MATHEMATIK FÜR DIE PRAXIS

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1 MATHEMATIK FÜR DIE PRAXIS EIN HANDBUCH HERAUSGEGEBEN VON KURT SCHRÖDER UNTER MITARBEIT VON GISELA REISSIG UND ROLF REISSIG MIT 254 ABBILDUNGEN DRITTE, BERICHTIGTE AUFLAGE Technische Hochschule Institut füh&gelungstechnik I VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSEjNSCHAFTEN BERLIN 1966

2 INHALT Zeichnen und Rechnen 1. Zahlen und Rechengesetze Einleitung Der Gleichheitsbegriff Die natürlichen Zahlen Subtraktion der natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Ordnungsbeziehung und Absolutbetrag Die Zahlengerade Division ganzer Zahlen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Summen und Produkte von endlich vielen reellen Zahlen Vollständige Induktion, Zahlenmengen und Zahlenfolgen Das Dezimalsystem Dualsystem und Oktalsystem Das Potenzieren und dessen Umkehrungen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 71 r 2. Rechenhilfsmittel und Hinweise für die praktische Durchführung von Rechnungen Allgemeines über das Rechnen Allgemeines über Rechenhilfsmittel *, Der Rechenschieber Tischrechenmaschinen Hinweise für das Addieren und Subtrahieren Hinweise für das Multiplizieren und Dividieren Multiplizieren Dividieren mit großer Genauigkeit.? Division mit großstelligem Zähler Division mit großstelligem Nenner Verschiedene Maschinentricks Hinweise für das Potenzieren Hinweise für das Radizieren Schriftliche Berechnung von Quadratwurzeln, wenn keine Rechenmaschine zur Verfügung steht Berechnung der Quadratwurzel mit Hilfe einer Tischrechenmaschine Iterationsverfahren Hinweise für das logarithmische Rechnen Die Quersummenprobe Der binomische Lehrsatz Genähertes Rechnen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 105

3 12 Inhalt 3. Funktionen Der Funktionsbegriff Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen Ganze rationale Funktionen Gebrochene rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Die Winkelfunktionen Trigonometrische Funktionen als reelle Funktionen Die Arkusfunktionen Die Exponentialfunktion Die gewöhnliche Exponentialfunktion Die hyperbolischen Funktionen f Die Areafunktionen Algebraische Funktionen Tabellen Interpolation bei Funktionen einer Veränderlichen Interpolation bei Funktionen zweier Veränderlicher Fehlerfortpflanzung in Differenzenreihen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Rüstzeug zur Herstellung graphischer Darstellungen Einleitung _ Zeichengeräte Reißzeug Zeichenbrett und Zubehör Zeichenmaschine Zeichenstifte, Farbstifte, Tusche Zeichen- und Schreibfedern, Schriftschablonen, Tuschefüllhalter Der Zeichenbogen Papiersorten Formatgrößen Die Zeichnung Technische Darstellung eines Gegenstandes Maßeintragung, Maßstab Graphische Darstellungen Beschriftungen Benennung, Benummerung und Änderung zeichnerischer Unterlagen Vervielfältigungen Lichtpausen Zeichnungen für Druckzwecke Zeichnungen für Diapositive Übungen Zeichenübungen Schriftübungen Übersicht über wichtige Normen Darstellende Geometrie Senkrechte Parallelprojektion auf eine Tafel (Eintafelprojektion) Punkt und Gerade, Zwei Geraden im Raum Die Ebene im Raum Schnitt einer Ebene mit einer Geraden Wahre Gestalt von ebenen Figuren im Raum 196

4 Inhalt Die Abbildung des Kreises Ellipsenkonstruktionen Gärtnerkonstruktion Papierstreifenkonstruktion Verwendung von Krümmungskreisen Konstruktion einer Ellipse aus einer Achse und einem Punkt Konstruktion der Achsen einer Ellipse, wenn zwei konjugierte Durchmesser vorliegen Böschungen Senkrechte Parallelprojektion auf zwei Tafeln (Zweitafelprojektion) Grund- und Aufriß eines Punktes Die Gerade im Raum Zwei Geraden im Raum, Darstellung von Ebenen Darstellung von Körpern Schattenkonstruktionen Schrägbild Zentralprojektion Übungsaufgaben Aufgaben zu Aufgaben zu Literaturverzeichnis, 226 Mathematischer Vorkurs 6. Kombinatorik Permutationen Erklärungen Die Anzahl der Permutationen von n Elementen Gerade und ungerade Permutationen Das Produkt von Permutationen Inverse Permutationen Der GruppenbegrifT Kombinationen und Variationen Kombinationen Variationen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Lineare Algebra Determinanten Der Determinantenbegriff Eigenschaften von Determinanten Verfahren zur Berechnung von Determinanten Matrizen.' : Bezeichnungen Gleichheit von Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Division von Matrizen Orthogonale Matrizen Der Rang einer Matrix Die charakteristischen Zahlen einer Matrix Systeme von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten Auflösung mit Hilfe von Determinanten 293

5 14 Inhalt Zusammenhang zwischen homogenen und inhomogenen Systemen Die Cramersche Regel Lineare Abhängigkeit Homogene Systeme Inhomogene Systeme Der Gaußsche Algorithmus Iterationsverfahren Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Vektorrechnung., Anschauliche Vektorrechnung Rechtwinklige kartesische Koordinatensysteme Definition des Vektors Multiplikation von Skalar und Vektor Addition von Vektoren Lineare Abhängigkeit von Vektoren Das skalare Produkt f Das vektorielle Produkt Das Spatprodukt Weitere zusammengesetzte Produkte Einige Bemerkungen zum Vektorbegriff.? Der abstrakte Vektorraum Der Tensorbegriff Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Trigonometrie Die trigonometrischen Funktionen Definition der trigonometrischen Funktionen Haupteigenschaften Die Additionstheoreme Ebene Trigonometrie Sinus- und Kosinussatz Das rechtwinklige Dreieck Die Dreiecksungleichungen Die Grundaufgaben Halbwinkel- und Tangenssatz Der Flächeninhalt von Dreiecken Sphärische Trigonometrie Einführung Der Flächeninhalt sphärischer Dreiecke., Die Kosinussätze und das Polarprinzip Der Sinussatz Rechtwinklige sphärische Dreiecke Ungleichungen für sphärische Dreiecke Halbwinkel- und Halbseitensatz Die Neperschen Analogien Berechnung sphärischer Dreiecke Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Analytische Geometrie Koordinatensysteme 409

6 Inhalt Koordinatensysteme in der Ebene Koordinatensysteme im Raum Die Gerade Die Parameterdarstellung Die allgemeine Gleichung der Geraden in der Ebene Spezielle Formen der Gleichung einer Geraden in der Ebene Die Hessesche Normalform, Winkel zwischen zwei Geraden Die Ebene Die Parameterdarstellung Die allgemeine Gleichung Die Hessesche Normalform Winkel zwischen zwei Ebenen Kreis und Kugel Die Gleichungen für Kugel und Kreis Die Gleichung der Kreistangente Ellipse, Hyperbel und Parabel Die Ellipse Die Hyperbel Die Parabel Gemeinsame Definition für Ellipse, Hyperbel und Parabel Die Scheitelgleichung Die Polargleichung Die Tangentengleichungen Die Asymptoten der Hyperbel Konjugierte Durchmesser Die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwischen zwei Veränderlichen Transformation der Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel Die algebraischen Kurven zweiter Ordnung Die algebraischen Flächen zweiter Ordnung Metrische, affine und projektive Betrachtungen Hauptachsentransformation Metrische Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung Affine Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung Projektive Koordinaten Pol und Polare Projektive Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung Affine Betrachtungen Kleins Erlanger Programm Übungsaufgaben Literaturverzeichnis , Komplexe Zahlen Einleitung Die Grundgesetze der Arithmetik für die komplexen Zahlen Grundgesetze der Gleichheit Grundgesetze der Addition Grundgesetz der Subtraktion Grundgesetze der Multiplikation Grundgesetz der Division Verschiedene Darstellungen für komplexe Zahlen Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen Die trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen 487

7 16 Inhalt Die geometrische Veranschaulichung der vier Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Das Rechnen mit Beträgen Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die Moivreschen Formeln Wurzeln von komplexen Zahlen :4.4. Die Kreisteilungsgleichung Die Potenz mit beliebigem reellen Exponenten Einige Anwendungen Aufspaltung in Real- und Imaginärteil Rechnen mit konjugierten Größen Das Hornersche Schema im Fall komplexer Argumentwerte Algebraische Gleichungen Die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Nomographie Einleitung Allgemeiner Überbück Nomographische Darstellung von Funktionen vom Additionstyp Additions- und Subtraktionstafeln Dualität zwischen Netztafel und Fluchtlinientafel Fluchtlinientafel mit drei parallelen Trägern, Schlüsselgleichung, Skalengleichungen Beispiel, Überlagerung von Nomogrammen, Doppelleiter Fluchtlinientafel mit drei geradlinigen Trägern durch einen Punkt, Schlüsselgleichung, Trägergleichungen, Beispiele Nomogramme vom Multiplikationstyp Hyperbeltafel, Strahlentafel, Verstreckung, Darstellung durch Tafel mit geraden Trägern > Konstruktion logarithmischer Einheiten Duale Übertragung der Strahlentafel, das JV-Nomogramm, Schlüsselgleichung, Skalengleichungen Beispiel Beeinflussung der Trägergleichungen durch geeignete Maßnahmen Verzifferung der Skalen zur Erweiterung der Bereiche Nomogramme mit beliebig gestalteten Trägern Massausche Bedingungen, Soreausche Determinante Nomogramme mit zwei parallelen Trägern, Schlüsselgleichung, Skalengleichungen Beispiel Projektive Transformation Erweiterung zur Darstellung von mehr als drei Variablen Nomogramme mit zwei aufeinander senkrecht stehenden Trägern, Schlüsselgleichungen, Skalengleichungen Beispiele Leitertafeln mit einem geradlinigen Träger, Schlüsselgleichung, Skalengleichungen Beispiel Kegelschnittnomogramme Schlüsselgleichung, Skalengleichungen Konstruktion der Skalen auf einem vorgegebenen Kegelschnitt Darstellung von Additions- und Multiplikationstypen Beispiele Genauigkeitsbetrachtungen bei Anwendung von Nomogrammen 578

8 Inhalt Ursachen von Fehlablesungen Ablesefehler an Funktionsskalen Fehlerbetrachtungen an einer Leitertafel mit parallelen Trägern Verstreckung von Kurven und Kurvenscharen Darstellung über y/x als Ordinate Verstreckung durch Funktionsnetze Das Potenzpapier Das Exponentialpapier Die projektiven Funktionsnetze nach FISCHER Spezialrechenschieber Konstruktionsprinzip, Ausführungsarten, Schlüsselgleichung Der normale Rechenschieber Spezialrechenschieber, gegenläufige Teilung, Erweiterung auf mehr als drei Veränderliche Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 593 Inhalt des zweiten Bandes 595 Inhalt des dritten Bandes 598 Namen- und Sachverzeichnis 601 * 2 Mathematik Air die Praxis I