Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie

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1 H. Brauner Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie Springer-Verlag Wien New York

2 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverfahren der Darstellenden Geometrie 1. Elementargeometrische Grundlagen 1.1. Grundbegriffe Lagebeziehungen Halbgeraden, Halbebenen, Halbräume; Orientierungen Abbildungen Ein Hilfssatz über die reellen Zahlen Messen im Anschauungsraum Längenmessung, Zahlenstrahl Teüverhältnisse, Strahlensatz Koordinaten, Vektoren Winkel, Orthogonalität Winkelmaße Abstandmaße Spezielle geometrische Abbildungen Ähnlichkeiten, Kongruenzen Spiegelungen, Schiebungen, Drehungen Orientierte Winkel Stetige Schiebungen, stetige Drehungen Affinitäten Zylinder, Kegel, Kugeln Kurven, Tangenten Krümmungskreise ebener Kurven Zylinder und Kegel Kugeln Parallelprojektion 2.1. Grundbegriffe der Parallelprojektion Abbildungsvorschrift, Eigenschaften einer Parallelprojektion Parallelriß einer Kurve, Konturpunkte einer Fläche Aufnahmesituation einer Parallelprojektion, Zeiehenmaßstab Grundriß, Aufriß, Kreuzriß Parallelriß ebener Figuren Parallelperspektivitäten Perspektive Affinitäten Konstruktive Behandlung einer Perspektiven Affinität Axonometrie Parallelriß eines kartesischen Rechtssystems Hauptsatz der Axonometrie Verzerrungswinkel Spezielle axonometrische Angaben Verwendung perspektiver Affinitäten zur Ermittlung axonometrischer Risse Einschneideverfahren Einschneidehilfsrisse zu einer axonometrischen Angabe Normalprojektion Eigenschaften einer Normalprojektion Normalrisse von drei paarweise orthogonalen Geraden durch einen Punkt Verzerrungsverhältnisse bei Normalprojektion Normale Axonometrie Einschneideverfahren der normalen Axonometrie...., Lösung stereometrischer Aufgaben mit Hilfe von Normalprojektionen 3.1. Gepaarte Normalrisse, Seitenrisse Erstprojizierende und zweitprojizierende Geraden und Ebenen, erste und zweite Hauptebenen und Hauptgeraden Normalprojektionen mit orthogonalen Sehgeraden Seitenrisse Zugeordnete Normalrisse Anordnung von Normalrissen beim Technischen Zeichnen Lageaufgaben in gepaarten Normalrissen, spezielle Seitenrisse Konstruktive Behandlung der Geraden 71

3 Inhaltsverzeichnis Konstruktive Behandlung der Ebenen Sohnittaufgaben Spezielle Seitenrisse Konstruktion eines Normalrisses nach dem Durchschnittverfahren Maßaufgaben in gepaarten Normalrissen (Ml) Messen in einer Geraden (M2) Messen in einer Ebene (M3) Orthogonale Lage einer Geraden und einer Ebene Winkel- und Abstandmaße Maßaufgaben in Axonometrie Würfelschnittaufgabe von RUPRECHT Prismenschnittaufgabe von L'HTJILIEB Beweis des Satzes von POHLKE Kotierter Grundriß Punkte und Geraden Ebenen Maßaufgaben Böschungskegel (M2) Messen in einer Ebene (M3) Orthogonale Lage einer Geraden und einer Ebene Beispiel Axonometrische Methode der Perspektive Zentralriß eines kartesischen Rechtssystems Horizontale Blickachse Nicht horizontale Blickachse Paralleldrehen einer Koordinatenebene Konstruktionshilfen Beispiele Zentralaxonometrie Entzerrung eines Zentralrisses Rekonstruktion einer ebenen Figur mit Hilfe eines MÖBius-Netzes Rasterverfahren Rekonstruktion einer ebenen Figur mit Hilfe von Meßpunkten Einbildfotogrammetrie Zentralprojektion (Perspektive) 4.1. Projektive Erweiterung des Anschauungsraumes Abbildungsvorschrift der Zentralprojektion Fernpunkte, Ferngeraden Projektion aus dem projektiven Raum Zentralriß einer Kurve, Konturpunkte einer Fläche Doppelverhältnisse Kollineationen projektiver Ebenen Zentralriß ebener Figuren Perspektivitäten Perspektive Kollineationen Konstruktive Behandlung einer Perspektiven Kollineation Konstruktion eines Zentralrisses aus gepaarten Normalrissen Aufnahmesituation einer Zentralprojektion Durchschnittverfahren Architektenanordnung Numerische Perspektive Lageaufgaben und Maßaufgaben Schnittbedingung, Sichtbarkeit Lösung der Lageaufgaben mit Hilfe von Spur- und Fluchtelementen Lageaufgaben im Zentralriß und Zentralgrundriß Achsenebenen einer Zentralprojektion (Ml) Messen in einer Geraden 119 Spezielle Kurven und Flächen 5. Kegelschnitte 5.1. Ellipsen, Normalriß eines Kreises Ellipsendefinition Ellipse als Normalriß eines Kreises Planimetrische Konstruktion einer Ellipse Konstruktion des Normalrisses eines Kreises Parallelriß einer Ellipse Konjugierte Durchmesser Eine Ellipsenkonstruktion Anwendung einer Affinität auf eine Ellipse Beispiele Hyperbeln Hyperbeldefinition Planimetrische Konstruktion einer Hyperbel Anwendung einer Affinität auf eine Hyperbel Parabeln Parabeldefinition Planimetrische Konstruktion einer Parabel Anwendung einer Affinität auf eine Parabel Beispiel 169

4 Inhaltsverzeichnis Ebene Schnitte von Kreiskegeln Ebene Schnitte eines Drehkegels Beispiele Ebene Schnitte eines Böschungskegels Ebene Schnitte eines Kreiskegels Quadratische Varietäten einer Ebene Definition Bestimmung aller quadratischen Varietäten einer Ebene Projektive Kegelschnitte Fernpunkte projektiver Kegelschnitte Anwendung einer Kollineation auf einen projektiven Kegelschnitt Zentralriß eines projektiven Kegelschnitts, insbesondere eines Kreises Beispiele Polarsystem eines projektiven Kegelschnitts Elementare Flächen 6.1. Polyeder Definitionen, Beispiele Netze von Polyedern Reguläre Polyeder Existenz und Eindeutigkeit der fünf regulären Polyeder Der EtrLEBSche Polyedersatz Kugeln Grundkonstruktionen, Parallelumriß einer Kugel Ebene Schnitte von Kugeln Beispiele Schnitt zweier Kugeln Axonometrischer Umriß einer Kugel Zentralumriß einer Kugel Drehflächen Breitenkreise und Meridiane Meridianriß, Hauptriß Parallelumriß einer Drehfläche Ebene Schnitte von Drehflächen Drehquadriken Beispiele Regeldrehflächen Beispiele Drehparaboloide Schiebflächen Schiebkurven einer Schiebfläche Parallelumriß einer Schiebfläche Paraboloide Schnitte von Flächen Punkte und Tangenten einer Schnittkurve Schnitte von Kegeln und Zylindern Spezielle Schnitte von Drehzylindern und Drehkegeln Schnitte einer Kugel mit einem Kegel oder Zylinder Spezielle Schnitte einer Kugel mit einem Kreiszylinder oder Kreiskegel Konstruktion von Schnittkurven nach, der Kugelmethode Spezielle Schnitte eines Torus Konstruktive Differentialgeometrie 7.0. Hilfssätze aus der Analysis reeller Funktionen Kurven Schmiegebene, Krümmung Reguläre Kurvenstücke Eigenschaften regulärer Kurvenstücke Bogenlänge, Rektifikation, kanonische Darstellung Krümmungskreise ebener Kurven Ebene Varietäten Flächen Reguläre Flächenstücke Varietäten Krümmungskreise regulärer Kurvenstücke in regulären Flächenstücken Einteilung der Flächenpunkte Duprasche Indikatrix Schnitte berührender Flächen Ergänzungen für Zylinder und Kegel DrrPiNsche Indikatrix von Zylindern und Kegeln Anwendung auf die Projektion von Kurven und die Kontur von Flächen Beispiele Abwicklung von Zylindern und Kegeln Näherungsweise Konstruktion der Verebnung eines Zylinders oder Kegels Ergänzungen für Drehflächen und Schiebflächen Regularität von Drehflächen, Scheitel von Schnittkurven Kontur von Drehflächen, Normalumriß eines Torus DuPiNsche Indikatrix von Drehflächen Beispiele Schiebflächen Beispiele Schraubfläehen 8.1. Schraubungen Stetige Schraubungen 314

5 Inhaltsverzeichnis Schraublinien Drehfluchtpunkte und Drehfluchtgeraden Sehraubflächen Querschnitte, Meridiane Meridianriß, Hauptriß Kreisschraubflächen Gerade Regelschraubflächen Schiefe Regelschraubflächen Gewinde Regelflächen 9.1. Torsale Regelflächen Regularität von Regelflächen Torsale Erzeugenden Tangentenflächen Abwicklung von Tangentenflächen Duprasche Indikatrix von Tangentenflächen Verbindungstorsen Böschungsflächen Windschiefe Flächen Tangentialebenen in den Punkten einer nichttorsalen Erzeugenden Konoidale Flächen HP-Flächen Beispiel Quadratische Varietäten Quadriken Definition, Beispiele Die krummen quadratischen Varietäten Mittelpunktquadriken Ellipsoide, zweischalige Hyperboloide Einsehalige Hyperboloide Beispiele Spezielle Schnitte quadratischer Varietäten Einheitliche Behandlung der ebenen Schnitte einer krummen quadratischen Varietät Quadratische Varietäten mit einem gemeinsamen Kegelschnitt Schnitte quadratischer Varietäten, die eine gemeinsame Symmetrieebene besitzen Beispiel 377 Literaturverzeichnis 378 Sachverzeichnis 379