Übungsserie 6: Rentenrechnung

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Finanzmathematik Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 6: Rentenrechnung 1. Gegeben ist eine in den Jahren nachschüssig zahlbare Rente mit der Jahresrate R = e. Zinszuschlag erfolgt jeweils am Jahresende mit i = 7% p.a. (a) Ermitteln Sie Barwert und Endwert der Rente. (b) Durch welche einmalige Zahlung könnte die Rente am äquivalent ersetzt werden? (c) Die gegebene Rente soll äquivalent umgewandelt werden in eine 10-malige Rente, deren erste Jahresrate am fällig ist. Wie hoch ist die Jahresrate? (d) Die gegebene Rente soll äquivalent ersetzt werden durch eine Rente mit der Jahresrate R = e/jahr, deren erste Rate am fällig ist. Wie viele Raten muß diese Rente besitzen? (e) Welcher effektiver Jahreszins muß zur Anwendung kommen, damit die gegebene Rente am den Wert von 1 Million e besitzt? 2. Ein Schuldner soll einen Kredit mit genau 10 Jahresraten zu je e (beginnend am ) zurückzahlen, i = 9% p.a. Da er die hohen Jahresraten nicht aufbringen kann, willigt die Bank auf eine Jahresrate von e ein, allerdings schon beginnend am Wie viele Jahresraten muß der Schuldner zahlen? 3. Ein Unternehmer setzt sich am mit e, zu 8% p.a. angelegt, zur Ruhe. (a) Welche gleichbleibende nachschüssige Rente kann er ab 2013 jährlich davon 16 Jahre lang abheben, so daß dann das Kapital aufgebraucht ist? (b) Welchen Betrag hat er am noch auf seinem Konto, wenn er ab 2011 jährlich vorschüssig e abhebt? (c) Wie lange kann er davon monatlich vorschüssig e abheben? 4. Ein Unternehmer hat sein Vermögen auf einem Konto angelegt, Kontostand mit Ablauf des : e. Drei alternative Verwendungsmöglichkeiten stehen für ihn zur Auswahl: (a) Gründung einer Stiftung, die - beginnend am (erste Ausschüttung am ) - jährlich eine stets gleichbleibende Summe (für ewige Zeiten) ausschüttet. Wie hoch ist die Jahresrate? (i = 5, 5% p.a.)

2 (b) Finanzierung einer Altersrente: Die erste Jahresrate in Höhe von e/jahr will er am abheben. Wann ist sein Konto leer? (i = 5, 5% p.a.) (c) Schenkung an seine beiden Neffen: Der erste Neffe soll am einen Betrag von e erhalten, der andere Neffe die gleiche Summe am Zu welchem Zinssatz müsste der Unternehmer - beginnend sein Kapital anlegen, damit er die Schenkung finanzieren kann? 5. Herr Huber will für sich und seine Familie ein Einfamilien-Reihenhaus mit Garten kaufen. Für die Zahlung des Kaufpreises bietet ihm der Verkäufer drei Zahlungsalternativen an: (a) e am ; beginnend am Raten zu e/jahr; danach 10 Raten zu e/jahr. (b) e am ; e am (c) e am ; Rest in 2-Jahres-Raten zu e/2 Jahre, beginnend am (insgesamt 12 Raten). Der Zinssatz beträgt bis zum % p.a., danach 6% p.a. Welche Alternative soll Herr Huber wählen, damit der Wert seiner Zahlung möglichst gering ist? 6. Herr B. hat sich ein neues Auto zugelegt und möchte das alte für e verkaufen. Auf seine Annonce meldet sich leider nur ein Interessent, der aber nach seiner Aussage nicht bar zahlen kann, sondern statt dessen monatliche Raten von 300 e (nachschüssig) anbietet. (a) Welche Laufzeit (aufgerundet auf ganze Monate) ergibt sich bei dieser Ratenzahlung, wenn ein Zinssatz von 6% p.a. zu Grunde gelegt wird? (b) Durch welche Sonderzahlung zum Verkaufstermin könnte die Ratenzahlung auf 24 Monatsraten beschränkt werden? (c) Verkäufer und Käufer einigen sich schließlich auf 24 Monatsraten zu je 300 e und e sofort. Welchem Barverkaufspreis entspricht dies? 7. Der Absolvent Frank Gambler plant langfristig die Finanzierung von Wohneigentum. Zu diesem Zweck zahlt er jährlich e in einen Aktienfond ein, für den er nach dem Prospekt seines Anlageberaters eine Rendite von 8, 5% erwartet. (a) Wie lange muß Frank sparen, um ein Kapital von e zu bilden, wenn die angegebene Rendite tatsächlich erreicht wird? Runden Sie auf ganze Jahre, Kapitalertragssteuern sind nicht zu berücksichtigen. (b) Nach 5 Jahren merkt Frank, daß die Rendite bisher statt der avisierten 8, 5% tatsächlich nur schlappe 6% beträgt, und ernüchtert geht er davon aus, daß sich das in den nächsten Jahren nicht ändern wird. Da sich sein Gehalt inzwischen ein wenig verbessert hat, will er die Verzögerung bei der Kapitalbildung

3 durch höhere Einzahlungen ausgleichen. Gleichzeitig korrigiert er seinen Zeitplan. Wieviel muß er vom Ende des 6. Jahres an jährlich einzahlen, um dann nach insgesamt 15 Jahren über e verfügen zu können? 8. Familie Mutig plant ihre Baufinanzierung. Zwei Varianten stehen zur Auswahl: (A) Abschluß eines Bausparvertrages mit monatlich nachschüssigem Ansparen von e über insgesamt 7 Jahre, wofür lediglich 2% p.a. Zinsen gezahlt werden. Nach 7 Jahren erhält Familie Mutig die bis dahin angesparte Summe und dazu noch einmal die gleiche Summe als Kredit, für den sie nur 3% p.a. Zinsen zahlen muß, und den sie ebenfalls mit e monatlich zurückzahlen möchte. (B) Anlage von monatlich nachschüssig e bei einem Zinssatz von 8% p.a., insgesamt ebenfalls 7 Jahre lang. Danach soll die gleiche Summe, wie bei Variante A zur Verfügung stehen, d.h. es ist auch in diesem Fall noch ein Kredit in Höhe des fehlenden Betrages aufzunehmen. Für diesen Kredit ist mit einem Zinssatz von 7, 5% zu kalkulieren. (a) Welche Summe steht der Familie nach 7 Jahren auf dem Bausparkonto zur Verfügung? (b) Wie viele Monate dauert die Rückzahlung des Kredites bei Variante A, wenn mit einer verminderten Abschlußannuität gerechnet wird, und wie hoch ist diese? (c) Welche monatliche Belastung hat Familie Mutig aus dem Kredit nach Variante B zu tragen, wenn die Rückzahlung genau so lange dauern soll wie bei Variante A? 9. Als Herr Meier an einem 1. Oktober stolzer Vater einer Tochter wird, sieht er sofort, daß diese einmal studieren wird. Da er sich aus gutem Grund nicht auf das BAFÖG verlassen will, beginnt er sofort zu sparen. Monatlich zahlt er (erstmals Ende Oktober) 300 e auf ein Sparbuch ein, für das er 4% p.a. Zinsen erhält. (a) Wie hoch ist das Sparguthaben am 18. Geburtstag seiner Tochter, an dem sie ihr Studium beginnt? (b) Wie hoch wäre das Guthaben, wenn er von dem Sparbuch nach 10 Jahren e abgehoben und diesen Betrag 5 Jahre später wieder eingezahlt hätte? (c) Wie lange kann die Tochter mit dem nach (a) berechneten Guthaben studieren, wenn sie zur Finanzierung ihres Studiums monatlich vorschüssig e abhebt, wobei zu berücksichtigen ist, daß die Zinsen an ihrem 20. Geburtstag von 4% auf 3% gesenkt werden? (d) Nachdem die Tochter ihr Grundstudium (2 Jahre) beendet hat, schätzt sie ein, daß sie ihr Studium in weiteren 4 Jahren sicher beenden wird. Welchen Betrag kann sie von nun an monatlich verbrauchen, wenn das Geld nur bis zum Ende des Studiums reichen soll? (Zinsänderung wie bei (c))

4 10. Ein Sparer beschloß am , ab sofort jeweils am Ende eines jeden Jahres 1 200e auf ein Konto einzuzahlen. Welcher Betrag steht ihm am zur Verfügung, wenn die Bank sein Guthaben mit 6% p.a. verzinst? 11. Zu seinem 55. Geburtstag an einem zahlt jemand e in eine Geldanlage ein. Die nächsten 10 Jahre bezahlt er monatlich nachschüssig 500e dazu. Über Wieviel Geld kann er bei Eintritt in das Rentenalter (mit 65 Jahren) verfügen, wenn der Zinssatz über die gesamte Zeit 5,5% p.a. betrug? 12. Herr Meier räumt Herrn Schulze ein Wegerecht auf alle Zeiten ein. Herr Schulze muss dafür auf unbegrenzte Zeit an Herrn Meier am Ende eines jeden Jahres 550e zahlen. Wie groß ist der Barwert dieser ewigen Rente, wenn mit i = 4% Jahreszinsen (zinseszinslich) gerechnet wird? 13. Jemand hat gegenüber einer Gesellschaft noch 15 Jahre lang (in der Zukunft) jeweils zum Jahresende eine Forderung von 2 000e. Die Firma hat inzwischen Konkurs angemeldet. Wie hoch ist die Forderung an den Konkursverwalter, wenn ein Zinssatz von 4% p.a. angenommen wird? 14. Zur Rentenzahlung stehe ein Kapital von e zur Verfügung, das monatlich mit 0,5% verzinst wird. Berechnen Sie (a) die höchstmögliche, nachschüssige ewige (monatliche) Rente, (b) die Laufzeit bei einer nachschüssigen monatlichen Rente von 1 200e (in ganzen Monaten), (c) den Restbetrag am Ende der unter (b) berechneten Laufzeit, (d) den Rentenbetrag, der gezahlt werden müßte, damit am Ende der unter (b) berechneten Laufzeit kein Restbetrag übrig bleibt. 15. Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über e ab. Bis zur Zuteilung in 6 Jahren sollen einschließlich aller anfallenden Zinsen 50% der Bausparsumme eingezahlt sein. (a) Welcher konstante Betrag muss monatlich vorschüssig 6 Jahre lang eingezahlt werden, wenn der jährliche Guthabenzins 2,5% beträgt? (b) Nach der Zuteilung wird ein Darlehen über e ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgt zu einem Jahreszinssatz von 4,5%. Welche monatliche nachschüssige Annuität muss gezahlt werden, damit das Darlehen in 6 Jahren getilgt ist?

5 Lösungen 1. (a) R n = , 71 e R 0 = , 23 e (b) , 31 e (c) , 65 e (d) 9, 31 Raten, d.h. 9 Raten zu e letzte Rate zu , 14 e ( ), (e) 13, 67% Raten zu je e letzte (20.) Rate zu 3 535, 85 e 3. (a) , 06 e (b) , 48 e (nach Abheben der 7. Rate), (c) 118 Monate zu e und eine Restzahlung 4. (a) , 64 e (b) n = 17, 3218, A 18 = , 62 e ( ), (c) 5, 10% 5. K 0(a) = , 97 e K 0(b) = , 93 e K 0(c) = , 67 e 6. (a) 37 Monate, (b) 3 220,19 e (c) 8 979,81 e 7. (a) 14 Jahre, (b) ,97 e 8. (a) ,74 e Guthaben, ( ,74 e Kredit), (b) 102 Monate, 2 776,43 e (c) 2 729, 13 e 9. (a) K 18 = , 10 e (b) ,95 e (c) 88,51 Monate, K 20 = , 17 e (d) 1 581,10 e d.h , 10 oder , ,95e ,14e e ,77e 14. (a) 1 000e, (b) 359 Monate, (c) 295,51e, (d) 1 200,295916e 15. (a) 321,80e,(b) 395,81e

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