7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson

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1 53 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson Es gibt einige Sätze aus der elementaren Zahlentheorie, die Spezialfälle von Aussagen über endliche Gruppen sind. Z.B. gilt für ein beliebiges Element x einer (multiplikativen) Gruppe G mit n Elementen, dass x n = e. Daraus folgt der Satz von Fermat, der besagt, dass für eine Primzahl p und jede nicht durch p teilbare ganze Zahl x gilt x p 1 1modp. Da sich mit Hilfe des Potenzierungs-Algorithmus auch hohe Potenzen schnell berechnen lassen, kann man diese Aussage dazu benützen, um von einigen Zahlen zu beweisen, dass sie keine Primzahlen sind. Wir beweisen zunächst einige einfache Sätze über endliche Gruppen, aus denen sich interessante zahlentheoretische Aussagen ableiten lassen. Es sei daran erinnert, dass für eine endliche Gruppe G die Anzahl ihrer Elemente die Ordnung von G heißt und mit ord(g) bezeichnet wird Satz (Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann ist ord(h) ein Teiler von ord(g). Bezeichnung. Der ganzzahlige Quotient [G : H] := ord(g) ord(h) heißt der Index von H in G. Beweis. Sei g G ein beliebiges Element. Die Menge gh := {gh : h H} heißt Linksnebenklasse von H. Es ist klar, dass jede Linksnebenklasse von H ebenso vieleelementewieh hat, d.h. Card(gH) =ord(h)für alle g G. Wir zeigen jetzt, dass für zwei Nebenklassen g 1 H und g 2 H genau einer der beiden folgenden Fälle eintritt: (i) g 1 H = g 2 H (ii) g 1 H g 2 H =. Tritt Fall (ii) nicht ein, so gibt es ein a g 1 H g 2 H, also Elemente h 1,h 2 G mit a = g 1 h 1 = g 2 h 2, woraus folgt g1 1 g 2 = h 1 h 1 2 H. Seinunx g 1 H beliebig vorgegeben. Dann ist x = g 1 y mit einem y H, also x = g 1 (g 1 1 g 2)(h 1 h 1 2 ) 1 y = g 2 (h 2 h 1 1 y) g 2H. Damit ist bewiesen g 1 H g 2 H. Aus Symmetriegründen folgt ebenso g 2 H g 1 H, also gilt (i). Nun lässt sich der Beweis des Satzes von Lagrange schnell zu Ende führen. Nach dem gerade Bewiesenen ist die Gruppe G disjunkte Vereinigung endlich vieler Linksnebenklassen x 1 H,...,x r H, woraus folgt ord(g) =r ord(h). Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 O. Forster, Algorithmische Zahlentheorie, DOI / _7

2 54 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson 7.2. Corollar. Sei G eine endliche Gruppe und x G. Dannistord(x) ein Teiler von ord(g). Denn ord(x) ist gleich der Ordnung der von x erzeugten Untergruppe x G Satz. Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt für jedes Element x G x ord(g) = e. Beweis. Nach Corollar 7.2 gibt es eine ganze Zahl r mit ord(g) = ord(x)r. Daraus folgt x ord(g) =(x ord(x) ) r = e r = e Satz (Fermat). Sei p eine Primzahl. Dann gilt für jede nicht durch p teilbare ganze Zahl a a p 1 1modp. Beweis. Wir können a, genauer a mod p, als Element der multiplikativen Gruppe (Z/pZ) = F p auffassen, die aus p 1 Elementen besteht. Die Behauptung folgt daher aus Satz 7.3. Bemerkung. Satz 7.4 wird manchmal als der kleine Satz von Fermat bezeichnet. Als den großen Satz von Fermat bezeichnet man die Behauptung von Fermat, dass die Gleichung x n + y n = z n für n 3 keine ganzzahligen Lösungen mit xyz 0 besitzt. Dies war 300 Jahre lang nur eine Vermutung, bevor diese Behauptung 1995 von Andrew Wiles [wiles] bewiesen werden konnte. Will man eine Kongruenz der Gestalt a p 1 1modp numerisch nachrechnen, so ist es natürlich nicht sinnvoll, zunächst a p 1 auszurechnen und erst dann die Restklasse mod p zu bestimmen, da a p 1 vielzugroßwerdenkönnte. Vielmehr sollte man bereits während der Berechnung von a p 1 laufend modulo p reduzieren. Die folgende Aribas-Funktion mod_power berechnet allgemein x n mod M für ganze Zahlen x, n, M mit n 0, M > 0. Der Code ist bis auf die Reduktion modm identisch mit dem der Funktion power aus 2. function mod_power(x,n,m: integer): integer; var k, pow: integer; begin if n = 0 then return 1; end; pow := x; for k := bit_length(n)-2 to 0 by -1 do pow := (pow * pow) mod M; if bit_test(n,k) then pow := (pow * x) mod M; end; end;

3 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson 55 return pow; end. Wir wollen als Beispiel eine Rechnung mit der 5. Fermatzahl F 5 anstellen. Die Fermatzahlen haben die Gestalt F n =2 2n + 1. Fermat hatte behauptet, alle diese Zahlen seien prim. Das ist leicht nachzuprüfen für F 0 =3,F 1 =5,F 2 = 17, F 3 = 257 und F 4 = Die Zahl F 5 ist bereits wesentlich größer. ==> F5 := 2** : 42949_67297 Es ist also nicht mehr so leicht zu sehen, ob das eine Primzahl ist. Wäre dies der Fall, könnten wir den kleinen Satz von Fermat anwenden. ==> mod_power(2,f5-1,f5). -: 1 Dies Ergebnis ist also mit der Hypothese verträglich, dass F 5 eine Primzahl ist. Aber mit der 3 als Basis erhalten wir ==> mod_power(3,f5-1,f5). -: Das zeigt, dass F 5 keine Primzahl sein kann. Durch den kleinen Satz von Fermat wird also die Vermutung über die Fermat schen Primzahlen widerlegt. Man muss jedoch Fermat zugute halten, dass er noch keine Computer zur Verfügung hatte. (Ohne Computer hat Euler gezeigt, dass F 5 nicht prim ist, denn es besitzt den Teiler 641.) Bemerkung. Da Rechnungen wie x n mod M in der algorithmischen Zahlentheorie häufig vorkommen, wird von Aribas eine Eingabe x**n mod M automatisch nach dem obigen Algorithmus bearbeitet. Beispiel: ==> 5**(F5-1) mod F5. -: Wir werden auf die Frage, inwieweit der kleine Satz von Fermat für Primzahltests geeignet ist, in 10 zurückkommen. Ein interessanter Aspekt des Satzes von Fermat ist folgender: Sei p eine ungerade Primzahl und a zu p teilerfremd. Dann gilt (a (p 1)/2 ) 2 1modp. Da die Gleichung x 2 =1imKörper F p nur die Lösungen x = ±1 hat, folgt also a (p 1)/2 ±1modp

4 56 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson und es stellt sich die Frage, welcher der beiden Fälle auftritt. Mit diesem Problem werden wir uns in 11 beschäftigen. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Fermat ist 7.5. Satz (Euler). Sei m 2 eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu m teilerfremde ganze Zahl a a ϕ(m) 1modm. Beweis. Dies folgt mit Satz 7.3 daraus, dass ord((z/mz) )=ϕ(m). Beispiel. Als eine kleine Anwendung des Satzes von Euler wollen wir die letzten zwei Dezimalstellen der Zahl P := berechnen. (Dies ist eine sehr große sog. Mersenne sche Primzahl, vgl. 17.) Dazu muss also 2 q mod 100 berechnet werden, wobei q := Weil 2 und 100 nicht teilerfremd sind, ist der Satz von Euler nicht direkt anwendbar. Da 100 = 4 25, genügt es nach dem chinesischen Restsatz die Potenz modulo 4 und modulo 25 zu berechnen. Offensichtlich ist 2 q 0mod4. Zur Berechnung modulo 25 verwenden wir den Satz von Euler. Da ϕ(25) = 20 und q 13 mod 20, folgt 2 q 2 13 mod 25. Nun ist 2 13 = 8192, also 2 q 92 mod 25. Da 92 0 mod 4, gilt sogar 2 q 92 mod 100. Die letzten beiden Dezimalstellen von P =2 q 1 lauten also Satz (Wilson). Eine natürliche Zahl p 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn (p 1)! 1modp. Beweis. a) Sei zunächst vorausgesetzt, dass p prim ist. Der Fall p =2isttrivial,so dass wir p 3 annehmen können. Die Behauptung lässt sich so aussprechen, dass das Produkt über alle Elemente der multiplikativen Gruppe F p =(Z/pZ) = {1, 2,...p 1} gleich 1 =p 1 ist. Um dieses Produkt zu berechnen, fassen wir jedes Element x F p mit seinem Inversen x 1 zusammen. Es gilt x = x 1 in F p genau dann, wenn x 2 =1,d.h.x = ±1 ist. (Hier geht ein, dass p eine Primzahl, d.h. F p ein Körper ist.) Das Produkt über alle Elemente x F p {+1, 1} ist gleich 1, da jedes x zuammen mit seinem Inversen auftritt. Also ist das Gesamt-Produkt gleich (+1) ( 1) = 1. b) Sei p keine Primzahl, sondern besitze einen Teiler q mit 1 <q<p.dannist auch (p 1)! durch q teilbar, also nicht teilerfremd zu p. Aber 1 ist teilerfremd zu p, Widerspruch! Bemerkung. Obwohl der Satz von Wilson eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Primalität von p liefert, ist er für praktische Primzahltests ungeeignet,

5 7 Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson 57 da es für die Berechnung von (p 1)! mod p keinen schnellen Algorithmus gibt, der etwa mit dem Potenzierungs-Algorithmus vergleichbar wären. Aufgaben 7.1. Man bestimme die letzten 4 Dezimalstellen von a) Man zeige, dass für alle n Z gilt: n 97 n. b) Man bestimme die größte natürliche Zahl m, die alle Zahlen n 211 n teilt Für eine natürliche Zahl k 1istE(k) :=(10 k 1)/9 eine ganze Zahl, deren Dezimal-Entwicklung aus k Einsen besteht. Man zeige: a) Zu jeder Primzahl p 2, 5 gibt es unendlich viele Zahlen E(k) mitp E(k). b) Man gebe diese Zahlen konkret an für die Fälle p =7, 13, 31, Man beweise: Für alle Fermatzahlen F n =2 2n + 1 gilt 2 Fn 1 1modF n Man zeige: Ist m>4 keine Primzahl, so gilt (m 1)! 0modm Man beweise: Eine ungerade Zahl p 3 ist genau dann prim, wenn (( p 1 2 )!)2 ( 1) (p+1)/2 mod p.