Tag der Mathematik 2014

Transkript

1 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden ufgaben mit en

2 ufgabe G1 mit ufgabe G1 Im Dreieck sei P auf. Für Q auf und R auf sei PQ bzw. RQ. Wie muss x := P gewählt werden, damit die Fläche (x) des Parallelograms PQR maximal wird? R (x) x P Q Da die Dreiecke und PQ ähnlich sind, gilt h 1 c x = h c, und somit h 1 = h (c x) c R h Q und h 1 (x) = x h 1 = h ) (cx x 2 = h c c ( ( c 2 ) 2 ( c ) ) 2 x. 2 x P c x (x) ist maximal für x = c 2, also ist P der Mittelpunkt von.

3 ufgabe G2 mit ufgabe G2 Gegeben sind die Parabeln y = x 2 und y = (x 4) 2. Gesucht ist die Gerade y = mx + b, m 0, die Tangente an beide Parabeln ist. Seien P(p p 2 ) und Q(q (q 4) 2 ) die erührpunkte. us m = p2 + (q 4) 2 p q und der Parabelsteigung m = 2p = 2(q 4) folgt ( m ) 2 ( 2 + m ) 2 2 m = m ( m + 4) 2 2 und somit m = 8, p = 4 und q = 0. lso ist P(4 16), Q(0 16) und y = 8x 16. y Q P y = mx + b x

4 ufgabe G3 mit ufgabe G3 D Gegeben ist ein Quadrat D. Sei E der Mittelpunkt von und P der Fußpunkt des Lotes von auf DE. P E Zeigen Sie: P =. 1. : Im Koordinatensystem mit (0 0) und (a 0) hat die Gerade durch D(0 a) und E(a a) die Gleichung y = 1 x + a und die Gerade durch und P die Gleichung y = 2 2 2x. y D P lso ist P( 2 5 a 4 5 a) a E und P 2 = ( a 2 5 a) 2 + (4 5 a) 2 = a 2. a x 2. : Sei F der Schnittpunkt von DE mit. Dann ist = F und P liegt auf dem Halbkreis über F. lso ist P =. D P E F

5 ufgabe G4 mit ufgabe G4 In einem Quadrat (Seitenlänge 1) ist ein Netz aufgespannt, das begrenzt wird von vier gleichen Parabelbögen durch die Ecken des Quadrats, das heißt die ögen sind symmetrisch zu den Diagonalen des Quadrats. erechnen Sie die Fläche des Netzes. Im Koordinatensystem sind die Ecken des Quadrats (0 0), (1 0), (1 1) und (0 1). Die Parabel durch (0 0) und (1 0) hat die Gleichung y = a x(x 1) und die Steigung y = a (2x 1). Für x = 0 ist y = 1, also gilt a = 1. Die Fläche der Parabel y = x(x 1) = x x 2 oberhalb der x-chse ist 1 0 [ x (x x 2 2 )dx = 2 x 3 3 ] 1 0 = = 1 6. y (0 1) (1 1) (0 0) (1 0) x lso ist die Netzfläche = 1 3.

6 ufgabe E1 mit ufgabe E1 Für welche a und b ist die Gerade g : 2x + 3y = a Tangente an die Parabel y = bx 2 im Punkt mit x = 3? Die Gerade g hat die Steigung 2. 3 Die Parabel hat für x = 3 die Steigung 2b 3. us 2 = 6b folgt b = Die Parabel y = 1x 2 geht durch (3 1). 9 y x lso ist a = ( 1) = 3.

7 ufgabe E2 mit ufgabe E2 Peter kauft mehrere Kilo prikosen um daraus Dörrobst zu machen. Eine prikose besteht zu 80% aus Wasser. Die prikosen werden so lange getrocknet bis sie nur noch 50% Wasser enthalten. ei diesem Dörrprozess verdunsten 12 l (dies entspricht 12 kg) Wasser. Wie viel wogen die prikosen vor dem Trocknen? Sei m das ursprüngliche Gewicht der prikosen (in kg). Davon waren 8 2 m Wasser und m Trockenmasse Nach dem Trocknen wogen die prikosen m 12 und das verbliebene Wasser war 8 10 m lso gilt m 12 = (m 12) Hieraus folgt m = 20 (kg).

8 ufgabe E3 mit ufgabe E3 Wählen Sie in der Multiplikationstabelle zwei Zahlen in der Diagonalen aus (dies sind Quadratzahlen), z.. 4 und 25, und dann die beiden Zahlen, die in der gleichen Zeile und Spalte stehen, also 10, 10. ddieren Sie die beiden Quadrate, bilden Sie deren Differenz und addieren Sie die beiden anderen Zahlen: a := 25 4 = b := = 20 und c := = 29. Dann sind a, b und c Pythagoräische Zahlen: = a) Wählen Sie 1 und 36 und berechnen Sie a, b und c. Gilt auch diesmal a 2 + b 2 = c 2? b) Welche zwei Quadratzahlen aus der Tabelle ergeben das Tripel (i) (3, 4, 5) (ii) (5, 12, 13) (iii) (7, 24, 25)? c) Welches Tripel a, b, c erhält man mit den Quadratzahlen p 2 und q 2? a) a = 36 1, b = 6 + 6, c = Es gilt = b) (i) 1, 4 (ii) 4, 9 (iii) 9, 16 c) a = p 2 q 2, b = 2pq und c = p 2 +q 2. Es gilt (p 2 q 2 ) 2 +(2pq) 2 = (p 2 +q 2 ) 2.

9 ufgabe E4 mit ufgabe E4 R 1 R 2 h Gegeben sind zwei Geraden g und h, die im Schnittpunkt O senkrecht aufeinander stehen, und zwei Rechtwinkelhaken R 1 und R 2, die so in g und h eingepasst werden, dass O = 1 und O = 2 gilt. Sei x := O und y := OD. y 1 D O x g erechnen Sie x und y. 2 D 1. : Die Dreiecke OD, DO und O sind ähnlich. lso gilt y 1 = x y = 2 x. y 1 O 2 x Hieraus folgt x = y 2, x y = 2 und 2y = x 2. lso x 3 = 4 und y 3 = 2 bzw. x = 3 4 und y = : Der Höhensatz in den rechtwinkligen Dreiecken D und D ergibt y 2 = 1 x bzw. x 2 = y 2. Hieraus folgt x = 3 4 und y = 3 2.

10 ufgabe H1 mit ufgabe H1 Gegeben ist die Folge a 1 = 3, a 2 = 5, a n+2 = a n+1 a n, n 1. erechnen Sie a Die ersten acht Folgenglieder sind 3, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 5. lso hat die Folge die Periode 6. Es gilt 2014 = , also ist a 2014 = a 4 = 3.

11 ufgabe H2 mit ufgabe H2 Im Koordinatensystem sei F(0 1). Wo liegen alle Punkte P(x y), die von F und der x-chse den gleichen bstand haben? us y = (y 1) 2 + x 2 folgt y = 1 2 x , also liegt P auf einer Parabel.

12 ufgabe H3 mit ufgabe H3 In der bbildung rechts ist = = 4 und = Die eingefärbte Fläche wird begrenzt durch den Halbkreis über und den Viertelkreis um durch und. Wie groß ist die eingefärbte Fläche? = = 4 2. Fläche des Dreiecks : = 8. Fläche des Viertelkreises: 1 4 π 42 = 4π. Fläche des Halbkreises: 1 2 π ( )2 = 4π. Eingefärbte Fläche: 4π (4π 8) = 8.

13 ufgabe H4 mit ufgabe H4 Seien und die Flächen von zwei Dreiecken mit den Seiten 25, 25, 30 bzw. 25, 25, 40. erechnen Sie. Es ist = = 300.

14 ufgabe H5 mit ufgabe H5 Wie viele positive ganze Zahlen sind Teiler von 2014? Hinweis: 53 ist ein Teiler. Es gilt 2014 = Jeder Teiler hat die Form 2 a 19 b 53 c mit a, b, c {0, 1}. lso gibt es = 8 Teiler.

15 ufgabe H6 mit ufgabe H6 Lösen Sie die Gleichung x x + 10 = 12. Mit y := 4 x + 10 folgt y 2 + y = 12, also 0 = y 2 + y 12 = (y + 4)(y 3). Wegen y > 0 ist y = 3 und x = = 71.

16 ufgabe H7 mit ufgabe H7 Die bbildung zeigt einen großen Würfel, der aus 4 3 = 64 kleinen Würfeln besteht. Wie viele dieser kleinen Würfel sind in der bbildung sichtbar? = = 37.

17 ufgabe H8 mit ufgabe H8 Die bbildungen zeigen eine Folge gleichseitiger Dreiecke, die durch Mittellinien in kleinere Dreiecke unterteilt werden. Dabei wird immer das Dreieck mit der Ecke durch seine Mittellinien in vier weitere Dreiecke zerteilt. us wie vielen Dreiecken besteht die 10. Figur? Hinweis: Die 3. Figur besteht aus sieben Dreiecken. Die ersten vier abgebildeten Figuren bestehen aus 1, = 4, = 7 und = 10 Dreiecken. lso besteht die 10. Figur aus 1 + (10 1) 3 = 28 Dreiecken.