Ich kann den SdP anwenden, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen.

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1 Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m Themen: Stz des Pythgors, Qudrtische Gleichungen Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn den Stz des Pythgors (SdP) in Worten formulieren. Ich knn den SdP nwenden, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. Ich knn mit Hilfe des SdP den Abstnd zweier Punkte im Koordintensystem berechnen. Ich erkenne rechtwinklige Teildreiecke in ebenen geometrischen Figuren (Rechteck, gleichschenkliges Dreieck, Rute, Trpez ) und in räumlichen Figuren (Quder, Pyrmide ) und berechne dmit Seitenlängen, Umfänge und Flächeninhlte. Ich knn den SdP beweisen. Ich kenne und verstehe die im Unterricht drgestellten Beweise: Qurkkuchen ( Stuhl der Brut ), Puzzle-Beweis, Pythgors und Algebr Ich knn zu in Worten formulierten Schufgben Skizzen nfertigen und dnn den SdP nwenden. Ich knn Umfng und Flächeninhlt ebener Figuren berechnen (Rechteck, Dreieck, Prllelogrmm, Rute, Trpez). Ich knn die Umkehrung des Stzes des Pythgors formulieren und die Umkehrung nwenden, um zu entscheiden, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Ich knn Terme usmultiplizieren und verwende dbei uch die Binomischen Formeln. Dmit knn ich qudrtische Gleichungen in die llgemeine Form bringen. Ich knn einfche qudrtische Gleichungen der Formen x² = c oder (x d)² = r durch Wurzel ziehen lösen und verstehe, wnn und wrum sie keine, eine oder zwei Lösungen ht. Ich kenne den Nullproduktstz und knn ihn nwenden, um Gleichungen in fktorisierter Form (wie (x+5) (7 5x)=0 ) zu lösen. Ich knn einfche qudrtische Gleichungen der Form x² + bx = 0 durch Ausklmmern und Verwenden des Nullproduktstzes lösen. Ich knn eine llgemeine qudrtische Gleichung durch qudrtische Ergänzung in die Form (x d)² = r umformen und somit lösen. Ich kenne die p-q-formel und verwende sie, um qudrtische Gleichungen schnell zu lösen. knn ich muss ich üben Schu uch in dein Regelheft und uf ds Übersichtsbltt zu Qudrtischen Gleichungen! Wenn du Frgen hst, drfst du mir uch immer eine E-Mil schicken: vh.esmtk@t-online.de ich helfe gerne!

2 Mthemtik Klsse 9c Übungen zu Arbeit Nr. m Aufgbe 1: Formuliere den Stz des Pythgors. Aufgbe : Berechne jeweils (exkt) die Länge der Strecke x: ) b) 7 7 x x 1 f Aufgbe : Berechne den Flächeninhlt einer Rute mit der Seitenlänge = 1 cm und einer Digonle f = cm. Aufgbe : Berechne den Umfng eines Dreiecks ABC mit den Eckpunkten A( ), B( 1) und C( ). Aufgbe 5: ) Welchen Flächeninhlt ht ein gleichseitiges Dreieck mit einem Umfng von 15 m? b) Stelle eine Formel uf, mit der mn den Flächeninhlt A eines gleichseitigen Dreiecks us seinem Umfng U berechnen knn. T S Aufgbe 6: Auf einen Würfel mit der Kntenlänge = 5 cm sind wie bgebildet zwei qudrtische Pyrmiden mit den Spitzen S und T ufgesetzt. Die Seitenknten dieser Pyrmiden hben ebenflls die Länge = 5 cm. ) Wie groß ist der Oberflächeninhlt dieses Körpers? b) Wie lng ist die Strecke von S nch T? Aufgbe 7: Zwischen zwei Pfählen mit einem Abstnd von,50 Metern ist wgrecht eine dehnbre Wäscheleine fest gespnnt. Hängt mn in der Mitte einen Bügel mit einem nssen Wäschestück, senkt sich die Wäscheleibe um 15 cm. ) Fertige eine Skizze n. b) Um wie viel cm ht sich die Wäscheleine gedehnt?

3 Aufgbe 8: Psst eine 00 mm lnge, 1850 mm breite und 0 mm strke Sperrholzpltte durch eine 100 mm breite und 100 mm hohe rechteckige Fensteröffnung? Begründe durch eine Rechnung, erläutere Deinen Anstz durch eine Skizze. Aufgbe 9: D im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90 gilt: α + β = 90, können vier kongruente solche Dreiecke wie bgebildet zu einem Qudrt zusmmengelegt werden. Beweise dmit den Stz des Pythgors. Aufgbe 10: Gib jeweils die volle Lösungsmenge der folgenden Gleichungen n. ) x 1x 51 0 b) ( x 5)( x ) 10 c) ( x ) ( x ) 0 d) x 10x 0 e) x 0x 7 0 f) x ( x 7) x 5 g) (x 5) 19 0x Aufgbe 11: Bestimme möglichst geschickt lle Lösungen dieser Gleichungen. ) 7x x b) ( 6) x c) x 0x d) x x 7)( x ) 0 ( Aufgbe 1: Erläutere m Beispiel der Gleichung x 1x 5 0 die Methode der qudrtischen Ergänzung zu ihrer Lösung. Aufgbe 1: Für welche Werte der Formvriblen t ht die Gleichung x tx 0 ) keine Lösung, b) nur eine Lösung, c) zwei Lösungen? Aufgbe 1: Welche Seitenlängen ht ein Rechteck mit dem Umfng U = 5 cm und dem Flächeninhlt A = dm²? Viel Erfolg!

4 Mthemtik Klsse 9c Lösungen zu den Übungen zu Arbeit Nr. 1 m Aufgbe 1: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Flächeninhlte der beiden Kthetenqudrte ist so groß wie der Flächeninhlt des Hypotenusenqudrtes. Aufgbe : ) x² + (:)² = 7² x = 5 5, b) x = 1 = 1. Aufgbe : Die ndere Digonle e steht senkrecht uf f. D beides Symmetriechsen der Rute sind, f zerlegen sie diese in kongruente rechtwinklige Dreiecke. In diesen gilt (e:)² + (f:)² = ². Somit ist e = 1 1 cm = 10 cm. Der Flächeninhlt der Rute beträgt lso A = ½ (e : ) (f : ) = ½e f = 10 cm². Aufgbe : AB ( ( )) ( 1 ( )) ; AC ( ( )) ( ( )) 1 5 ; BC ( ) ( ( 1)) U = AB AC BC , 015. Aufgbe 5: U ) = U/ = 5m. A = 10,85 m². b) A = U. 6 T Aufgbe 6: ) Die Oberfläche besteht us Qudrten und 8 gleichseitigen h d/ Dreiecken. Also gilt O = ² + 8 ( ) (5m)² 186,605 cm². = ( ) = b) ST h, wobei h die Höhe einer der Pyrmiden ist. Nch dem Stz des Pythgors gilt mit der Digonlen d 1 des Qudrtes: h² + (d/)² = ² h² =, lso h =. Somit ist h ST (1 ) (1 ) 5m 8,0711 cm. S Aufgbe 7: Es entsteht eine Figur mit einem gleichschenkligen Dreieck. Drin ist für die Länge L der gedehnten Leine (L/)² = (15cm)² + (50cm :)². Drus erhält mn L = 51,86 cm. Also ist die Leine u, 1.8 cm länger geworden.

5 Aufgbe 8: Die Digonle des Fensters ist nch dem Stz des Pythgors nur mm 18 mm lng. Ddurch psst die Pltte weder in ihrer Breite, geschweige denn in ihrer Länge. Aufgbe 9: Der Flächeninhlt des großen Qudrtes beträgt einerseits c² (= Länge des Hypotenusenqudrtes), ndererseits setzt er sich us rechtwinkligen Dreiecken mit den Flächeninhlten ½ b (, b Ktheten) und einem Qudrte mit der Seitenlänge b (Differenz der Kthetenlängen) zusmmen. Somit gilt: c² = ½ b + (b )² = b + b² b + ² = ² + b². Aufgbe 10 ) x 1x 51 0 p/ = 7 ; D = 7² + 51 = 100 > 0 IL= { ; 17} b) ( x 5)( x ) 10 <==> x² + x 10 = 10 <==> x(x + ) = 0 IL= { 0 ; } c) ( ) ( x ) 0 x <==> x = 0 oder x + = 0 (Nullproduktstz!) IL= { ; } d) x 10x 0 p/ = 5 ; D = 5² = 7 < 0 IL= { } 7 x 5x 0 e) 0x 7 0 IL= {,5 + ;,5 } x p/ =,5 ; D =,5² + 1,75 = 8 > 0 f) x ( x 7) x 5 x 7x x 5 x 10x 5 0 p/ = 5 ; D = 5² 5 = 0 IL= { 5 } g) (x 5) 19 0x 16x Wurzel ziehen, Lösungen IL= { 1 / ; 1 / } 0x x 16x 169 x Aufgbe 11: ) 7x x 7x x 0 x(7x ) 0 x 0 7x 0 0 x 7 b) ( x 6) x 6 x 6 x 6 x 6. x. c) x 0x ( x 10) x 10 5 x 15 x 5 x. 1 1 d) x 7)( x ) 0 x 0 x 7 0 x 1 0 x 0 x 7 x. x (

6 Aufgbe 1: Bringe zunächst die Gleichung uf Normlform (ds ist hier nicht mehr nötig). Bringe dnn ds konstnte Glied uf die rechte Seite und zerlege ds linere in x (p/), so dss mn erkennen knn, welche qudrtische Ergänzung notwendig ist: x 1x 5 0 x x 7 5. Nun ddiere uf beiden Seiten 7², so dss links die. Binomische Formel ngewendet werden knn: x x ( x 7). Nun liegt eine einfche qudrtische Gleichung vor, die durch Wurzelziehen gelöst werden knn: x 7 x 7 x 7 9 x 7 5. Aufgbe 1: Die Diskriminnte ist D ( t ). b) D = 0 gilt für t = 8 oder für t = 8. Für diese beiden Werte gibt es genu eine Lösung. ) D < 0 gilt für 8 < t < 8. Für die Prmterwerte zwischen 8 und 8 ist die Gleichung lso unerfüllbr. c) D > 0 gilt für t < 8 oder für t > 8. Wenn lso der Betrg des Prmeterwertes über 8 liegt, gibt es Lösungen. Aufgbe 1: x,y : Seitenlängen in cm ; U = (x+y) = 5, A = xy = 00 (vereinheitlichen!). 5 5 x( x) 00 x x 00 0 x,5 x 80. Die gesuchten Seitenlängen betrgen,5 cm und 80 cm.