N log N) Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 2

3 HeapSort I) Bottom-Up Heapkonstruktion innerhalb des zu sortierenden Arrays in O(N) Heap nicht mehr über aufeinander folgende Einfügungen erzeugen Array wird rückwärts (auf halbem Weg beginnend) durchlaufen (bottom-up) und dabei kleine Teil-Heaps von der untersten Ebene nach oben hin aufgebaut Jede Position im Array wird dabei als Wurzel eines kleinen Teil-Heaps gesehen Wenn die beiden Nachfolger eines Knotens Heaps sind, dann macht der Aufruf von downheap auf diesen Knoten den von hier ausgehenden Teilbaum zu einem Heap Beobachtung die meisten verarbeiteten Teil-Heaps sind sehr klein: bei einem Heap mit 127 Elementen sind 32 Heaps der Größe 3, 16 Heaps der Größe 7, 8 Heaps der Größe 1, 2 Heaps der Größe 63 und 1 Heap der Größe 127 zu verarbeiten damit im ungünstigsten Fall 32*1 + 16*2 + 8*3 + 4*4 + 2* + 1*6 = 120 downheap Operationen notwendig Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 3

4 Bottom-Up Heapkonstruktion Gegeben: n Elemente z.b.: 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Gesucht: Anordnung als Heap Lösung Schritt 1: baue mit (n+1)/2 Elementen ein-elementige Heaps (trivial) z.b.: 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 4

5 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Schritt 2: konstruiere aus den trivialen Heaps 3-elementige Heaps Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting //

6 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Schritt 3: Verwende Downheap zur Wiederherstellung der Ordnungseigenschaft Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 6

7 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Schritt 3: Verwende Downheap zur Wiederherstellung der Ordnungseigenschaft Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 7

8 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Nächster Schritt: baue 7-elementige Heaps Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 8

9 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Downheap Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 9

10 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Downheap Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 10

11 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Downheap Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 11

12 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Baue n-elementigen Heap Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 12

13 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Downheap Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 13

14 Bottom-Up Heapkonstruktion 16,, 4, 12, 6, 7, 23, 20, 2,, 11, 27, 9, 8 Fertig, Algorithmus terminiert! Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 14

15 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 1 removemin() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 1

16 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 13 removemin() 1 downheap() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 16

17 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 2 removemin() 1 downheap() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 17

18 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 2 save 1 to empty space Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 18

19 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde removemin() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 19

20 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 13 removemin() 2 downheap() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 20

21 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 3 removemin() 2 downheap() Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 21

22 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde 3 save 2 to empty space Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 22

23 HeapSort II) In-Place Sortieren des Heaps in O(N log N) Beim sortierten Entfernen legt man jeweils das kleinste Element an der Stelle ab, die beim Schrumpfen des Heaps geräumt wurde Counter für Anzahl der Elemente im Heap! Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 23

24 Suchen in Heaps Suchen im MaxHeap (ähnlich in UE03 benötigt) Rekursiv mit der Wurzel beginnend den Heap durchsuchen und abbrechen, wenn: aktueller Knoten kleiner als gesuchter auf unterster Ebene im Baum angelangt Nicht im Array suchen, sondern auf Eigenschaften des Heaps Bezug nehmen! Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 24

25 RadixSort Idee: man zerlegt Schlüssel in eine Folge von Bestandteilen fester Größe Binärzahlen sind Bitfolgen Strings sind Zeichenfolgen Dezimalzahlen sind Ziffernfolgen Sortierverfahren, die Zahlen Stück für Stück verarbeiten, heißen RadixSort- Verfahren R(adix) steht für Basis meist R=2 oder eine andere Zweierpotenz Funktionsweise (für w = Wortlänge) im wesentlichen folgendermaßen: for (int k=0; k<w; k++) { } //sort the array in a stable way, looking only at digit k Ein Sortierverfahren ist stabil, wenn es die relative Reihenfolge der Elemente mit gleichen Schlüsseln behält BucketSort Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 2

26 RadixSort Digit extrahieren ( looking only at digit k ) in Java Binärzahlen: Shift-Operationen << und >> Allgemeiner Fall Basis b, Wert v, Position p: digit = (v / b p ) % b Da es in Java kein unsigned int gibt, sondern nur [ ], nehmen wir an, dass die 32 Bit des int-datentyps unsigned sind! /** * Liefert Digit (base 10) an Position pos */ private static int getdigit(int val, int pos) { return (int) ((val / Math.pow(10, bitpos)) % 10); } Aber: char ist ein 8-bit Datentyp der nach int [0... 2] gecastet werden kann: char a in ascii: als int: 97 Extrahiere Bitwert von char c an Indexposition i: return ((c >> i) & 1) Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 26

27 RadixExchangeSort Methode: gegeben ist das nach Binärschlüsseln (gleicher Länge) zu sortierende Feld a[1] a[n] dieses wird in Abhängigkeit des führenden Bits der binären Sortierschlüssel in zwei Teile aufgeteilt Alle Elemente, deren Schlüssel eine führende 0 haben, kommen in die obere/linke Teilfolge, alle Elemente deren Schlüssel eine führende 1 haben, kommen in die untere/rechte Teilfolge Ähnlich zum QuickSort erfolgt diese Aufteilung In-Situ durch Vertauschen Teilfolgen werden rekursiv auf dieselbe Weise sortiert, wobei das nächste Bit von links als führendes Bit betrachtet wird Analyse: Wird für Schlüssel der Länge b+1 insgesamt (sb+1-1)-mal rekursiv aufgerufen maximale Rekursionstiefe ist b Bearbeitung (z.b.: Aufteilung) pro Rekursionsebene in linearer Zeit Komplexität: O( b N ) Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 27

28 Direkter RadixSort using BucketSort Stabiles Sortierverfahren für n Zahlen, wobei für jede Zahl n gilt: n {1, 2, 3,..., m}, für m = Anzahl an Buckets Komplexität: O(n + m) Algorithmus: Wähle m = Radix (entsprechend den zu sortierenden Zahlen) Für alle Digits Für alle Zahlen: Speichere Zahl in Bucket respektive der Digit Values (relative Reihenfolge). O(n) Füge Zahlen aus diversen Buckets wieder zu einer Liste zusammen (relative Reihenfolge). O(m) BucketSort allein (d.h. nicht in Kombination mit RadixSort) kann auch verwendet werden ist allerdings aufgrund der hohen Anzahl an Buckets (einer pro Schlüssel) nicht effizient!! Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 28

29 Direkter RadixSort using BucketSort Sort (radix 3): 111, 20, 2012, 12, 2010, 120, 202, 2221, 0, 11 Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 29

30 Direkter RadixSort using BucketSort Sort (radix 3): 101, 20, 2012, 12, 2010, 120, 202, 2221, 0, 11 Merge: 20, 2010, 120, 0, 101, 2221, 11, 2012, 12, 202 Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 30

31 Direkter RadixSort using BucketSort Sort (radix 3): 101, 20, 2012, 12, 2010, 120, 202, 2221, 0, 11 Merge: 20, 2010, 120, 0, 101, 2221, 11, 2012, 12, 202 Merge: 0, 101, 202, 2010,11, 2012, 12, 20, 120, 2221 Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 31

32 Direkter RadixSort using BucketSort Sort (radix 3): 101, 20, 2012, 12, 2010, 120, 202, 2221, 0, 11 Merge: 20, 2010, 120, 0, 101, 2221, 11, 2012, 12, 202 Merge: 0, 101, 202, 2010,11, 2012, 12, 20, 120, 2221 Merge: 0, 2010, 11, 2012, 12, 20, 101, 120, 202, 2221 Result: 0,11, 12, 20, 101, 120, 202, 2010, 2012, 2221

33 Übung 3: Bsp1 Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 33

34 Übung 3: Bsp2 Algorithms & Datastructures 2 // (Digital) Sorting // 34

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