Degressiver Kostenverlauf Die Kosten wachsen verhältnismäßig langsamer als die Stückzahl. Gesamtkosten sind streng monoton steigend K'(x) 0

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1 Gesamtkostenfunktion Gesamtkostenfunktion () Die Gesamtkosten (häufig nur mit osten bezeichnet) setzen sich aus fien osten f und variablen osten v zusammen. osten werden in Geldeinheiten (GE) angegeben. Die Produktiosmenge wird in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Typische Verläufe der Gesamtkostenfunktion () Linearer ostenverlauf Die osten wachsen proportional zur Stückzahl. Es gilt: () > (konstant) und () =. () in GE Degressiver ostenverlauf Die osten wachsen verhältnismäßig langsamer als die Stückzahl. Es gilt () > und () <. () in GE Progressiver ostenverlauf Die osten wachsen verhältnismäßig schneller als die Stückzahl. Es gilt () > und () >. () in GE Ertragsgesetzlicher ostenverlauf Die Gesamtkostenfunktion ist eine Polynomfunktion 3. Grads () = a 3 + b 2 + c + d mit folgenden Eigenschaften: 1. () ist streng monoton steigend. Es gilt: () >, wobei () >. 2. () hat keine lokalen Etremstellen. Es gilt: (). 3. () hat einen Wendepunkt an der ostenkehre. An dieser Stelle gilt: () =, wobei >. 4. () steigt bis zur ostenkehre degressiv ( () < ) und danach progressiv ( () > ). 5. Die Grenzkosten (= Ableitung der ostenfunktion) beschreiben die Zunahme der osten bei Ausweitung der Produktion um eine unendlich kleine Mengeneinheit (Anstieg der Tangente). 6. Das Minimum der Grenzkostenfunktion () liegt an der ostenkehre. () in GE () ist ein Polynom 3. Grads () = a 3 b 2 c d Gesamtkosten sind streng monoton steigend '() Wendepunkt im positiven -Bereich degressiv () progressiv () () () = ostenkehre 55

2 Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion Grenzkostenfunktion () Die Ableitungsfunktion der Gesamtkostenfunktion heißt Grenzkostenfunktion () und beschreibt die Zunahme der osten bei Ausweitung der Produktion um eine unendlich kleine Mengeneinheit (Anstieg der Tangente). Das Minimum der Grenzkostenfunktion () liegt an der ostenkehre. Die Grenzkosten werden in Geldeinheit pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben. Durchschnittskosten () = () Minimum der Durchschnittskosten: () = O (Produktionsmenge mit den geringsten Durchschnittskosten = Betriebsoptimum BO) Die Durchschnittskosten am BO legen die langfristige Preisuntergrenze fest: ( O ) An dieser Stelle gilt: ( O ) = ( O ) (Grenzkosten = Durchschnittskosten) Der Betrieb arbeitet gerade nur kostendeckend ( Grenzbetrieb ). Die Gesamtkostenfunktion () hat an der Stelle O eine durch den oordinatenursprung gehende Tangente. Variable Durchschnittskosten v () = v () Minimum der variablen Durchschnittskosten: v () = M (Produktionsmenge mit den geringsten variablen Durchschnittskosten = Betriebsminimum BM) Die variablen Durchschnittskosten am BM legen die kurzfristige Preisuntergrenze fest: v ( M ) An dieser Stelle gilt ( M ) = v ( M ) (Grenzkosten = variable Durchschnittskosten) Die Funktion der variablen Gesamtkosten v () hat an der Stelle M eine durch den oordinatenursprung gehende Tangente. (), v () in GE (), v (), () in GE M 56

3 Angebot und Nachfrage, Preiselastizität Angebotsfunktion und Preisfunktion des Angebots Die Angebotsfunktion gibt den Zusammenhang A = A (p) zwischen dem Preis p eines Produkts (in GE/ME) und der angebotenen Menge A des Produkts (in ME) an. Die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion ist die Preisfunktion des Angebots p A = p A (). Nachfragefunktion und Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion) Die Nachfragefunktion gibt den Zusammenhang N = N (p) zwischen dem Preis p eines Produkts (in GE/ME) und der nachgefragten (abgesetzten) Menge N des Produkts (in ME) an. Die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion ist die Preisfunktion der Nachfrage p N = p N (), auch Preis-Absatz-Funktion genannt. Beim Höchstpreis p H ist die nachgefragte Menge (theoretisch) null, beim Preis p = ist die Sättigungsmenge S erreicht. Marktgleichgewicht Der Marktpreis (= Gleichgewichtspreis) p G ist jener Preis, bei dem Angebotsmenge und Nachfragemenge gleich groß sind (= Gleichgewichtsmenge G ). Bestimmung des Marktgleichgewichts: p A () = p N () = G und p G = p A ( G ) = p N ( G ) Preiselastizität der Nachfrage: Da der Preis p die unabhängige Variable darstellt, ist für die Berechnung der Preiselastizität der Nachfrage die Nachfragefunktion N (p) heran zu ziehen. Bei gegebener Preis-Absatz-Funktion p N () ist daher zunächst deren Umkehrfunktion zu bestimmen. Berechnung der Preiselastizität der Nachfrage: N ε = N (p ) p p = N N (p )... Bogenelastizität; ε(p ) = N (p ) p... Punktelastizität N (p ) p p Am Beispiel der Nachfragefunktion N (p) lässt sich ε folgendermaßen interpretieren: ε = 1: Die Nachfrage ist fließend (proportional elastisch, 1-elastisch), da eine 1%ige Preisänderung eine 1%ige Mengenänderung des Absatzes nach sich zieht. ε > 1: Die Nachfrage ist elastisch, dh. die prozentuelle Änderung der Nachfrage ist stärker als die des Preises. Eine Preisänderung hat also eine starke Wirkung auf die Nachfrage. ε < 1: Die Nachfrage ist unelastisch, dh. die prozentuelle Änderung der Nachfrage ist geringer als die des Preises. Eine Preisänderung hat also eine schwache Wirkung auf die Nachfrage. ε = : Die Nachfrage ist vollkommen unelastisch (starr), da eine Preisänderung keine Reaktion der Nachfrage mit sich bringt. ε = : Die Nachfrage ist vollkommen elastisch. Das bedeutet, dass eine minimale Preisänderung eine unendlich große Änderung der Nachfrage bewirkt. p G p N (), p A () in GE/ME G p A p N 57

4 Erlös und Gewinn Erlösfunktion onkurrenzbetrieb: E() = p... Preis konstant Erlösfunktion linear Monopolbetrieb: E() = p()... p() = Preis-Absatz-Funktion Gewinnfunktion Sowohl bei vollständiger onkurrenz als auch im Monopolbetrieb gilt G() = E() (). Gewinnzone: G() = bzw. E() = () BEP (Break-Even-Point) und OG (obere Gewinngrenze) gewinnmaimierende Menge: G () = C (im Monopolbetrieb Cournot sche Menge genannt) gewinnmaimierender Preis im Monopolbetrieb (Cournot scher Preis): p C = p( C ) Der Cournot sche Punkt ( C p( C )) liegt auf dem Graphen der Preis-Absatz-Funktion. riterium für den maimalen Gewinn: onkurrenzbetrieb: () = p... Grenzkosten = Preis Monopolbetrieb: () = E ()... Grenzkosten = Grenzerlös Grafische Darstellung der Zusammenhänge im onkurrenzbetrieb: (), E(), G() in GE E G BEP G Grafische Darstellung der Zusammenhänge im Monopolbetrieb: (), E(), G() in GE, p () in GE/ME E G p C p BEP C G 58

5 Sonderfälle des osten- und Gewinnverlaufs Lineare Gesamtkostenfunktion () = v + f ( v... variable osten, f... fie osten) Durchschnittskosten: () = v + f Das Betriebsoptimum liegt an der apazitätsgrenze (Randminimum). variable Durchschnittskosten: v () = v... konstant Es eistiert kein Betriebsminimum. Im onkurrenzbetrieb (Erlösfunktion linear) ist bei linearer Gesamtkostenfunktion auch die Gewinnfunktion linear: G() = (p v ) f Die Gewinnfunktion hat nur eine Nullstelle (Break-Even-Point). Die gewinnmaimierende Produktionsmenge liegt an der apazitätsgrenze (Randmaimum). Grafische Darstellung der Zusammenhänge bei linearer Gesamtkosten- und Gewinnfunktion: (), E(), G() in GE E Break-Even-Point G BEP (), v () in GE/ME V Quadratische Gesamtkostenfunktion () = a 2 + b + c Für a < (degressiver ostenverlauf) gilt: Betriebsoptimum und Betriebsminimum an apazitätsgrenze (Randminima) Im onkurrenzbetrieb (Erlösfunktion linear): gewinnmaimierende Produktionsmenge an der apazitätsgrenze (Randmaimum) Für a > (progressiver ostenverlauf) gilt: Betriebsminimum an apazitätsgrenze (Randminimum) 59

6 Volkswirtschaftliche Anwendungen onsumenten- bzw. Produzentenrente, Wohlfahrt onsumentenrente (Customers Surplus CS): Differenz zwischen dem Höchstpreis p ma, den ein onsument gerade noch zu zahlen bereit wäre, und dem Gleichgewichtspreis p G. Produzentenrente (Producers Surplus PS): Differenz zwischen dem Gleichgewichtspreis p G und dem Mindestpreis p min, zu dem ein Produzent gerade noch anzubieten bereit wäre. Die aggregierte onsumentenrente in einem Markt entspricht in der Grafik der violetten Fläche, die aggregierte Produzentenrente der orangen Fläche. p N (), p A () in GE/ME GpN CS = () d G p G GpA PS = G p G () d p A G... Gleichgewichtsmenge, p G... Gleichgewichtspreis Die Summe der beiden Flächeninhalte, also die Summe von onsumenten- und Produzentenrente (= die Fläche zwischen Preisfunktion des Angebots und Preisfunktion der Nachfrage links vom Gleichgewichtspunkt) ist die Gesamtrente oder Wohlfahrt. p G G p N Lorenz-urve und Gini-oeffizient Lorenz-urve: Grafische Darstellung der Einkommensverteilung eines Lands. Waagrechte Achse: prozentueller Anteil der Bevölkerung, beginnend mit jenem mit dem geringeren Einkommen. Senkrechte Achse: zugehöriger Anteil am Gesamteinkommen. Gini-oeffizient: Maß für die (Ungleich-)Verteilung des Einkommens in einem Land. Der Gini-oeffizient G entspricht der doppelten Fläche zwischen der Gleichverteilungskurve y = und der Lorenz-urve. G = 2 Flächeninhalt zwischen y = und Lorenz-urve Falls die Lorenz-urve stückweise lineare Funktion ist, setzt sich die Fläche unterhalb der Lorenz-urve aus Trapezflächen zusammen. Wenn die Abstände auf der -Achse gleich sind ( ), gilt folgende Formel: G = 1 ( 2 Σ n i = 1 y i + 1) mit y i und y i 1 Bei einer stetigen Lorenz-urve (zb Annäherung durch die Punkte ( ) und (1 1) gehende und im Intervall [; 1] monoton steigende urve L() mittels Regression gilt folgendes Flächenintegral: 1 G = 2 ( L()) d Anteil des Einkommens 1,8,6,4,2 Linie der totalen Gleichheit Gini-Bereich Lorenz-urve,2,4,6,8 1 Anteil der Bevölkerung 6

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