D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 4

Transkript

1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 4. MC-Aufgaben Online-Abgabe). Es sei f : [a, b] R eine Funktion. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) b) f ist stetig f ist differenzierbar. f ist stetig = f ist differenzierbar. c) f ist stetig = f ist differenzierbar. d) Es gibt keinen derartigen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar, zum Beispiel bei = 0.. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle = 6? a) y = b) y = 4 +. c) y =. d) y = 4. f : [, ) R,, e) Keine der obigen Antworten ist richtig. Die Tangente ist durch eine Gleichung der Form y = a+b gegeben, wobei a = f 6) ist und b dadurch bestimmt ist, dass die Tangente den Punkt 6, f6)) enthält. Es gilt f ) = und damit a = f 6) = 4. Aus 6, f6)) = 6, ) folgt, dass b die Gleichung = b erfüllt, dass also b = gilt. Also ist die Gleichung in b) die richtige. Bitte wenden!

2 3. Im folgenden Bild ist die rote Gerade im Punkt P tangential an die blaue Kurve, die der Graph einer Funktion f : R R ist. Welchen Wert hat die Ableitung f an der Stelle? a) b) Richtig! Der Wert f ) ist die Steigung m der Geraden, welche die Tangente an den Graphen von f im Punkt, f)) definiert. Die Steigung ist: m = y = 0 3) = 4 =. c) 3 d) e) Keiner dieser Werte ist korrekt. Siehe nächstes Blatt!

3 4. Gegeben seien die folgenden Graphen von Funktionen f) g) h) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? a) f = g Wenn f = g gelten würde, dann müsste die Ableitung von f in 0 verschwinden, da g dort eine Nullstelle hat. Man sieht jedoch, dass dies nicht der Fall ist. b) g = f Richtig! f hat drei Nullstellen 0 < < und an diesen veschwindet offenbar die Ableitung von g. Ausserdem ist g auf, 0 ) monoton fallend, auf 0, ) monoton steigend, auf, ) monoton fallend und auf, ) monoton steigend. Auch das passt zu dem Verhalten von f, welche negativ auf, 0 ) ist, positiv auf 0, ) ist, negativ auf, ) ist und positiv auf, ) ist. All das sind Indizien dafür, dass die Aussage korrekt ist. c) f = h Richtig! h hat zwei Nullstellen 0 < und an diesen verschwindet offenbar die Ableitung von f. Ausserdem ist f monoton steigend auf, 0 ), monoton fallend auf 0, ) und monoton steigend auf, ). Auch das passt zum Verhalten von h, welche positiv auf, 0 ) ist, negativ auf 0, ) ist und postiv auf, ) ist. All das sind Indizien dafür, dass die Aussage korrekt ist. d) h = g Wenn h = g gelten würde, dann müsste die Ableitung von h in verschwinden, da g dort eine Nullstelle besitzt. Man sieht jedoch, dass dies nicht der Falls ist. e) g = h Richtig! Das folgt aus g = f und f = h. f) f = g Wenn f = g wäre, dann müsste g für alle < 0 negativ sein; stellt man sich nämlich vor, man würde auf dem Graphen von f mit dem Auto entlang fahren, dann lenkt man bis zum Punkt 0, 0) nach rechts, d.h. f ) < 0 für alle < 0. Jedoch ist g negativ auf dem Intervall, 0). Bitte wenden!

4 . Berechne f : Df) R für a) f : [, ] [0, π], arccos); b) f : R 0 R, 3 + sin arctan))) 07; c) der Umkehrfunktion f von g : 0, + ) 0, ), e ; Lösung: a) Mittels der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen wir f ) = sinarccos)). Weil arccos [0, π] für alle [, ] gilt sinarccos ) 0 für alle [, ] und deshalb sinarccos)) = =. cosarccos)) Es gilt also arccos) =. b) Aus Serie Aufgabe 5d) wissen wir, dass sinarctan)) = + und deshalb gilt ) 07 f) = Somit berechnen wir mit der Kettenregel f ) = 07 3 /3 + ) + 3/ + = /3 + ) 3/ c) Weil ) ) ) ) 06. e ln )) = e ln ) = ist die Funktion f gegeben durch ln ). Man kann f nun einfach direkt ableiten oder die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion benutzen. Weil gilt g ) = 4e, berechnen wir mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion f ) = 4f)e f) = 4 ln ) = =, ln ) = ln ). Siehe nächstes Blatt!

5 3. a) Es sei die Funktion f : R >0 R durch die Abbildungsvorschrift ln) gegeben. Berechne in Abhängigkeit von die Fläche des Dreiecks A, wobei t die Tangente an den Graphen von f bezeichnet. b) Es sei nun f : R >0 R gegeben durch f) = 4. Bestimmen Sie einen Wert von, für den die Fläche des Dreiecks A, konstruiert wie in Teilaufgabe a), den Wert annimmt. Lösung: a) Da die Tangente im Punkt 0, ln 0 )) die Steigung 0 hat, folgt, dass die Tangente t am Punkt 0, ln 0 )) gegeben ist durch die Abbildungsvorschrift 0 + ln 0 ). Die Seite des Dreiecks A welche auf der y-achse liegt hat also folgende Länge Somit ist die Fläche des Dreiecks A gleich. ln 0 ) t0) = ln 0 ) ln 0 ) ) =. b) Da die Tangente im Punkte, 4 ) die Steigung hat, ist die Länge der Seite auf der y-achse gleich. Somit ist die Fläche des Dreiecks A immer gleich und jeder Wert von zulässig. 4. Es sei eine kleine Grösse. Finde lineare Näherungen d.h. die lineare Ersatzfunktion im Punkt 0) für die folgenden Ausdrücke: a) +) ; b) e + ; c) 000 ) 3 ; d) 364 k ). Bitte wenden!

6 Lösung: Die lineare Ersatzfunktion im Punkt 0 is gegeben durch f 0) + f0). Wir müssen also in jeder Teilaufgabe den Term f 0) und den Term f0) berechnen. a) Wir berechnen und deshalb gilt ) + ) = + ) 3, + ). b) Beachte e + ) = e + und deshalb e + e + e. c) Weil erhalten wir ) 000 ) 3 = 3000 ) /3 000 ) d) Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten mit der verallgemeinerten Produktregel lösen. Die verallgemeinerte Produktregel lauetet wie folgt: Falls also z.b. n = 3, dann gilt u u u n ) = n u u i u iu i+ u n. i= u u u 3 ) = u u u 3 + u u u 3 + u u u 3. Wir berechnen also 364 k ) ) = k l=0,l k l ). Wenn wir = 0 setzen dann erhalten wir k l=0,l k l 0 ) = k l=0,l k = k. Die Gauss sche Summenformel welche in der Schnellübung, Aufgabe hergeleitet wurde) sagt uns 364 k =. Wenn man alles zusammenfasst, erhält man folgende Näherung k ) 8 +. Siehe nächstes Blatt!

7 5. In einem geraden Kreiskegel sei die Höhe h genau bekannt. Der halbe Öffnungswinkel α wird gemessen, wobei der Messfehler kleiner als α ist. Wie wirkt sich dieser Messfehler bei der Berechnung des Volumens des Kegels aus? Berechne den absoluten und den relativen Fehler. Lösung: Die Gleichung für das Volumen eines geraden Kegels lautet wie folgt V = Grundfläche h. 3 Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius tanα)h und hat somit Flächeninhalt πtanα)h). Deshalb gilt V = V α) = π 3 tanα) h 3. Wir berechnen mittels der Kettenregel V α) = πh3 3 tanα) tanα) = πh3 3 tanα) cosα) = πh3 sinα) 3 cosα) 3. Wir wissen aus der Vorlesung, dass also gilt für den absoluten Fehler Für den relativen Fehler gilt V α + α) V α) α + V α), V α + α) V α) πh3 3 sinα) cosα) 3 α. V α + α) V α) V α) πh 3 3 sinα) cosα) 3 α π 3 tanα) h 3 = sinα) cosα) α = 4 sinα) α.