1. Aufgabe: (ca. 14 % der Gesamtpunkte)

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1 17. Auust Aufabe: (ca. 14 % der Gesamtpunkte) Ein Punkt führt eine eradinie Beweun aus, bei der ṡ(s) d.h. die Geschwindikeit in Abhänikeit vom We durch das foende Diaramm eeben ist: s v 0 inear 0 0 s a) Bestimmen Sie s(t). b) Für wechen Wert von t ist s(t) =?

2 17. Auust 26 Musterösun - Aufabe 1 a) Geradeneichun aus Diaramm b) Trennun der Veränderichen s t iefert ṡ(s) = v 0 v 0 s = v 0(1 s ) ṡ = ds dt s s d s = t n(1 s ) s 0 = v 0 t t s = e v 0 t v 0 d t s(t) = (1 e v 0 t ) s(t ) = (1 e ) =

3 17. Auust Aufabe: (ca. 22 % der Gesamtpunkte) m, θ S x S ϕ µ 0 r 1 r 2 S α F 0 Eine auf einer rauhen Ebene ruhende Seitromme (Masse m, Massenträheitsmoment θ S ) wird in Beweun esetzt, indem am Sei unter dem Winke α mit der konstanten Kraft F 0 ezoen wird. a) Schneiden Sie das System frei (Freikörperbid). b) Bestimmen Sie die Bescheuniun a s des Schwerpunktes S, wenn die Tromme rot. c) Wie roß muss dafür der Haftkoeffizient µ 0 sein? Geeben: m, θ S, F 0, r 1, r 2, α,

4 17. Auust 26 Musterösun - Aufabe 2 a) Freikörperbid x s ϕ r 2 F 0 r 1 m S α N H b) Kräfte- und Momentenansatz Kinematik Schwerpunktbescheuniun ma s = F 0 cos(α) H (1) 0 = N m +F 0 sinα (2) Θ s ϕ = r 1 H r 2 F 0 (3) x s = r 1 ϕ, v s = r 1 ϕ a s = r 1 ϕ a s = F 0cos(α) r 2 r 1 m 1+ Θs r1 2m c) Damit kein Rutschen auftritt, muss eten H µ 0 N. Daraus fot aus (1), (3) H = F 0 aus (2) Θ scos(α) r 2 1 m + r 2 r 1 1+ Θs r 2 1 m N = m F 0 sin(α) Einsetzen iefert µ 0 Θ scos(α) r 2 1 m + r 2 r 1 ( m F 0 sin(α))(1+ Θs r 2 1 m)

5 17. Auust Aufabe: (ca. 20 % der Gesamtpunkte) v 1 m 2 z m 1 Zur Messun der Geschwindikeit eines Geschosses (m 1 ) wird das in der oberen Abbidun darestete baistische Pende verwendet. Das Geschoss drint mit einer Geschwindikeit v 1 in das Pende (m 2 ) ein und beibt stecken (vopastischer Stoß). Dabei bewet sich das System um eine Höhe z nach oben. Aus dieser Höhendifferenz so nun die Geschosseschwindikeit (v 1 ) ermittet werden. Geeben: m 1, m 2,, z

6 17. Auust 26 Musterösun - Aufabe 3 v 1 m 1 m 2 z Stoßesetz: Impuserhatun ǫ = v 2 v 1 v 1 v 2 pastischer Stoß:ε = 0 v 2 = v 1 Enerieerhatun nach dem Stoß m 1 v 1 +m 2 v 2 = m 1 v 1 +m 2 v 2 v 2 = 0, v 2 = v 1 v 1 = m 1 +m 2 m 1 v 2 (1) Ekin Stoß +EStoß pot = Ekin z +E z pot 1 2 (m 1 +m 2 ) v = 0+(m 1 +m 2 ) z v 2 = 2 z in(1) v 1 = m 1 +m 2 2 z m 1

7 17. Auust Aufabe: (ca. 22 % der Gesamtpunkte) y x ϕ m r M Das oben abebidete System bestehend aus zwei Massen m und M, die über ein masseoses starres Sei verbunden sind, besitzt zwei Freiheitsrade. Das Sei ist reibunsfrei über zwei Roen eführt. a) Steen Sie den Orts- und den Geschwindikeitsvektor der Masse m im skizzierten x-y- Koordinatensystem auf. b) Steen Sie die Beweunseichunen mit der Methode nach Larane in den eebenen Koordinaten r und ϕ auf. Geeben:,, m, M Hinweis: Andere Lösunswee as die Methode nach Larane werden nicht bewertet.

8 17. Auust 26 Musterösun - Aufabe 4 System in auseenkter Lae y 3 N.N. x 1 1 cos(ϕ) ϕ r 2 rcos(ϕ) m M r 1 sin(ϕ) rsin(ϕ) a) Orts- und Geschwindikeitsvektor von m ( 1 sin(ϕ)+rsin(ϕ) r m = 1 cos(ϕ) rcos(ϕ) b) ), rm = ( 1 cos(ϕ) ϕ+ṙsin(ϕ)+rcos(ϕ) ϕ 1 sin(ϕ) ϕ ṙcos(ϕ)+rsin(ϕ) ϕ r m 2 =[( 1 +r)cos(ϕ) ϕ+ṙsin(ϕ)] 2 +[( 1 +r)sin(ϕ) ϕ ṙcos(ϕ)] 2 =( 1 +r) 2 cos 2 (ϕ) ϕ+2( 1 +r)ṙ ϕcos(ϕ)sin(ϕ)+ṙ 2 sin 2 (ϕ) +( 1 +r) 2 sin 2 (ϕ) ϕ 2( 1 +r)ṙ ϕsin(ϕ)cos(ϕ)+ṙ 2 cos 2 (ϕ) =( 1 +r) 2 ϕ 2 +ṙ 2 ) Ortsvektor zu M: ( r M = 3 2 +r ) r M = ( 0 ṙ ) r M 2 = ṙ 2 Kinetische Enerie: T = 1 2 Mṙ m(ṙ2 +( 1 +r) 2 ϕ 2 ) Potentiee Enerie: V = ( 1 r)cos(ϕ)m +( 2 +r)m = Mr mrcos(ϕ) 1 mcos(ϕ) 2 M Äußere Kräfte: Keine äußeren Kräfte Q k = 0

9 LAGRANGE-Geicheichun: d dt ( T ϕ d dt ( T ϕ ) = d dt (1 2 m2( 1 +r) 2 ϕ) = d dt (m( 1 +r) 2 ϕ) = m( 1 +r) 2 ϕ+2m( 1 +r)ṙ ϕ d dt ( T ṙ ) = (m+m) r T ϕ = 0 T r = 1 2 m2( 1 +r) ϕ 2 = m( 1 +r) ϕ 2 V ϕ = mrsin(ϕ)+ 1msin(ϕ) V = M mcos(ϕ) r ) T ϕ + V ϕ = 0 : m( 1 +r) 2 ϕ+2m( 1 +r)ṙ ϕ+( 1 +r)msin(ϕ) = 0 d dt ( T T ) ṙ r + V r = 0 : (m+m) r m( 1 +r) ϕ 2 +M mcos(ϕ) = 0

10 17. Auust Aufabe: (ca. 22 % der Gesamtpunkte) d m k An einer masseosen Stane der Läne 2 ist eine Punktmasse m befestit. a) Wie roß darf d sein, damit das System im Erdschwerefed schwint (keine Ausschäe)? b) Wie roß muss der Dämpfunsrad D ewäht werden, damit nach 10 Voschwinunen die Ampitude auf ihres Anfanswertes abefaen ist und wie roß ist dann die 1 10 Schwinunsdauer? Geeben:, k,, m.

11 17. Auust 26 Musterösun - Aufabe 5 Freischnitt A F d m F c a) Drasatz Θ A ϕ = F d F c 2 m2ϕ Mit Θ A = m(2) 2, F d = d ϕ, F c = c2ϕ fot Da Schwinun nur für δ < ω fot d c 8m < m + 2 ϕ+2δ ϕ+ω 2 ϕ = 0 δ = d 8m, ω2 = c m + 2 d < 8 cm+ m2 2 b) Durch x n+10 = xn fot 10 2πD 10 = n x n 1 = n10 D = 1 D 2 x n+10 ( 20π n10 )2 +1 0,0366 Für T d fot T d = 2π ω 1 D 2π 2 ω = 2π 2m 2c+m