Differentialrechnung

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1 Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 75 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt Differenzenquotient an der Stelle 0. f () (, f ()) Sekante ( 0, f ( 0 )) f 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 2 / 75 Differentialquotient Falls der Limes f ( 0 + ) f ( 0 ) f () f ( 0 ) lim = lim eistiert, so heißt die Funktion f differenzierbar an der Stelle 0 und dieser Grenzwert Differentialquotient oder (erste) Ableitung der Funktion an der Stelle 0. Eine Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs differenzierbar ist. Schreibweisen: f ( 0 ) = d f d =0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 3 / 75

2 Graphische Interpretation des Differentialquotienten Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion f () an der Stelle 0. f () Sekanten 1 f ( 0 ) Tangente 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 4 / 75 Interpretation als Grenzfunktion Marginalquote, oder Grenzfunktion einer Wirkungsgröße y = f () bezüglich einer Faktorgröße. f () 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 5 / 75 Eistenz des Differentialquotienten Eine Funktion f ist differenzierbar in allen Punkten, in denen sich eine Tangente mit endlicher Steigung an den Graphen legen lässt. In allen Punkten in denen das nicht möglich ist, ist die Funktion nicht differenzierbar. Das sind vor allem Unstetigkeitsstellen ( Sprungstellen ) Knicke im Graph der Funktion Senkrechte Tangenten Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 6 / 75

3 Berechnung des Differentialquotienten Der Differentialquotien kann durch Bestimmen des Grenzwertes berechnet werden. Sei f () = 2. Dann ist f ( 0 + h) ( 0 ) = lim h 0 h = h + h lim h 0 h = lim h h + h 2 h = 2 0 = lim h 0 (2 0 + h) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 7 / 75 Aufgabe 7.1 Zeichnen Sie den Graphen der folgenden Funktionen. Sind diese Funktionen differenzierbar, bzw. wo sind sie differenzierbar? Sind die Funktionen stetig? (a) f () = (b) f () = 3 (c) f () = (d) f () = für 1 (e) f () = für 1 < für > 1 { 2 + für 1 (f) f () = 2 für > 1 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 8 / 75 Lösung 7.1 differenzierbar in (a) R, (b) R, (c) R \ {0}, (d) R \ { 1, 1}, (e) R \ { 1, 1}, (f) R \ { 1}. Graph aus (f): Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 9 / 75

4 Ableitung einer Funktion Die Funktion f : D R, f () = d f d heißt die erste Ableitung der Funktion f. Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Punkte, in denen der Differentialquotient eistiert. Die Berechnung der Ableitung wird als Ableiten oder Differenzieren der Funktion bezeichnet. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 10 / 75 Ableitung elementarer Funktionen f () f () c 0 α e ln() sin() cos() α α 1 e 1 cos() sin() Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 11 / 75 Differentiationsregeln (c f ()) = c f () ( f () + g()) = f () + g () ( f () g()) = f () g() + f () g () ( f (g())) = f (g()) g () ( ) f () = f () g() f () g () g() (g()) 2 Summenregel Produktregel Kettenregel Quotientenregel Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 12 / 75

5 Beispiel ( ) = = ( e 2) = (e ) 2 + e ( 2) = e 2 + e 2 ( ( ) 2) = 2 ( ) 6 ( ) = ( 1 2 ) = = 1 2 (a ) = ( e ln(a) ) = e ln(a) ln(a) = a ln(a) ( ) = 2 (1 3 ) (1 + 2 ) (1 3 ) 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 13 / 75 Höhere Ableitungen Die Ableitung einer Funktion kann wiederum differenziert werden. Dadurch erhalten wir die zweite Ableitung f () der Funktion f, dritte Ableitung f (), usw. n-te Ableitung f (n) (). Die ersten 5 Ableitungen der Funktion f () = sind f () = ( ) = f () = ( ) = f () = ( ) = 24 f ıv () = (24) = 24 f v () = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 14 / 75 Aufgabe 7.2 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: (a) f () = (b) f () = e 2 2 (c) f () = ep( 2 2 ) (d) f () = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 15 / 75

6 Lösung 7.2 (a) f () = , f () = ; (b) f () = e 2 2, f () = ( 2 1) e 2 2 ; (c) = (b); (d) f () = 2, f ( 1) () = 4. 2 ( 1) 3 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 16 / 75 Aufgabe 7.3 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: (a) f () = (b) f () = 1 (1 + ) 2 (c) f () = ln() + 1 (d) f () = ln( ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 17 / 75 Lösung 7.3 (a) f () = 2, (1+ 2 ) 2 f () = 62 2 (1+ 2 ) 3 ; (b) f () = 2 (1+) 3, f () = 6 (1+) 4 ; (c) f () = ln(), f () = 1 ; (d) f () = 1, f () = 1 2. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 18 / 75

7 Aufgabe 7.4 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: (a) f () = tan() = sin() cos() (b) f () = cosh() = 1 2 (e + e ) (c) f () = sinh() = 1 2 (e e ) (d) f () = cos(1 + 2 ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 19 / 75 Lösung 7.4 (a) f () = 1 cos() 2, f () = 2 sin() cos() 3 ; (b) f () = sinh(), f () = cosh(); (c) f () = cosh(), f () = sinh(); (d) f () = 2 sin(1 + 2 ), f () = 2 sin(1 + 2 ) 4 2 cos(1 + 2 ). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 20 / 75 Aufgabe 7.5 Leite die Quotientenregel aus der Produkt- und Kettenregel her. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 21 / 75

8 Lösung 7.5 ( ) f () ( = f () (g()) 1) g() = f () (g()) 1 + f () ((g()) 1) = f () (g()) 1 + f ()( 1)(g()) 2 g () = f () g() f ()g () (g()) 2 = f () g() f () g () (g()) 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 22 / 75 Aufgabe 7.6 Bestimmen Sie die marginalen Kosten (Grenzkosten) und die Änderungsrate der marginalen Kosten für folgende Kostenfunktionen: (a) C() = , ,002 3 (b) C() = ln + 0,01 2 Wie lautet die Ableitung der durchschnittlichen Kosten? Hinweis: Die marginalen Kosten sind die erste Ableitung C () der Kostenfunktion C(). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 23 / 75 Lösung 7.6 Durchschnittliche Kosten: C(), Änderungsrate der marginalen Kosten ist die zweite Ableitung C (). (a) C () = 30 0,2 + 0, 006 2, C () = 0, 2 + 0, 012, ( ) C() = 500 0,1 + 0, 004 ; 2 (b) C () = , 02 2 ln(), C () = 0,02 2, ( C() ) = 0, Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 24 / 75

9 Marginale Änderung Für kleine Werte von können wir die Ableitung f ( 0 ) durch den Differenzenquotienten mit kleinem abschätzen: f f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0 ) = lim f 0 Daher können wir umgekehrt die Änderung f von f in der Nähe von 0 für kleine Änderungen abschätzen: Beachte: f = f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) ist eine lineare Funktion von. Diese Funktion ist die bestmögliche Approimation von f durch eine lineare Funktion in der Nähe von 0. Diese Approimation ist nur für kleine Werte von brauchbar. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 25 / 75 Differential f = f ( 0 + ) f ( 0 ) f ( 0 ) Wenn wir die Differenzen f und durch infinitesimale ( unendlich kleine ) Größen d f und d ersetzen, erhalten wir das Differential der Funktion f an der Stelle 0 : d f = f ( 0 ) d d f und d heißen die Differentiale der Funktion f bzw. der unabhängigen Variable. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 26 / 75 Differential Wir können das Differential von f als lineare Funktion in d auffassen und damit die Funktion f näherungsweise berechnen. f ( 0 + d) f ( 0 ) + d f Sei f () = e. Differential von f an der Stelle 1: d f = f (1) d = e 1 d Approimation von f (1, 1) mit Hilfe dieses Differentials: = ( 0 + d) 0 = 1, 1 1 = 0, 1 f (1, 1) f (1) + d f = e + e 0, 1 2, 99 Zum Vergleich: f (1, 1) = 3, Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 27 / 75

10 Aufgabe 7.7 Sei f () = ln(). Berechnen Sie die Änderung der Funktionswerte f (3, 1) f (3) näherungsweise mit Hilfe des Differentials an der Stelle 0 = 3. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem eakten Wert. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 28 / 75 Lösung 7.7 Mit Hilfe des Differentials: f (3, 1) f (3) 0, , Eakter Wert: f (3, 1) f (3) = 0, Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 29 / 75 Elastizität Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle 0 in absoluten Zahlen an. Sie ist somit abhängig von der Skalierung von Argument und Funktionswert. Wir sind aber in vielen Fällen an relativen Änderungsraten interessiert. Skaleninvarianz und relative Änderungsraten erhalten wir durch Änderung des Funktionswertes in % des Funktionswertes Änderung des Arguments in % des Argumentes bzw. für die marginale Änderungsrate lim 0 f (+ ) f () f () f ( + ) f () = lim 0 f () = f () f () Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 30 / 75

11 Elastizität Der Ausdruck ε f () = f () f () heißt die Elastizität von f an der Stelle. Sei f () = 3 e 2. Dann ist Sei f () = β α. Dann ist ε f () = f () f () = 6 e2 3 e 2 = 2 ε f () = f () f () = β α α 1 β α = α Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 31 / 75 Elastizität II Wir können die relative Änderungsrate von f ausdrücken als Ableitung ln( f ()) = f () f () Was passiert, wenn wir ln( f ()) nach ln() ableiten? Sei v = ln() = e v Ableiten mittels Kettenregel ergibt: d(ln( f ())) d(ln()) = d(ln( f (ev ))) dv = f (e v ) f (e v ) ev = f () f () = ε f () ε f () = d(ln( f ())) d(ln()) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 32 / 75 Elastizität II Wir können die Kettenregel formal auch so schreiben: Sei u = ln(y), y = f (), = e v v = ln() Dann erhalten wir d(ln f ) d(ln ) = du dv = du dy dy d d dv = 1 y f () e v = f () f () Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 33 / 75

12 Elastische Funktionen Eine Funktion f heißt in elastisch, falls ε f () > 1 1-elastisch, falls ε f () = 1 unelastisch, falls ε f () < 1 Für eine elastische Funktion gilt daher: Der Funktionswert ändert sich relative stärker als das Argument. Die Funktion f () = 3 e 2 ist [ ε f () = 2 ] 1-elastisch, für = 1 2 und = 1 2 ; unelastisch, für 1 2 < < 1 2 ; elastisch, für < 1 2 oder > 1 2. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 34 / 75 elastische Nachfragefunktion Sei q(p) eine elastische Nachfragefunktion, p der Preis. Es gilt: p > 0, q > 0, und q < 0 (q ist monoton fallend). Also gilt ε q (p) = p q (p) q(p) < 1 Was passiert mit dem Umsatz (= Preis Absatz)? u (p) = (p q(p)) = 1 q(p) + p q (p) = q(p) (1 + p q (p) ) q(p) }{{} =ε q < 1 < 0 Das heißt, der Umsatz nimmt ab, falls wir den Preis erhöhen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 35 / 75 Aufgabe 7.8 Berechnen Sie die Bereiche, in denen die folgenden Funktionen elastisch, 1-elastisch bzw. unelastisch sind. (a) g() = (b) h() = α β, α R, β > 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 36 / 75

13 Lösung 7.8 (a) ε g () = , 1-elastisch für = 1 und = 3 2, elastisch für < 1 und > 3 2, unelastisch für 1 < < 3 2. (b) ε h () = β, die Elasizität von h() hängt nur vom Parameter β ab und ist im gesamten Definitionsbereich gleich groß. Hinweis: Beachten Sie bitte bei der Berechnung den Absolutbetrag. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 37 / 75 Aufgabe 7.9 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Wenn eine Funktion y = f () in einem Intervall elastisch ist, so gilt in diesem Intervall: (a) Wenn sich um eine Einheit ändert, so ändert sich y um mehr als eine Einheit. (b) Wenn sich um ein Prozent ändert, so ändert sich y um mehr als ein Prozent. (c) y ändert sich relativ stärker als. (d) Je größer wird, desto größer wird auch y. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 38 / 75 Lösung 7.9 richtig ist (c). Die Aussage (b) stimmt nur näherungsweise. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 39 / 75

14 Partielle Ableitung Wir untersuchen die Änderung einer Funktion f ( 1,..., n ), wenn wir eine Variable i variieren und alle anderen konstant lassen. f f (..., = i + i,...) f (..., i,...) lim i i 0 i heißt die (erste) partielle Anleitung von f nach i. Es haben sich eine Reihe von weiteren Symbolen für die partielle Ableitungung f eingebürgert: i f i () (Ableitung nach der Variable i ) f i () f i () (Ableitung nach der i-ten Variable) (i-te Komponente des Gradienten) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 40 / 75 Berechnung der partiellen Ableitung Wir erhalten die partielle Ableitung nach i, wenn wir alle anderen Variablen als Konstante auffassen und f nach den bekannten Regeln für Funktionen in einer Variable nach i ableiten. Erste partiellen Ableitungen von f ( 1, 2 ) = sin(2 1 ) cos( 2 ) f 1 = 2 cos(2 1 ) cos( 2 ) }{{} als Konstante betrachtet f 2 = sin(2 1 ) }{{} ( sin( 2 )) als Konstante betrachtet Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 41 / 75 Höhere partielle Ableitungen Analog zu den Funktionen in einer Variablen können wir partielle Ableitungen nochmals ableiten und erhalten so höhere partielle Ableitungen. f i k () = 2 f () bzw. f i k i () = 2 f i i 2 () Falls alle zweiten partiellen Ableitungen eistieren und stetig sind, dann kommt auf die Reihenfolge beim Differenzieren nicht an. 2 f k i () = 2 f i k () Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 42 / 75

15 Beispiel Gesucht sind alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f (, y) = y Erste partielle Ableitungen: f = y f y = Zweite partielle Ableitungen: f = 2 f y = 3 f y = 3 f yy = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 43 / 75 Aufgabe 7.10 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = + y (b) f (, y) = y (c) f (, y) = 2 + y 2 (d) f (, y) = 2 y 2 (e) f (, y) = α y β, α, β > 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 44 / 75 Lösung 7.10 Ableitungen: (a) (b) (c) (d) (e) f 1 y 2 2 y 2 α α 1 y β f y 1 2 y 2 2 y β α y β 1 f y 2 α(α 1) α 2 y β f y = f y y α β α 1 y β 1 f yy β(β 1) α y β 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 45 / 75

16 Lösung 7.10 / 2 Ableitungen an der Stelle (1, 1): (a) (b) (c) (d) (e) f α f y β f α(α 1) f y = f y α β f yy β(β 1) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 46 / 75 Aufgabe 7.11 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = 2 + y 2 (b) f (, y) = ( 3 + y 3 ) 1 3 (c) f (, y) = ( p + y p ) 1 p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 47 / 75 Lösung 7.11 Ableitungen: (a) f ( 2 + y 2 ) 1/2 f y y( 2 + y 2 ) 1/2 f ( 2 + y 2 ) 1/2 2 ( 2 + y 2 ) 3/2 f y = f y y( 2 + y 2 ) 3/2 f yy ( 2 + y 2 ) 1/2 y 2 ( 2 + y 2 ) 3/2 (b) f 2 ( 3 + y 3 ) 2/3 f y y 2 ( 3 + y 3 ) 2/3 f 2( 3 + y 3 ) 2/3 2 4 ( 3 + y 3 ) 5/3 f y = f y 2 2 y 2 ( 3 + y 3 ) 5/3 f yy 2y( 3 + y 3 ) 2/3 2y 4 ( 3 + y 3 ) 5/3 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 48 / 75

17 Lösung 7.11 / 2 f f y f f y = f y f yy (c) p 1 ( p + y p ) (1 p)/p y p 1 ( p + y p ) (1 p)/p (p 1) p 2 ( p + y p ) (1 p)/p (p 1) 2(p 1) ( p + y p ) (1 2p)/p (p 1) p 1 y p 1 ( p + y p ) (1 2p)/p (p 1)y p 2 ( p + y p ) (1 p)/p (p 1)y 2(p 1) ( p + y p ) (1 2p)/p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 49 / 75 Lösung 7.11 / 3 Ableitungen an der Stelle (1, 1): f 2 2 f 2 y 2 (a) (b) (c) f f y = f y f yy (1 p)/p 2 (1 p)/p (p 1)2 (1 2p)/p (p 1)2 (1 2p)/p (p 1)2 (1 2p)/p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 50 / 75 Aufgabe 7.12 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f (, y) = ep( 2 + y 2 ) an der Stelle (0, 0). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 51 / 75

18 Lösung 7.12 Fehlt Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 52 / 75 Der Gradient Wir fassen die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu einem Zeilenvektor, dem Gradienten an der Stelle, zusammen. f () = ( f 1 (),..., f n ()) f heißt auch Nabla f. Der Gradient wird oft auch als Spaltenvektor geschrieben. Andere Notationen: f () Der Gradient spielt die gleiche Rolle wie die erste Ableitung bei Funktionen in einer Variablen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 53 / 75 Eigenschaften des Gradienten Der Gradient einer Funktion f zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von f. Seine Länge gibt diese Steigung an. Der Gradient steht immer normal auf die entsprechende Niveaulinie. f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 54 / 75

19 Beispiel Gesucht ist der Gradient von an der Stelle = (3, 2). f (, y) = y f = y f y = f () = (2 + 3y, 3) f (3, 2) = (12, 9) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 55 / 75 Aufgabe 7.13 Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktionen an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = + y (b) f (, y) = y (c) f (, y) = 2 + y 2 (d) f (, y) = 2 y 2 (e) f (, y) = α y β, α, β > 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 56 / 75 Lösung 7.13 Gradient: (a) f (, y) = (1, 1), (b) f (, y) = (y, ), (c) f (, y) = (2, 2y), (d) f (, y) = (2y 2, 2 2 y), (e) f (, y) = (α α 1 y β, β α y β 1 ), Gradient an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = (1, 1), (b) f (, y) = (1, 1), (c) f (, y) = (2, 2), (d) f (, y) = (2, 2), (e) f (, y) = (α, β). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 57 / 75

20 Aufgabe 7.14 Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktionen an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = 2 + y 2 (b) f (, y) = ( 3 + y 3 ) 1 3 (c) f (, y) = ( p + y p ) 1 p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 58 / 75 Lösung 7.14 Gradient: (a) f (, y) = (( 2 + y 2 ) 1/2, y( 2 + y 2 ) 1/2 ), (b) f (, y) = ( 2 ( 3 + y 3 ) 2/3, y 2 ( 3 + y 3 ) 2/3 ), (c) f (, y) = ( p 1 ( p + y p ) (1 p)/p, y p 1 ( p + y p ) (1 p)/p ), Gradient an der Stelle (1, 1): (a) f (, y) = ( 2 2, 2 2 ), (b) f (, y) = ( 3 1 1, 4 3 ), 4 (c) f (, y) = (2 (1 p)/p, 2 (1 p)/p ). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 59 / 75 Das totale Differential Wir wollen eine Funktion f durch eine lineare Funktion so approimieren, dass der Fehler möglichst klein ist. Den Funktionswert an einer Stelle + h können wir näherungsweise analog zur Richtungsableitung berechnen. f ( + h) f () f 1 () h f n () h n Das totale Differential erhalten wir, wenn wir die h i durch unendlich kleine Differentiale d i ersetzen. Die lineare Funktion d f = f 1 () d f n () d n = heißt das totale Differential von f an der Stelle. n f i d i i=1 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 60 / 75

21 Beispiel Wir suchen das totale Differential von an der Stelle = (3, 2). f ( 1, 2 ) = d f = f 1 (3, 2) d 1 + f 2 (3, 2) d 2 = 12 d d 2 Approimation von f (3, 1; 1, 8) mit Hilfe des totalen Differentials: f (3, 1; 1, 8) f (3; 2) + d f = , ( 0, 2) = 26, 40 Zum Vergleich: f (3, 1; 1, 8) = 26, 35 ( ) ( ) ( ) 3, 1 3 0, 1 h = ( + h) = = 1, 8 2 0, 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 61 / 75 Aufgabe 7.15 Sei f (, y) = 100 (y 2 ) 2 + (1 ) 2 Berechnen Sie (a) den Gradienten f von f an der Stelle ( 1, 1), (b) das totale Differential an der Stelle ( 1, 1), (c) mit dessen Hilfe eine Näherung für f an der Stelle (0, 0), Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 62 / 75 Lösung 7.15 Die partiellen Ableitungen sind f = 400 (y 2 ) + 2 (1 ) ( 1) und f y = 200 (y 2 ). (a) ( 4, 0) t ; (b) d f = 4 d; (c) 0. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 63 / 75

22 Jacobische Matri f 1 ( 1,..., n ) Sei f : R n R m, y = f() =. f m ( 1,..., n ) Dann heißt die m n-matri f 1 Df( 0 ) = f 1... ( 0 ) =..... f m 1... die Jacobische Matri von f an der Stelle 0. f 1 n f m n Sie ist die Ableitung dieser vektorwertigen Funktion und somit eine Verallgemeinerung des Gradienten. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 64 / 75 Beispiel f () = f ( 1, 2 ) = ep( ( ) ) D f () = f 1, f 2 = f () = ( 2 1 ep( ), 2 2 ep( )) ( ) ( f 1 ( 1, 2 ) 1 2 f() = f( 1, 2 ) = = + ) 2 2 f 2 ( 1, 2 ) ( f1 f 1 ) ( ) Df() = f 2 = f ( ) ( ) s 1 (t) cos(t) s(t) = = s 2 (t) sin(t) ) ( ) sin(t) Ds(t) = = cos(t) ( ds1 dt ds 2 dt Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 65 / 75 Kettenregel Seien f : R n R m und g : R m R k. Dann gilt D(g f)() = Dg(f()) Df() ( ) ( ) e 2 + y 2 f(, y) = e y g(, y) = 2 y 2 ( ) ( ) e y Df(, y) = 0 e y Dg(, y) = 2 2 y ( ) ( ) 2 e 2 e y e 0 D(g f)() = Dg(f()) Df() = 2 e 2 e y 0 e ( ) y 2 e 2 2 e 2y = 2 e 2 2 e 2y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 66 / 75

23 Beispiel Indirekte Abhängigkeit Sei f ( 1, 2, t) wobei 1 (t) und 2 (t) ebenfalls von t abhängen. Wie ändert sich f mit t? Kettenregel: 1 (t) Sei : R R 3, t 2 (t) d f dt t = D( f )(t) = D f ((t)) D(t) 1 (t) 1 = f ((t)) 2 (t) (t) = ( f 1 ((t)), f 2 ((t)), f t ((t)) 2 (t) 1 = f 1 ((t)) 1 (t) + f 2 ((t)) 2 (t) + f t((t)) = f 1 ( 1, 2, t) 1 (t) + f 2 ( 1, 2, t) 2 (t) + f t( 1, 2, t) 1 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 67 / 75 Aufgabe 7.16 Sei ( ) ( ) f (, y) = 2 + y 2 g 1 (t) t und g(t) = = g 2 (t) t 2. Berechnen Sie die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h = f g mit Hilfe der Kettenregel. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 68 / 75 Lösung 7.16 Dh(t) = D f (g(t)) Dg(t) = (2g 1 (t), 2g 2 (t)) ( ) (2t, 2t 2 1 ) = 2t + 4t 3. 2t ( ) 1 = 2t (Die zusammengesetzte Funktion lautet h(t) = f (g(t)) = t 2 + t 4.) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 69 / 75

24 Aufgabe 7.17 Seien f() = ( 3 1 2, )t und g() = ( 2 2, 1) t. Berechnen Sie die Ableitungen der zusammengesetzten Funktionen g f und f g mit Hilfe der Kettenregel. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 70 / 75 Lösung 7.17 ( ) ( ) Df() = , Dg() =, 1 0 ( 0 2( D(g f)() = Dg(f()) Df() = ) ) 1 0 ( 2( = ) 6( ) ) ( ) ( D(f g)() = Df(g()) Dg() = 1 3 ) 1 2 = ( ( ) ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 71 / 75 Aufgabe 7.18 Sei Q(K, L, t) eine Produktionsfunktion, wobei L = L(t) und K = K(t) selbst Funktionen der Zeit t sind. Berechnen Sie dq dt mit Hilfe der Kettenregel. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 72 / 75

25 Lösung 7.18 K(t) Sei s(t) = L(t). Dann ist t dq dt = DQ(s(t)) Ds(t) = (Q K (s(t)), Q L (s(t)), Q t (s(t)) K (t) L (t) = Q K K (t) + Q L L (t) + Q t. 1 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 73 / 75 Aufgabe 7.19 Sei A eine n m Matri. Bestimmen Sie die Jacobische Matri der Funktion f : R m R n, A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 74 / 75 Lösung 7.19 Df() = A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 75 / 75