Kapitel 2. Terme. oder (x + 1)(x 1) = x 2 1

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1 Kapitel 2 Terme Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme / 74 Terme Ei mathematischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x 2 heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke auf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethalte Zahle, Kostate (das sid Symbole, die eie fixe Wert repräsetiere), ud Variable (für die ei beliebiger Wert eigesetzt werde ka). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 2 / 74 Wertebereich Beim Reche mit Terme muss darauf geachtet werde, für welche Werte der Variable der Ausdruck defiiert ist. x ist ur für x R \ {} defiiert. x + ur für x defiiert. Die Mege aller erlaubte Variablewerte heißt der Defiitiosbereich des Terms. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 3 / 74

2 Summesymbol Terme, die viele Summade ethalte, die gesetzmäßig zusammehäge, lasse sich durch die Verwedug des Summesymbols vereifache: a i a + a a i lies: Summe über a i vo i bis i Wir köe das Summesymbol auf der like Seite auch als Abkürzug für die rechte Seite iterpretiere. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 4 / 74 Summesymbol Die Summe der erste 0 atürliche Zahle größer 2 ist i verschiedee Notatioe: 0 i (2 + i) (2 + ) + (2 + 2) + (2 + 3) + + (2 + 0) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 5 / 74 Summesymbol Reche Beim Reche mit dem Summesymbol gelte die übliche Regel der Arithmetik wie Assoziativgesetz ud Distributivgesetz. a i a k i k a i + b i (a i + b i ) i i i c a i c b i i i Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 6 / 74

3 Summesymbol Reche Vereifache Lösug: i2 i2 (a i + b i ) 2 (a i + b i ) 2 i2 i2 i2 (a i + b i ) 2 a 2 j bk 2 j2 k2 a 2 j bk 2 j2 k2 i2 a 2 i ( (ai + b i ) 2 a 2 i bi 2 ) 2 a i b i bi 2 i2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 7 / 74 Aufgabe 2. Bereche: (a) (b) (c) 5 a i b 5 i i0 5 i i (a i a i+ ) (a i a i+ ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 8 / 74 Lösug 2. (a) b 5 + ab 4 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b + a 5 ; (b) a a 5 ; (c) a a. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 9 / 74

4 Aufgabe 2.2 Welche der Lösuge für de Ausdruck ist richtig? 0 i2 (a) 5( ) 5(i + 3) (b) 5( ) (c) 5( ) (d) 5( ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 0 / 74 Lösug 2.2 (b) ud (d). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme / 74 Aufgabe 2.3 Vereifache die folgede Summeausdrücke: (a) (b) (c) a 2 i + i i i b 2 j (a k b k ) 2 j k (a i b i+ a i+ b i ) (x i + y i ) 2 + j (x j y j ) 2 (d) j0 x j x i i Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 2 / 74

5 Lösug 2.3 (a) i 2a ib i ; (b) 0; (c) 2 i (x2 i + y 2 i ); (d) x 0 x. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 3 / 74 Aufgabe 2.4 Arithmetisches Mittel (Mittelwert) x ud Variaz σ 2 x i i i (x i x) 2 diee als Lage- ud Streumaß i der Statistik. Zur Berechug vo σ 2 wird der Verschiebugssatz aus der Statistik verwedet: σ 2 xi 2 x 2 i Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 4 / 74 Aufgabe 2.4 / 2 Verifiziere: für σ 2 (a) 2, (b) 3, i (c) 2 beliebig. (x i x) 2 xi 2 x 2 i Hiweise: Zeige, dass i (x i x) 2 ( i x 2i x 2 ) 0. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 5 / 74

6 Lösug 2.4 (a) ( (x x) 2 + (x 2 x) 2) (( x 2 + x2 2) 2 x 2 ) x 2 2x x + x 2 + x2 2 2x 2 x + x 2 x 2 x x 2 2x x + x 2 2x 2 x + x x 2 2(x + x 2 ) x + 4 x 2 2(2 x) x + 4 x 2 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 6 / 74 Lösug 2.4 / 2 (c) i i (x i x) 2 ( x 2 i 2 i i x 2 i x 2 ) x i x + x 2 2( x) x + 2 x 2 0 i x 2 i + x 2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 7 / 74 Aufgabe 2.5 Sei µ der wahre Wert eies metrische Merkmals. Da heißt MSE i (x i µ) 2 der mittlere quadratische Fehler (mea square error) der Messug dieses Merkmals. Verifiziere: MSE σ 2 + ( x µ) 2 i.e., der MSE setzt sich zusamme aus eiem zufällige Fehler (Variaz der Messug), ud eiem systematische Messfehlers (Verzerrug, bias). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 8 / 74

7 Lösug 2.5 i (x i µ) 2 ( σ 2 + ( x µ) 2) i ((x i x) + ( x µ)) 2 σ 2 ( x µ) 2 i (x i x) 2 + ( x µ)2 i 2 i (x i x)( x µ) σ 2 ( x µ) 2 2 i (x i x)( x µ) 2 ( x µ) i (x i x) ( ) 2( x µ) i x i x 2( x µ) ( x x) 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 9 / 74 Absolutbetrag Der Absolutbetrag x eier Zahl gibt de Abstad zum Nullpukt a: x { x für x 0, x für x < ud 3 ( 3) 3. Es gilt x y x y Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 20 / 74 Potez Die -te Potez vo x ist defiiert durch Dabei heißt x die Basis, ud der Expoet vo x. x x x... x }{{} Faktore Für egative Expoete gilt: x x Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 2 / 74

8 Wurzel Eie Zahl y heißt die -te Wurzel x vo x, falls y x. Das Ziehe der -te Wurzel stellt somit die umgekehrte Operatio des Potezieres dar. Wir schreibe kurz x für die Quadratwurzel 2 x. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 22 / 74 Ratioale Potez Ratioale Poteze sid defiiert als: x m m x für m Z ud x 0. Wichtig: Bei icht-gazzahlige Expoete muss die Basis größer oder gleich 0 sei. Poteze lasse sich auch auf irratioale Expoete erweiter. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 23 / 74 Recheregel für Poteze ud Wurzel x x x 0 (x 0) x +m x x m x m m x (x 0) x m x x m x m m x (x 0) (x y) x y x m m x (x ) m x m (x 0) Achtug! 0 0 ist icht defiiert! Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 24 / 74

9 Recheregel für Poteze ud Wurzel (5 6 ) 3 5 (6 3 ) ( 3 5) 6 (5 3 ) 6 5 ( 3 6) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 25 / 74 Recheregel für Poteze ud Wurzel (x y)4 x 2 y 3 x4 y 4 x ( 2) y 3 x 6 y (2 x2 ) 3 (3y) 2 (4 x 2 y) 2 (x 3 y) 23 x y x 2 2 y 2 x 3 y 9 x6 y 2 6 x 7 y 3 8 x6 7 y x y 5 8 x y 5 ( ) 3 x 3 y x 3 3 y x y 4 27 x y 4 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 26 / 74 Recheregel für Poteze ud Wurzel Achtug! x 2 ist icht gleich ( x) 2 (x + y) ist icht gleich x + y x + y ka (im Allgemeie) icht vereifacht werde! Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 27 / 74

10 Aufgabe 2.6 Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) (xy) 3 x 6 y 2 3 (b) ( x) 3 2 ( ) 6 x 3 (c) x 6 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 28 / 74 Lösug 2.6 (a) x 6 y 3 ; (b) x 3 4 ; (c) x. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 29 / 74 Moom Ei Moom ist ei Produkt vo Kostate ud Variable mit ichtegative gazzahlige Poteze. Der Grad eies Mooms ist die Summe der Expoete im Ausdruck. 6 x 2 ist ei Moom 2. Grades. 3 x 3 y ud x y 2 z sid Moome 4. Grades. x ud 2 3 x y 2 sid keie Moome Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 30 / 74

11 Polyom Ei Polyom ist die Summe vo ei oder mehrere Moome. Der Grad (oder die Ordug) eies Polyoms ist der größte Grad uter de eizele Moome. 4 x 2 y 3 2 x 3 y + 4 x + 7 y ist ei Polyom 5. Grades. Summedarstellug: P(x) a i x i a x + a x + + a x + a 0 i0 wobei x die Variable ud die a i Kostate sid. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 3 / 74 Biomischer Lehrsatz (x + y) k0 ( ) x k y k k wobei ( ) k! k! ( k)! der Biomialkoeffiziet (lies: über k ) ud! 2... die Fakultät vo (lies: -faktorielle ) ist. Per Defiitio ist 0!. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 32 / 74 Biomialkoeffiziet Es gilt: ( ) k ( )! k! ( k)! k Berechug: ( ) ( )... ( k + ) k k (k )... Der Biomialkoeffiziet ist die Azahl der k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 33 / 74

12 Biomischer Lehrsatz (x + y) 2 (x + y) 3 ( ) 2 x ( ) 3 x ( ) 2 xy + ( ) 3 x 2 y + x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ( ) 2 y 2 x 2 + 2xy + y 2 2 ( ) 3 xy ( ) 3 y 3 3 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 34 / 74 Multiplikatio Das Produkt zweier Polyome vo Grad ud m ergibt ei Polyom vom Grad + m. (2 x x 5) (x 3 2 x + ) 2 x 2 x x 2 ( 2 x) + 2 x x x x ( 2 x) + 3 x + ( 5) x 3 + ( 5) ( 2 x) + ( 5) 2 x x 4 9 x 3 4 x x 5 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 35 / 74 Dividiere Die Divisio zweier Polyome geschieht i aaloger Weise wie die Divisio atürlicher Zahle. ( x 3 + x x 2 ) : (x ) x x + 2 x 2 (x ) x 3 x 2 2 x x 2 x (x ) 2 x 2 2 x 2 x 2 2 (x ) 2 x 2 Wir erhalte daher x 3 + x 2 2 (x ) (x x + 2). Falls der Divisor kei Faktor des Dividede ist, erhalte wir eie Divisiosrest. 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 36 / 74

13 Faktorisiere Die Zerlegug eies Polyoms i ei Produkt vo Polyome iedrigerer Ordug (Faktor) heißt Faktorisierug. 2 x x y + 8 x y 3 2 x (x + 2 y + 4 y 3 ) x 2 y 2 (x + y) (x y) x 2 (x + ) (x ) x x y + y 2 (x + y) (x + y) (x + y) 2 x 3 + y 3 (x + y) (x 2 x y + y 2 ) Eifache Verifikatio durch Ausmultipliziere der rechte Seite. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 37 / 74 Der Ausmultiplizierreflex Achtug! Das Faktorisiere eies Polyoms ist oft sehr schwierig währed das Ausmultipliziere immer rasch ud eifach geht. Die Faktore eies Polyoms ethalte aber mehr Iformatioe als die ausmultiplizierte Form. (Auf dieses Prizip baue kryptographische Methode mit privatem ud öffetlichem Schlüssel auf.) Meier Erfahrug ach besitze aber viele Studetie ud Studete eie atraiierte Ausmultiplizierreflex: Alles wird zuallererst (ud gedakelos) ausmultipliziert (ud dabei oft eifache Probleme i schwierige verwadelt). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 38 / 74 Der Ausmultiplizierreflex Zügel Sie Ihre Ausmultiplizierreflex! Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 39 / 74

14 Liearer Term Ei Polyom erste Grades wird auch als liearer Term bezeichet. a + b x + y + a c ist ei liearer Term i x ud y, falls wir a, b ud c als Kostate auffasse. xy + x + y ist icht liear, da xy Grad 2 besitzt. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 40 / 74 Liearfaktor Ei Faktor (Polyom). Grades wird als Liearfaktor bezeichet. Für Polyome i eier Variable mit der Nullstelle x erhalte wir mit (x x ) eie Liearfaktor. We ei Polyom -te Grades P(x) i0 a i x i die reelle Nullstelle x, x 2,..., x besitzt, so lässt sich dieses Polyom als Produkt der Liearfaktore (x x i ) zerlege: P(x) a i (x x i ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 4 / 74 Aufgabe 2.7 Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) (x + h) 2 (x h) 2 (b) (a + b)c (a + bc) (c) (A B)(A 2 + AB + B 2 ) (d) (x + y) 4 (x y) 4 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 42 / 74

15 Lösug 2.7 (a) 4xh; (b) a(c ); (c) A 3 B 3 ; (d) 8xy(x 2 + y 2 ). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 43 / 74 Aufgabe 2.8 (a) Gebe Sie ei Polyom 4. Grades mit de Nullstelle, 2, 3 ud 4 a. (b) Wie lautet die Mege aller Polyome mit diese Nullstelle? (c) Ka so ei Polyom och adere Nullstelle habe? Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 44 / 74 Lösug 2.8 Alle Polyome 4. Grades mit diese Nullstelle habe die Form c (x + ) (x 2) (x 3) (x 4) mit c 0. Ei Polyom 4. Grades ka icht mehr als 4 Nullstelle habe. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 45 / 74

16 Aufgabe 2.9 Zeige Sie, dass k0 ( ) 2 k Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 46 / 74 Lösug 2.9 Durch direktes Ausreche vo 2 ( + ) mittels Biomische Lehrsatzes. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 47 / 74 Bruchterm Ei ratioaler Term (Bruchterm) ist ei Ausdruck der Form P(x) Q(x) wobei P(x) ud Q(x) Polyome sid ud Zähler bzw. Neer heiße. Der Defiitiosbereich eies Bruchterms ist R ohe die Nullstelle des Neers. Eie alterative Schreibweise ist P(x)/Q(x). x 2 + x 4 x ist ei Bruchterm mit Defiitiosbereich R \ { 3 5}. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 48 / 74

17 Recheregel für Brüche ud Bruchterme Seie b, c, e 0. c a c b a b a b c a c b a b d c a d b c a b : e c a b c e a b e c a c b e Kürze Erweiter Multipliziere Dividiere Doppelbruch Auflöse Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 49 / 74 Recheregel für Brüche ud Bruchterme Seie b, c 0. a b + d b a + d b a b + d c a c + d b b c Additio bei gleichem Neer Additio Wichtig! Bei der Additio immer zuerst auf gemeisame Neer brige! Achtug! Der Ausdruck 0 0 ist icht defiiert. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 50 / 74 Recheregel für Brüche ud Bruchterme x2 x + (x + )(x ) x + x 4 x3 + 2 x 2 2 x y 2 x2 (2 x + ) 2 x y x(2 x + ) y x + x + x x + (x + )2 + (x ) 2 (x )(x + ) x2 + 2 x + + x 2 2 x + (x )(x + ) 2 x2 + x 2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 5 / 74

18 Recheregel für Brüche ud Bruchterme Es sei a dieser Stelle darauf higewiese, dass beim Reche mit Bruchterme immer wieder eklatate Rechefehler passiere! Die folgede Beispiele für derartige Irrtümer stamme aus der Prüfugspraxis des Autors. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 52 / 74 Recheregel für Brüche ud Bruchterme Achtug! a + c b + c x a + y b a b + c ist icht gleich ist icht gleich ist icht gleich a b x + y a + b a b + a c x + 2 y + 2 x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 53 / 74 Aufgabe 2.0 Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) (b) (c) + x + x s st 2 t 3 s 2 st t 2 x + y xy + xz + y(z x) (d) x+y y x y x + x+y x x y y Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 54 / 74

19 Lösug 2.0 (a) (d) st ; (c) 2x x 2 ; xyz ; (d) (x2 +y 2 )(x+y). xy(x y) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 55 / 74 Aufgabe 2. Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) y(xy + x + ) x2 y 2 x y (b) x 2 +y 2x+ 2xy 2x+y (c) a x b x+ a x+ + b x (d) 2x2 y 4xy 2 x 2 4y 2 + x2 x + 2y Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 56 / 74 Lösug 2. (a) xy; (b) (x2 +y)(2x+y) (2x+) 2xy ; (c) x(a b)+a x(a+b)+b ; (d) x. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 57 / 74

20 Aufgabe 2.2 Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) x 4 y 3 x 8 + y 6 (b) x 4 x 4 2 (c) 2 x 7 x 7 2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 58 / 74 Lösug 2.2 (a) x 8 y 6 ; (b) x 4 + 2; (c) 2 x 5 4. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 59 / 74 Aufgabe 2.3 Vereifache Sie die folgede Ausdrücke: (a) (b) ( x + y) 3 x 6 3 x + 3 x x (c) (d) (xy) 6 3 (xy) 3 9 x y x y Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 60 / 74

21 Lösug 2.3 (a) ( + y x ) 3 ; (b) (c) 3x 3 ; (xy) 6 +3 (d) x + y. ; Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 6 / 74 Expoet ud Logarithmus Eie Zahl y heißt Logarithmus vo x zur Basis a, falls a y x. Der Logarithmus ist der Expoet eier Zahl bezüglich eier Basis a. Wir schreibe dafür y log a (x) x a y Wichtige Logarithme: atürlicher Logarithmus l(x) zur Basis e 2, (Eulersche Zahl) dekadischer Logarithmus lg(x) zur Basis 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 62 / 74 Expoet ud Logarithmus log 0 (00) 2, da ( log ) , da log 2 (8) 3, da log 2 (6) 8, da / Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 63 / 74

22 Reche mit Expoete ud Logarithmus Umrechugsformel: a x e x l(a) log a (x) l(x) l(a) log 2 (23) l(23) l(2) 4, , , Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 64 / 74 Reche mit Expoete ud Logarithmus Achtug: Oft schreibt ma ur log(x) ohe Agabe der Basis. I diesem Fall ist (sollte) die verwedete Basis aus dem Zusammehag oder eier Kovetio ersichtlich (sei). Im mathematische Bereich: atürlicher Logarithmus Fiazmathematik, Programme wie R, Mathematica, Maxima,... Im techische Bereich: dekadischer Logarithmus Wirtschaftswisseschafte, Tascherecher, Excel,... Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 65 / 74 Recheregel für Expoete ud Logarithmus a x+y a x a y a x y ax a y log a (x y) log a (x) + log a (y) log a ( x y ) log a (x) log a (y) (a x ) y a x y log a (x β ) β log a (x) (a b) x a x b x a log a (x) x log a (a x ) x a 0 log a () 0 log a (x) ist (ierhalb der reelle Zahle) ur für x > 0 defiiert! Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 66 / 74

23 Aufgabe 2.4 Bereche Sie ohe Tascherecher: (a) log 2 (2) (b) log 2 (4) (c) log 2 (6) (d) log 2 (0) (e) log 2 () (f) log 2 ( 4) (g) log 2 ( 2 ) (h) log 2 ( 2 ) (i) log 2 ( 4) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 67 / 74 Lösug 2.4 (a) ; (b) 2; (c) 4; (d) icht defiiert; (e) 0; (f) 2; (g) 2 ; (h) 2 ; (i) icht reell. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 68 / 74 Aufgabe 2.5 Bereche Sie ohe Tascherecher: (a) log 0 (300) (b) log 0 (3 0 ) Verwede Sie log 0 (3) 0, Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 69 / 74

24 Lösug 2.5 (a) 2, 4772; (b) 4, 772. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 70 / 74 Aufgabe 2.6 Bereche (vereifache) Sie ohe Tascherecher: (a) 0,0 log 0 (00) (b) log 5 ( 25) (c) 0 3 log 0 (3) (d) log 0 (200) log 7 (49) (e) log 8 ( 52) (f) log 3 (8) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 7 / 74 Lösug 2.6 (a) 0 000; (b) 4; (c) 27; (d) log 0 (2) 4 2 ; (e) 3; (f) 4. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 72 / 74

25 Aufgabe 2.7 Schreibe Sie i der Form y A e cx (i.e., bestimme Sie A ud c): (a) y 0 x (b) y 4 x+2 (c) y 3 x 5 2x (d) y,08 x x 2 (e) y 0,9, x 0 (f) y q 2 x/2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 73 / 74 Lösug 2.7 (a) y 0 ex l 0 : (b) y 6 e x l 4 ; (c) y e x(l 3+l 25) ; (d) y e x l,08 ; (e) y 0,9 e x 0 l, ; (f) y q e x l 2. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme 74 / 74

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