Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Grundkurs

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 2005 Aufgbenstellungen A1 und A2 (Whl für Schülerinnen und Schüler) Mthemtik Aufgbenstellungen A3 (siehe Extrbltt) (wird durch die Lehrkrft usgewählt) für Schülerinnen und Schüler Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/Formelsmmlung 3 Zeitstunden Whlthemen Aufgbenstellung A1 Them/Inhlt: Hinweise: Anlysis II Wählen Sie eine der beiden Aufgben 11 oder 12 zur Berbeitung us Aufgbe 11 Seite 2 Aufgbe 12 Seite 3 Aufgbenstellung A2 Them/Inhlt: Hinweise: Anlytische Geometrie II/ Linere Algebr Wählen Sie eine der beiden Aufgben 21 oder 22 zur Berbeitung us Aufgbe 21 Seite 4 Aufgbe 22 Seite 5 Seite 1 von 5 Mthemtik 05_M_A_G_A12_1-pdf

2 Brndenburg Aufgbe 11 (Anlysis II) Im Koordintensystem sind einige Grphen K der Funktionenschr f mit f 3 2 ( x) = x + (3 3) x 3x ; x R ; R drgestellt 111 Zeigen Sie, dss jeder Grph K genu einen Wendepunkt 3 2 W ( ) besitzt 112 Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetngente (Tngente im Wendepunkt) n K 1 Ein Grph der Schr f ht eine Wendetngente, deren Anstieg größer ist ls der Anstieg ller nderen Wendetngenten n K Ermitteln Sie den zugehörigen Prmeter und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg n 113 Der Grph K 3 und die x-achse begrenzen zwei Flächen vollständig Ermitteln Sie 2 ds Verhältnis der beiden Flächeninhlte Für eine Kurve K sind die beiden beschriebenen Flächen gleich groß Bestimmen Sie Seite 2 von 5 Mthemtik 05_M_A_G_A12_1-pdf

3 Brndenburg Aufgbe 12 (Anlysis II) Im Koordintensystem sind die Grphen G 0 und G 1 der Funktionen f 0 1+ x mit f0 ( x) = 2x e ; x R und 1+ x f 1 mit f1 ( x) = (2x + 1) e ; x R drgestellt 121 Weisen Sie nch, dss der Punkt ( 1 ) ist und berechnen Sie y T T y T ein lokler Tiefpunkt des Grphen G 0 Berechnen Sie die Koordinten des Wendepunktes von G Durch einen im III Qudrnten liegenden Punkt R des Grphen G 0 verlufe eine Prllele zur y-achse Ihr Schnittpunkt mit der x-achse sei P, der Koordintenursprung sei O Berechnen Sie die Koordinten des Punktes R so, dss ds Dreieck OPR einen mximlen Flächeninhlt nnimmt 123 Die Grphen G 0 und G 1 sowie die Gerden x = 2 und x = 1 schließen eine Fläche vollständig ein Berechnen Sie deren Flächeninhlt 124 Die Funktionen f o und f 1 gehören zur Funktionenschr f 1+ x mit f ( x) = (2x + ) e ; x R; R Die Tngenten n den jeweiligen Grphen der Schr f im Punkt A ( 1 f( 1)) seien t : y = m x + n Leiten Sie einen funktionlen Zusmmenhng zwischen n und m für diese Tngenten her Begründen Sie, dss es genu eine Kurve der Schr f gibt, deren Tngente t mit den beiden Koordintenchsen ein gleichschenkliges Dreieck begrenzt Ermitteln Sie den zugehörigen Prmeter Seite 3 von 5 Mthemtik 05_M_A_G_A12_1-pdf

4 Brndenburg Aufgbe 21 (Anlytische Geometrie II/ Linere Algebr) Gegeben sind die Punkte A (2 2 1), B(5 6 3), C(11 6 2) und D( 1 0 0) sowie die 10 4,5 Gerde g mit der Gleichung x r = 2 + t 1 ; t R Geben Sie eine Prmetergleichung für die Ebene E n, die durch die Punkte A, B und C festgelegt wird Formen Sie diese Gleichung in eine Koordintenform um Zeigen Sie, dss die Ebene E ebenflls durch die Gleichung x + 6,75y 6z = 17, 5 beschrieben werden knn Bestimmen Sie die Koordinten des Schnittpunktes S der Gerden g mit der Ebene E 212 Die Punkte A, B und C seien Eckpunkte eines Dreiecks ABC Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels BAC und ermitteln Sie den Flächeninhlt des Dreiecks ABC Zeigen Sie, dss die Punkte A, B, C und D Eckpunkte einer dreiseitigen Pyrmide sind Stellen Sie diese Pyrmide in einem räumlichen Koordintensystem grphisch dr 213 Durch die Punkte B und D sei die Gerde h festgelegt Auf h liegt ein Punkt Q, für den AQ h gilt Bestimmen Sie die Koordinten des Punktes Q Der Punkt M sei der Mittelpunkt der Seitenknte CD der in Teilufgbe 212 beschriebenen Pyrmide ABCD Ermitteln Sie die Koordinten des Punktes M Innerhlb der Seitenknte DB existiert genu ein Punkt P mit der Eigenschft AP = AM Bestimmen Sie die Koordinten dieses Punktes P Seite 4 von 5 Mthemtik 05_M_A_G_A12_1-pdf

5 Brndenburg Aufgbe 22 (Anlytische Geometrie II/ Linere Algebr) Gegeben sind die Ebene E mit der Gleichung 2 x + y + 4z = 7, die Ebene F mit der 2 3 Gleichung x 2 y + z = 7 sowie die Gerde g mit der Gleichung x r = 1 + t 2 ; t R und die Gerde h durch den Punkt R ( 3 3 4) mit dem Richtungsvektor r h = Weisen Sie nch, dss die Gerde h in der Ebene E liegt Bestimmen Sie die Koordinten des Schnittpunktes S der Gerden g und h und zeigen Sie, dss sie sich senkrecht schneiden Kontrollergebnis: S ( 2 1 3) Stellen Sie die Gerden g und h mit ihrem Schnittpunkt S in einem räumlichen Koordintensystem grphisch dr Die Punkte R, S und der Koordintenursprung O sind Eckpunkte eines Dreiecks Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels ROS 222 Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgerden g s der beiden Ebenen E und F Zeigen Sie, dss diese Schnittgerde uch durch die Gleichung der Gerden g beschrieben werden knn P sei der Durchstoßpunkt der y-achse durch die Ebene E, Q der Spurpunkt der Gerden g in der x-z-koordintenebene Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und Q voneinnder 223 Der Punkt R, der Schnittpunkt S der orthogonlen Gerden g und h, ein weiterer Punkt T uf der Gerden g und ein Punkt U sollen die Eckpunkte eines Rechtecks RSTU sein, dessen Flächeninhlt die Mßzhl A = 336 ht Ermitteln Sie die Koordinten eines möglichen Punktes T und des dzugehörigen Punktes U Seite 5 von 5 Mthemtik 05_M_A_G_A12_1-pdf

6 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 2005 Aufgbenstellung A31 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik Stochstik II für Schülerinnen und Schüler Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 3 Zeitstunden Seite 1 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A31_1-pdf

7 Brndenburg Aufgben: 311 Ds "Frühstücksfernsehen" erfreut sich bei jenen, die zu dieser Sendezeit fernsehen, großer Beliebtheit: 55 % derer, die ihr Fernsehgerät einschlten, sehen eine der zum "Frühstücksfernsehen" gehörenden Sendungen "Morgenmgzin" (ARD und ZDF), "Punkt 6" (RTL) oder "Frühstücks-TV" (SAT1) Der Mrktnteil des "Morgenmgzins" liegt bei durchschnittlich 21 % 3111 Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Unter zehn zufällig usgewählten Personen, die zu dieser Sendezeit fernsehen, A: befindet sich höchstens eine Person, die m "Frühstücksfernsehen" teilnimmt B: befinden sich genu fünf Personen, die ds "Frühstücksfernsehen" nicht verfolgen 3112 Wie viele Personen us der Gruppe derer, die ds Fernsehgerät frühmorgens einschlten, muss mn mindestens uswählen, um mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 0,9 wenigstens eine Person zu entdecken, die sich ds "Morgenmgzin" (ARD und ZDF) nschut? 312 Privtsender finnzieren sich weitgehend us Werbeeinnhmen Im Abendprogrmm einiger Privtsender wird die Werbung für ein neues Milchprodukt usgestrhlt, die 20,4% der Bevölkerung erreicht In der Gruppe der Zuschuer entscheiden sich 25% für den Kuf dieses Produktes Sogr 4% derer, welche die Werbung nicht gesehen hben, kufen ds neue Milchprodukt Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten dfür, dss eine zufällig usgewählte Person C: die Werbung gesehen und ds Milchprodukt gekuft ht, D: die Werbung nicht gesehen, ber ds Produkt dennoch gekuft ht, E: ds Produkt kuft 313 Ein Meinungsforschungsinstitut untersuchte die Fernsehgewohnheiten von Fmilien in Großstädten während der Sonntge Die Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X (Anzhl der Stunden, die n Sonntgen ferngesehen wird) wurde dbei wie folgt verllgemeinert: x und mehr i P ( X = xi ) 0 2 p 3 p 0 Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit P ( X = 2) dss zwei Stunden ferngesehen wird Bestimmen Sie p mit 0 < 1, dh die Whrscheinlichkeit dfür, < p so, dss der Erwrtungswert ( X ) E miniml wird Seite 2 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A31_1-pdf

8 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 2005 Aufgbenstellung A32 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik (Anlysis III) für Schülerinnen und Schüler Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/Formelsmmlung 3 Zeitstunden Seite 1 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A32_1-pdf

9 Brndenburg Aufgben: 2x Gegeben ist die Funktionenschr f mit f ( x) = ; x D ; R, 0 2 f x Die Grphen der Schr f seien G 321 Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f n und entscheiden Sie, welcher Art eventuell vorhndene nicht definierte Stellen sind Bestimmen Sie die Nullstellen von f Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte für x ± Weisen Sie nch, dss die Grphen G weder chsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Koordintenursprung verlufen 322 Ermitteln Sie Koordinten und Art der loklen Extrempunkte von G Zeigen Sie, dss Hoch- und Tiefpunkt von Grphen mit betrgsgleichem Prmeter stets uf einer Ursprungsgerden liegen Geben Sie eine Gleichung dieser Gerden n A zwei Punkte uf der Gerden x = 1, die uf den Grphen G 1 und G 2 liegen Die Tngente n G 1 im Punkt A 1 verlufe senkrecht zur Tngente n G 2 im Punkt A 2 Leiten Sie für diesen Fll einen funktionlen Zusmmenhng zwischen 1 und 2 her 323 Es seien A 1( 1 y 1 ) und 2 ( 1 y 2 ) 324 Die Fläche, die von G 1, der x-achse sowie den Gerden x =0, 5 und x = 2 eingeschlossen wird, rotiere um die x-achse Vernschulichen Sie die beschriebene Fläche in einem geeigneten Koordintensystem Berechnen Sie ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers Seite 2 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A32_1-pdf

10 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 2005 Aufgbenstellung A33 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik für Schülerinnen und Schüler (Anlytische Geometrie III / Linere Algebr) Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 3 Zeitstunden Seite 1 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A33_1-pdf

11 Brndenburg Aufgben: Gegeben sind eine Ebene E mit der Gleichung 3 x + y + z = 18, eine Gerdenschr g mit der Gleichung x r = 2 + t 1 ;, t R sowie die Punkte 13 1 A ( 3 5 4), B ( 6 2 1) und C ( ) 331 Berechnen Sie den Abstnd des Punktes B von der Ebene E sowie vom Koordintenursprung Vom Punkt B wird ds Lot uf die Ebene E gefällt Zeigen Sie, dss der Punkt A Fußpunkt dieses Lotes ist Bestimmen Sie die Koordinten des Bildpunktes B*, der bei der Spiegelung des Punktes B n der Ebene E entsteht 332 Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels α der Gerden g 2 mit der Ebene E Zeigen Sie, dss die Gerde g 2 prllel zur Gerden h durch den Punkt C mit dem Richtungsvektor r h 1 = 1 verläuft 3 Berechnen Sie den Abstnd der beiden Gerden g 2 und h 333 In der Gerdenschr g existieren zwei Gerden - Die Gerde - Die Gerde g 1 ist senkrecht zur Ebene E g 2 verläuft prllel zur Ebene E Ermitteln Sie die beiden Prmeterwerte 1 und 2 g und g 1 2 für die gilt: Untersuchen Sie, ob gnzzhlige Prmeter Z existieren, für welche die Gerden g Z der Gerdenschr g mit der Ebene E einen Winkel von 45 einschließen Seite 2 von 2 Mthemtik 05_M_A_G_A33_1-pdf