Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad TEP

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1 Verwandte Begriffe Maxwellsches Rad, Translationsenergie, Rotationsenergie, potentielle Energie, Trägheitsmoment, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Momentangeschwindigkeit, Gyroskop. Prinzip Ein Rad, welches sich um seine Achse an zwei Seilen abrollen kann, bewegt sich in einem Gravitationsfeld. Potentielle Energie, Translationsenergie und Rotationsenergie werden ineinander umgewandelt und als Funktion der Zeit bestimmt. Material 1 Stativ-Fuß DEMO Stativstange PHYWE, 4 Kanten, l = 1000 mm Doppelmuffe PHYWE Maßstab, l = 1000 mm Schieber für Maßstab, 2 Stück, Kunststoff, rot Maxwellsches Rad Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, rot Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, blau Gabellichtschranke mit Zähler Haltevorrichtung mit Drahtauslöser Plattenhalter, Öffnungsweite 0-10 mm Adapter, BNC-Stecker/ 4 mm Sicherheitsbuchsen Kondensator, 100 nf, 250 V, Gehäuse G Netzgerät 5 V DC/ 2,4 A mit 4 mm Steckern Abb. 1: Versuchsaufbau zur Untersuchung der Energieerhaltung,it dem Maxwellschen Rad. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 1

2 Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad Aufgaben Bestimmung des Trägheitsmoments des Maxwellschen Rads. Mit Hilfe des Maxwellschen Rads werden 1. die potentielle Energie, 2. die Translationsenergie, 3. die Rotationsenergie als Funktion der Zeit bestimmt. Aufbau und Durchführung Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 und 2 dargestellt. Durch Benutzung der verstellbaren Schrauben an der Stativstange ist die Achse des entspannten Maxwellschen Rads horizontal auszurichten. Beim Aufwickeln ist darauf zu achten, dass die Wicklungen einwärts verlaufen. Die Wicklungsdichte sollte auf beiden Seiten ungefähr gleich sein. Es ist daher zwingend notwendig, die erste Auf- und Abbewegung des Rads zu beobachten, da eine falsche Wicklung (auswärts, über Kreuz) ein Losreißen des Kreisels bewirken kann. Der Öffnungsschalter, d.h. die Nadel, die in einem Loch der Kreisscheibe des Maxwellschen Rads steckt, wird dazu verwendet, das Rad mechanisch zu starten. Bei der Bestimmung von Weg und Zeit wird über den Öffnungsschalter außerdem der Zähler gestartet. Der Öffnungsschalter sollte so eingestellt werden, dass das Rad nach dem Start weder oszilliert noch rollt. Des Weiteren sollten die Seile für die Versuchsdurchführung immer in die gleiche Richtung gewickelt werden. Abb. 2: Anschluss der Lichtschranke. Messung der Zeit t, die das Rad ab dem Start s bis zum Erreichen der Lichtschranke benötigt Schließen Sie den Öffnungsschalter wie in Abb. 2 dargestellt an die Lichtschranke an. Drücken und sichern Sie den Drahtauslöser. Stellen Sie den Auswahlschalter der Gabellichtschranke auf Drücken Sie die Taste Set der Lichtschranke Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung versetzt und der Zähler der Lichtschranke gestartet. Nachdem das Rad die Nadel der Haltevorrichtung passiert hat, wird der Drahtauslöser erneut gedrückt und gesichert, bevor die Lichtschranke unterbrochen wird. Der Zähler wird gestoppt, sobald die Rotationsachse in den Lichtstrahl der Gabellichtschranke eintritt. 2 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

3 Messung von t zur Bestimmung der Translationsgeschwindigkeit v Trennen Sie das Trigger In -Signal von der Lichtschranke. Fixieren Sie das Rad mit Hilfe der Haltevorrichtung in Startposition. Stellen Sie den Schalter der Gabellichtschranke auf Drücken Sie die Taste Set der Lichtschranke. Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung gesetzt, während der Zähler der Lichtschranke noch nicht gestartet wird. Sobald die Rotationsachse in die Lichtschranke eintritt, wird der Zähler gestartet. Er stoppt, wenn die Rotationsachse die Lichtschranke passiert hat. Die Geschwindigkeit zur Zeit t+ t 2 wird bestimmt auf der Grundlage der gemessenen Zeit t mit v= ( t + t 2 ) = s t Da der Weg s und die Zeit t relativ genau und unabhängig voneinander gemessen werden können, ist die unten angegebene Gleichung (1) am besten für die Bestimmung des Trägheitsmoments geeignet. Die Zeiten t sind im Allgemeinen weniger genau. Es ist daher nicht angebracht, weitere Werte (z.b. Iz aus Gleichung (2)) aus diesen Daten abzuleiten. Sie sind allerdings hilfreich für die Überprüfung der ermittelten Energiewerte, die basierend auf der Weg-Zeit-Messung berechnet wurden. Theorie und Auswertung Die Gesamtenergie E des Maxwellschen Rads mit der Masse m und dem Trägheitsmoment I z um die Rotationsachse setzt sich wie folgt aus potentieller Energie E p, Translationsenergie E T und Rotationsenergie E R zusammen: E=m g s+ m 2 v2 + I Z ω 2 2 Hier bezeichnet ω die Winkelgeschwindigkeit, ν die Translationsgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und s die (negative) Höhe. Abb. 3: Beziehung zwischen der Erhöhung des Winkels d ϕ und der Reduzierung der Höhe d s des Maxwellschen Rads. Mit der Notation aus Abb. 3 und d s=d ϕ r P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 3

4 Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad ν d s dt =d ϕ dt r ω r mit r als Radius der Spindel. Im vorliegenden Fall ist g parallel zu s und ω senkrecht zu r, sodass E= m g s(t)+ 1 2 (m+i Z /r 2 )(v(t)) 2 Da die Gesamtenergie E über die Zeit konstant ist, ergibt sich durch Differenzieren de dt =0= m g v(t )+(m+i Z/r 2 )v(t) v(t) Für s(t=0)=0 und v(t=0)=0 erhält man und s(t)= 1 2 m g m+i Z /r 2 t2 (1) v(t ) ds dt = m g 2 t (2) m+i Z /r Die Masse m beträgt hier m = 0,436 kg. Der Radius r der Spindel ist r = 2,5 mm. Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 4 und aus dem exponentiellen Ausdruck: erhalten wir Y = A X B B=1,99±0,01 A=0,0196±0,0015 m/ s 2 Abb. 4: Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads von der Zeit. Mit Gleichung (1) folgt als Trägheitsmoments I Z =9, kgm 2 Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 5 und aus dem exponentiellen Ausdruck: erhalten wir Y = A X B 4 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

5 B=1,03±0,015 (siehe Formel (2)) Abb. 5: Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit. Aus Abbildung 6 ist zu erkennen, dass die potentielle Energie nahezu vollständig in Rotationsenergie umgewandelt wird. Abb. 6: Energie des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit 1. Negative potentielle Energie 2. Translationsenergie 3. Rotationsenergie P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 5