1 Lineare Vektorräume
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- Erna Lorenz
- vor 6 Jahren
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1 1 Lineare Vektorräume 1.1 Der Raum à n Sei ÃeinKörper.DerRaum à n bestehtausn-tupelnin Ã,diespaltenweise angeordnet werden x 1 x 2 u =., x i Ã. x n Um weniger Platz zu verbrauchen, schreiben wir dafür auch u = (x 1,x 2,...,x n ) T. Die Elemente von à n bezeichnen wir als Vektoren, die von à als Skalare. Addition und Skalarmultiplikation definiert man komponentenweise x 1 +y 2 αx 1 (x 1+ y 1,x 2+ y 2) x 2 +y 2 u+v = (y 1,y 2)., αu = αx 2. x n +y n αx n Mit (x,x ) 1 2 (x,x ) 1 2 α(x,x ) 1 2 Im R 2 können wir einen Vektor zunächst als Punkt in ein Koordinatensystem einzeichnen und diesen dann mit dem Nullpunkt des Koordinatensystems verbinden. Der am Ende in den Punkt eingezeichnete Pfeil gibt die Orientierung des Vektors an. Die Addition zweier Vektoren verläuft anschaulich wie im nebenstehenden Bild. Wir verschieben (y 1,y 2 ) so, dass sein Fußpunkt auf dem Endpunkt von (x 1,x 2 ) steht, der Endpunkt des so verschobenen Vektors zeigt dann auf den Endpunkt der Summe. Für α 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder Verkürzung um das α-fache. Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich die Orientierung um. (1.1) e 1 = (1,0,0,...,0) T, e 2 = (0,1,0,...,0) T,... können wir schreiben (1.2) u = (x 1,x 2,...,x n ) T = Man bezeichnet {e i },...,n auch als kanonische Basis. n x i e i. Viele mathematische Objekte lassen sich mit einer offensichtlichen Identifikation auf den à n zurückführen: Beispiele 1.1 (i) Polynome in einer Variablen x Ê sind von der Form p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x a n x n = n a i x i, a i Ê für i = 0,1,...,n. Da wir hier beliebige x Ê einsetzen können, definiert jedes Polynom eine Abbildung p : Ê Ê. Polynome addiert man komponentenweise und multipliziert sie komponentenweise mit Elementen α Ê: Für p(x) = i a ix i, p (x) = i a i xi sowie α Ê ist i=0 p(x)+p (x) = i (a i +a i)x i, αp(x) = i αa i x i. 1
2 Wir sagen, das Polynom p besitzt den Grad k, wenn a k 0 und wenn a i = 0 für alle i > k. Der RaumderPolynomevomGrad nwirdmit È n bezeichnet. È n lässtsichvermögederidentifikation p(x) = n a i x i (a 0,a 1,...,a n ) Ê n+1 mit dem Ê n+1 identifizieren. Denn zum einenist dieseinebijektiveabbildung zwischen den angegebenen Räumen. Weiter erhält diese Abbildung die beiden hier definierten algebraischen Operationen Addition und Skalarmultiplikation: Bezeichnen wir die angegebene Abbildung mit I : È n Ê n+1, also Ip = (a 0,a 1,...,a n ), so gilt I(p+p ) = Ip+Ip, I(αp) = αi(p) p,p È n α Ê. (ii) Hier betrachten wir (m n)-schemata der Form a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a ij à für 1 i m, 1 j n. a m1 a m2... a mn Diese Schemata kommen in Form von Tabellen überall vor. Spezieller bezeichnen wir ein solches Schema als (m n)-matrix, wenn zusätzlich noch Addition und Skalarmultiplikation definiert sind: Für (m n)-matrizen A und B mit erzeugenden Koeffizienten a ij bzw. b ij sowie α à setzen wir a 11 +b 11 a 12 +b a 1n +b 1n αa 11 αa αa 1n a 21 +b 21 a 22 +b a2n+b 2n A+B =..., αa = αa 21 αa αa 2n.... a m1 +b m1 a m2 +b m2... a mn +b mn αa m1 αa m2... αa mn Man beachte, dass diese Addition nur definiert ist, wenn die beiden Dimensionsgrößen m und n für die beiden Matrizen die selben sind. Für eine (m n)-matrix schreiben wir kürzer A = (a ij ) 1 i m, 1 j n oder manchmal, wenn die Dimensionierung aus dem Zusammenhang klar ist, noch kürzer A = (a ij ). Damit gilt für A = (a ij ), B = (b ij ) einfach A+B = (a ij +b ij ), αa = (αa ij ). Ähnlich wie im vorigen Beispiel verfahren wir für den Raum à m n der (m n)-matrizen und setzen I : à m n à mn, IA = (a 11,...,a 1n,a 2,1,...,a 2,n,...,a mn ) T, d.h. wir stellen die Zeilen der Matrix A von oben nach unten als Vektor des à mn zusammen. Diese Abbildung ist bijektiv zwischen den angegebenen Räumen und erhält Addition und Skalarmultiplikation, I(A + B) = IA + IB, I(αA) = αia. Wir können den Raum der (m n)-matrizen daher komplett mit dem à mn identifizieren. Der kanonischen Basis für den à mn entsprechen die kanonischen Basismatrizen für 1 i m, 1 j n { 1 falls i = j A ij = (δ ij ) mit δ ij = 0 falls i j. 1.2 Allgemeine lineare Vektorräume Wir betrachten eine Menge V mit einem ausgezeichneten Element 0 V und einem Körper Ã. Auf (V, Ã) sollen zwei Operationen + : V V V und : à V V definiert sein, wobei meist kürzer α u = αu geschrieben wird. Die Menge V heißt linearer Vektorraum über dem Körper Ã, und die Elemente von V dann Vektoren, wenn man mit V und à so rechnen kann, wie wir es vom à n gewohnt sind. Also: 2
3 (A1) V bildet mit der Operation + eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0 V. (A2) Es gelten die beiden distributiven Gesetze für α,β Ã, u,v V, α(u+v) = αu+αv, (α+β)u = αu+βu. (A3) Es gilt ein Assoziativgesetz für die Skalarmultiplikation (αβ)u = α(βu), α,β Ã, u V. (A4) Für die 1 des Körpers à gilt 1 u = u für alle u V. Das wichtigste Beispiel für einen linearen Vektorraum ist der im vorigen Abschnitt eingeführte à n mit dem Nullvektor 0 = (0,0,...,0) und den dort definierten Operationen. Aus den Axiomenen lassen sich leicht die Rechenregeln 0 u = 0, α 0 = 0 ableiten. Die Ungenauigkeit unserer Notation, nämlich nicht zwischen 0 à und 0 V zu unterscheiden, wird dadurch ein wenig abgemildert. Die erste Gleichheit folgt aus 0 u = (0+0) u = 0 u+0 u, und, da (V,+) eine Gruppe ist, 0 u = 0. Die zweite Gleichung folgt genauso mit Hilfe des anderen Distributivgesetzes: α 0 = α (0+0) = α 0+α 0. Zwei weitere aus dem à n bekannte Gesetze gelten ebenfalls in allgemeinen Vektorräumen Das linke Gesetz folgt leicht mit ( 1) u = u, αu = 0 α = 0 oder u = 0. ( 1) u+u = ( 1+1) u = 0 u = u, also ist u invers zu ( 1) u. Das zweite Gesetz beweist man so: Ist α = 0, so ist in der Tat α u = 0. Ist α 0, so können wir beide Seiten mit α 1 multiplizieren und aus α 1 (αu) = 0 folgt mit dem Assoziativgesetz u = 0. Wir nennen eine Teilmenge U eines linearen Vektorraums Unterraum von V, wenn U selber ein linearer Vektorraum über à ist. Satz 1.2 Sei V ein Vektorraum über à und U V eine Teilmenge von V. Dann ist U genau dann ein Unterraum von V, wenn er abgeschlossen bezüglich den beiden Operationen Addition und Skalarmultiplikation ist, wenn also u+u U und αu U für alle u,u U und für alle α Ã. Wir sagen daher auch, dass U die Axiome (A1)-(A4) von V erbt. Beweis: Viel ist hier nicht zu zeigen. Wegen 0u = 0 ist auch 0 U und wegen u = ( 1)u U ist auch das inverse Element bezüglich der Addition in U. Die weiteren Axiome gelten in U, weil sie bereits in V gelten. Beispiele 1.3 (i) Die Menge der Abbildungen von à nach à bilden einen linearen Vektorraum über à mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, (f +g)(x) = f(x)+g(x), (αf)(x) = αf(x). Der Nullvektor ist die Nullabbildung x 0 und das inverse Element zu f ist f. Die Axiome folgen aus den Rechenregeln für Ã. Jeder Polynomraum È n ist demnach ein Unterraum dieses Raumes. (ii) Neben dem trivialen Unterraum U = {0} und dem ganzen Raum, der immer Unterraum von sich selbst ist, gibt es im Ê 2 als Unterräume nur noch die Geraden, die durch den Nullpunkt laufen. Sie werden von einem Vektor u Ê 2 \ {0} erzeugt durch U u = {αu : α Ê}. Dieses Beispiel zeigt auch, dass im Allgemeinen U 1 U 2 keine Unterraumstruktur besitzt. Liegen u 1 0 und u 2 0 nicht auf einer Geraden, so ist u 1 +u 2 / U 1 U 2. 3
4 In Ergänzung zum letzten Beispiel sei angemerkt, dass beliebige Schnitte von Unterräumen wiederum Unterräume sind. 1.3 Linearkombinationen und erzeugende Systeme Sei ab nun V ein linearer Vektorraum über dem Körper Ã. Für Vektoren u 1,...,u k und Skalare α 1,...,α k heißt u = α 1 u 1 +α 2 u α k u k = α i u i eine Linearkombination der Vektoren u 1,...,u k. Wir können den Vektoren u 1,...,u k die Menge der mit ihnen erzeugten Linearkombinationen zuordnen U = { u = } α i u i : α i à für 1 i k U ist Unterraum, denn wenn u = i α iu i und u = i α i u i, so ist auch u+u = i (α i+α i )u i U und auch αu = i αα iu i U. U heißt der von u 1,...,u k aufgespannte Unterraum und wird auch mit U = span{u 1,...,u k } bezeichnet. Ist U = V so heißt {u i },...,k erzeugendes System von V. 1.4 Basis und Dimension Für eine Folge von Vektoren u 1,u 2,... können wir die Folge von aufgespannten Unterräumen betrachten U k = span{u 1,...,u k }. Klar ist U k eine aufsteigende Folge von Unterräumen, aber wann wird U k+1 echt größer als U k? Wenn beispielweise u k+1 bereits in U k enthalten ist, u k+1 = β i u i, so kommt in den Linearkombinationem mit u k+1 gegenüber U k nichts Neues hinzu wegen k+1 α i u i = (α i +α k β i )u i, also gilt in diesem Fall U k+1 = U k. Wir sagen, die Menge von Vektoren u 1,...,u k ist linear unabhängig (kurz: l.u.), wenn α i u i = 0 α 1 = α 2 =... = α k = 0. In diesem Fall kann keiner der Vektoren u i als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden, denn dann hätten wir ja u j = i j α iu i, also i j α iu i u j = 0 und die Vektoren wären nicht linear unabhängig. Man kann das dahinterstehene Prinzip noch etwas markanter formulieren: Lemma 1.4 Die Vektoren u 1,...,u k sind genau dann linear unabhängig, wenn jedes u U = span{u 1,...,u k } sich eindeutig als Linearkombination der u i darstellen lässt. 4
5 Beweis: Angenommen, es gäbe zwei Darstellungen von u, u = α i u i = α iu i. Dann folgt 0 = i (α i α i )u i. Die Eigenschaft α i = α i für alle i ist daher äquivalent zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren u i. Sind die Vektoren u 1,...,u k nicht l.u., so heißen sie linear abhängig (kurz: l.a.). In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Linearkombination zur 0, also i α iu i = 0 mit mindestens einem α i0 0. In diesem Fall können wir nach u i0 = i i 0 α i /α i0 u i auflösen. Kurz: Die Vektoren u 1,...,u k sind genau dann l.a., wenn man zum Aufspannen des Unterraums U k = span{u 1,...,u k } nicht alle Vektoren u 1,...,u k benötigt. Eine nichtleere Menge M V heißt linear unabhängig, wenn alle endlichen Teilmengen von M linear unabhängig sind. Andernfalls heißt M linear abhängig. Da die leere Menge keine endlichen Teilmengen enthält, ist sie l.u. Beispiele 1.5 (i) Sei V = à n und seien e i, i = 1,...,n, die kanonischen Basisvektoren aus (1.1). Wegen x x 2 u =. = x x x 0 n. x n sind die Vektoren {e i },...,n l.u.: Jeder Vektor e i ist sozusagen für die i-te Komponente zuständig. (ii) Enthält eine Menge den Nullvektor, ist sie linear abhängig, denn der Nullvektor ist bereits selber l.a. (iii) Sind u 1,...,u k l.u. und sind λ 1,...,λ k 1 beliebige Skalare, so sind auch die Vektoren u 1 λ 1 u k,...,u k 1 λ k 1 u k,u k l.u., denn wenn so folgt k 1 α i (u i λ i u k )+α k u k = 0, k 1 ( α i u i + α k k 1 λ i α i )u k = 0, und wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit zunächst α 1,...,α k 1 = 0 und dann schließlich α k = 0. Wir sagen, der lineare Vektorraum V wird endlich erzeugt, wenn eine endliche Menge von Vektoren den Raum V aufspannen. Lemma 1.6 V werde von den n Vektoren v 1,...,v n erzeugt. Dann ist jede n+1-elementige Menge M V l.a.. Beweis: Angenommen, die Menge M = {w 1,...,w n+1 } ist l.u.. Wir tauschen sukzessive ein Element von M gegen ein Element von N = {v 1,...,v n } aus. Da die Elemente von N den Raum V erzeugen, gibt es α i à mit w 1 = n α iv i. Da w 1 nicht der Nullvektor ist, gibt es ein α i0 0. Wir tauschen in M v i0 gegen w 1 aus. Durch Umnummerierung erreichen wir für die modifizierte Menge N die Gestalt N = {w 1,v 2,...v n }. N ist nach wie vor erzeugend. Auf diese Weise fahren wir fort und tauschen nach und nach die anderen Elemente von N aus. Dieser Austauschprozess kommt zum Erliegen, wenn in w k+1 = k 1 α iw i + n i=k α iv i die α i mit i k alle verschwinden. 5
6 In diesem Fall ist w k+1 eine Linearkombination der w i und die Ausgangsmenge M l.a.. Geht der Austauschprozess bis zum Ende durch, so ist N vollständig ersetzt durch {w 1,...,w n } und w n+1 lässt sich als Linearkombination der w i für i n darstellen. Auch in diesem Fall sind die Vektoren in M l.a.. Nun kommt der wichtigste Begriff der linearen Algebra: Ein linear unabhängiges erzeugendes System von V heißt Basis von V. Aus dem letzten Lemma folgt: Besitzt ein Vektorraum eine Basis mit endlich vielen Elementen, so haben alle Basen dieses Raumes dieselbe endliche Zahl von Elementen. Mit M bezeichnen wir die Kardinalität der Menge M. Haben wir zwei endliche Basen B,B von V, so folgt aus dem letzten Lemma B B und B B. Satz 1.7 Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis. Beweis: Sei {u 1,...,u k } ein erzeugendes System des Vektorraums V. Sind die u i l.u., so sind wir fertig. Andernfalls gilt für einen Index i 0 u i0 = i i 0 α i u i. Wir können das u i0 aus der Menge {u 1,...,u k } entfernen, die Menge bleibt erzeugend. Denn in jeder Linearkombination der u i kann mit der letzten Gleichung das u i0 eliminiert werden. Nach endlich vielen Schritten dieser Konstruktion erhalten wir eine Basis von V. Ein endlich erzeugter Vektorraum V heißt endlich dimensional. Die Mächtigkeit n Æ der Basis heißt Dimension von V. Wir schreiben dann dimv = n und setzen für den etwas pathologischen Fall dim{0} = 0. Ist V nicht endlich erzeugt, so schreiben wir dimv =. Beispiele 1.8 (i) Es gilt dim à n = n und die einfachste Basis ist die kanonische Basis {e i },...,n wie in (1.1),(1.2). (ii) = 1 ist Vektorraum über und es gilt natürlich dim = 1. Wir können aber auch als Ê-Vektorraum auffassen und in diesem Fall gilt dim = 2 mit den kanonischen Basisvektoren 1 und i = 1. Dies entspricht unserer reellen Vorstellungswelt, in der die komplexen Zahlen als ebene Vektoren dargestellt werden. (iii) Auch unendlich dimensionale Vektorräume besitzen eine Basis, allerdings gibt es i.a. kein Verfahren, um eine solche Basis zu konstruieren. Eine Ausnahme bildet der einfachste unendlich dimensionale Vektorraum c 00, der aus den endlichen Folgen besteht. Gedanklich verlängern wir eine endliche Folge durch Nullen zu einer unendlichen Folge. Auf diesen verlängerten Folgen können wir wie gewohnt komponentenweise addieren und mit Skalaren multiplizieren. In beiden Fällen verbleibt der Ergebnisvektor im Raum der endlichen Folgen. Die kanonischen Einheitsvektoren {e i } bilden wieder eine Basis dieses Raumes, diesmal allerdings für i = 1,2,... Damit ist dimc 00 = und der Raum ist abzählbar dimensional. Satz 1.9 Sei dimv = n und für s < n seien b 1,...,b s l.u.. Dann gibt es b s+1,...,b n V, so dass b 1,...,b n eine Basis von V ist. Bemerkung 1.10 Der Satz kann auch verwendet werden, um eine Basis zu konstruieren. In diesem Fall startet man mit einem beliebigen b 1 V \{0}. Beweis: Da alle Basen die gleiche Kardinalität besitzen, ist V s = span{b 1,...,b s } echt in V enthalten. Es gibt daher ein b s+1 V \V s. Wäre in s+1 α i b i = 0 α s+1 0, so b s+1 = s α i/α s+1 b i V. Daher ist α s+1 = 0 und aus der linearen Unabhängigkeit von b 1,...,b s folgt α i = 0 für die übrigen i. Damit sind auch die Vektoren b 1,...,b s+1 l.u. und mit dieser Konstruktion erreicht man schließlich das gewünschte Ziel. 6
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