Differentialgeometrie II (Flächentheorie) WS

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1 Differentialgeometrie II (Flächentheorie) WS Lektion Oktober 2013 c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

2 Organisatorisches Allgemeines Dozentin: Dr. Darya Apushkinskaya Geb. E2 4, Zi. 433 Sprechstunde: Fr. 10:30-11:30 Uhr oder nach Vereinbarung Übungsleiterin: Tina Rohrbacher Informationen zur Vorlesung: c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

3 Organisatorisches Übungsbetrieb Übungsbetrieb: Übungsblätter: mittwochs auf der Vorlesungswebseite (ab dem ) Abgabe: 1 Woche später mittwochs vor der Vorlesung Abgabe in Teams bis zu 2 Personen Übungen werden korrigiert und mit Punkten bewertet 1. Übungstermin: Mo c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

4 Organisatorisches Klausurzulassung Voraussetzungen für die Klausurzulassung: 50% der Übungspunkte maximal zwei Blätter weniger als 25 % aktive Teilnahme an den Übungen c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

5 Organisatorisches Klausuren Klausuren: Je nach Teilnehmerzahl werden eine mündliche Prüfung oder eine Abschlussklausur angeboten oder Ohne Abschlussprüfung. Abschlussnote ergibt sich aus den Noten der Präsenzübungen und aus den Punkten der Übungsblätter c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

6 Organisatorisches Vorlesungsthemen Vorlesungsthemen: 1 Elementare Konzepte wie der Begriff der Tangentialebene, Beispielflächen; 2 Definition und Eigenschaften der Gauß-Abbildung; 3 Krümmungsbegriffe für Flächen; 4 Flächen als zweidimensionale Mannigfaltigkeit in R 3 ; 5 Die innere Geometrie von Flächen; 6 Globale Aussagen der Flächentheorie. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

7 Organisatorisches Script Script: Es ist geplant, ein Script im Nachgang zur Vorlesung online bereit zu stellen. Dies ist keine Fernstudiumsveranstaltung!!! Script und Webseite ersetzen nicht den Vorlesungsbesuch!!! In der Vorlesung und in den Übungen können jederzeit zusätzliche wesentliche Informationen gegeben werden, die nicht online abrufbar sind. Es ist in Ihre Verantwortung gestellt, sich diese Informationen zu verschaffen. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

8 Organisatorisches Maple Maple: Gelegentlich wird es sich anbieten, Beispiele und Übungsaufgaben mit dem Computeralgebrasystem MAPLE anzusehen und zu bearbeiten. Auf den Rechnern des CIP-Pools läuft neuerdings die aktuelle Version MAPLE 17. Die Campuslizenz der Universität für MAPLE erlaubt seit kurzem auch Studierenden, kostenlos MAPLE zu beziehen und auf ihren persönlichen Computern zu installieren. Informationen hierzu erhalten hier c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

9 Organisatorisches Literatur Literatur: Manfredo P. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Braunschweig; Wiesbaden : Vieweg, Cristian Bär, Elementare Differentialgeometrie. de Gruyter, Jost-Hinrich Eschenburg und Jürgen Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

10 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

11 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Die Theorie differenzierbarer Kurven fasst die Kurven als Abbildungen α : R I R 2 oder R 3 auf. Wir übertragen diesen Standpunkt sinngemäß auf Flächen und betrachten zunächst global parametrisierte Flächen. Später erweitern wir diese Vorstellung und definieren Flächen als Punktmengen in R 3, die lokal parametrisiert werden können. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

12 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Definition 1.1 (parametrisierte Flächen) Sei Ω R 2 offen. a) Eine (beliebig oft) differenzierbare Abbildung X : Ω R 3 heißt parametrisiertes Flächenstück bzw. Fläche, falls gilt (1) Für alle (u, v) Ω hat die Ableitung maximalen Rang (= 2). DX(u, v) : R 2 R 3 (2) X ist injektiv und X 1 : X (Ω) Ω ist stetig. b) Der Untervektorraum DX(u, v) ( R 2) heißt in diesem Fall Tangentialebene an X in (u, v), seine Elemente heißen Tangentenvektoren an X in (u, v). c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

13 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Bemerkungen DX(u, v) wird repräsentiert durch die Matrix (X u X v )(u, v) mit den Vektoren X u := X u und X v := X v. Die Rangbedingung besagt, dass X u und X v an jeder (u, v) des Parametergebiets Ω linear unabhängig sind. Man schreibt T (u,v) X für die Tangentialebene und hat die Darstellung T (u,v) X = {λx u (u, v) + µx v (u, v) : λ, µ R}. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

14 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Bemerkung Sei (u 0, v 0 ) fixiert in Ω, ξ := X(u 0, v 0 ) R 3. Man setzt T (u0,v 0 )X := { } α (0) : α : (ε, ε) R 3 Kurve mit Spur α X(Ω), α(0) = ξ, d.h. man betrachtet die Tangentenvektoren an Kurven mit Spur in X(Ω) durch ξ. Dann T (u0,v 0 )X = T (u0,v 0 )X. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

15 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Bemerkung Der Satz über die inverse Abbildung liefert bei entsprechender Anwendung, dass X : Ω R 3 alleine mit a) (1) zumindest lokal injektiv ist und lokal eine stetige Inverse hat. Das bedeutet nicht die globale Inejktivität von X, die Fläche kann Selbstdurchschneidungen haben, was wir mit a) (2) ausschließen. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

16 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Beispiel: parametrisierte Ebene Beispiel: parametrisierte Ebene Seien A, B, C R 3 und X : R 2 (u, v) C + ua + vb. Dann ist DX(u, v) = (AB), also: Rg DX(u, v) = Rg (AB), und der Rang ist maximal genau dann, wenn A und B linear unabhängig sind. Nehmen wir dies an, so ist X natürlich injektiv, also eine parametrisierte Fläche. Offenbar gilt Bild (X) = {ua + vb + C : u, v R} = affine Hyperebene durch C. An jeder Stelle (u, v) ist dagegen T (u,v) X = {λa + µb : λ, µ R}, denn Tangentialebenen gehen per Definition immer durch 0 R 3. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

17 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Beispiele: parametrisierte Graphen Beispiele: parametrisierte Graphen Es sei Ω R 2 offen und f : Ω R differenzierbar. Wir definieren die Graphenabbildung X : Ω (u, v) (u, v, f (u, v)). Dann ist X eine parametrisierte Fläche im Sinne der Definition 1.1. Differenzierbarkeit und Injektivität sind klar. ( ) ( ) X u = 1, 0, f u und X v = 0, 1, f v, so dass X u und X v überall l.u. sind. Für die Tangentialebene gilt { ( T (u,v) X = λ 1, 0, f ) ( + µ 0, 1, f ) } : λ, µ R u v {( = λ, µ, λ f u + µ f ) } : λ, µ R v c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

18 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Beispiele: parametrisierte Graphen Beispiele-Fortsetzung c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

19 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Beispiele: parametrisierte Graphen Beispiele - Fortsetzung c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20

20 1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe Beispiele: parametrisierte Graphen Definition 1.2 (Umparametrisierung) Sei X : Ω R 3 eine Fläche. Ist Ω R 2 offen und ϕ : Ω Ω ein Diffeomorphismus, so heißt X : Ω R 3, X = X ϕ, die mit ϕ umparametrisierte Fläche. Ist Det (Dϕ) > 0, so heißt die Umparametrisierung orientierungstreu. c Daria Apushkinskaya 2013 () Flächentheorie: Lektion Oktober / 20