Optik Strahlenoptik Wellenoptik

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1 831.book Seite 1 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Inalterzeicni Mecanik Grundeigencaften on Körpern und Stoffen Gleicförige Bewegungen Gleicäßig becleunigte Bewegungen Zuaengeetzte Bewegungen Zuaenetzung und Zerlegung on Kräften Newtonce Geetze Verciedene Arten on Kräften Mecanice Energie, ecanice Arbeit und Leitung Mecanik tarrer Körper Ipul und Ipuleraltung Graitation Mecanice Scwingungen Mecanice Wellen Terodynaik Betractungweien und Modelle Terice Veralten on Körpern und Stoffen Aggregatzutandänderungen und kalorietrice Meungen Gageetze Kinetice Gateorie Hauptätze der Terodynaik und Kreiprozee Teperaturtralung und Stralunggeetze Elektrizitätlere und Magnetiu Elektrice Feld Magnetice Feld Elektroagnetice Induktion Gleictrokrei Elektrice Leitungorgänge Weceltrokrei Elektroagnetice Scwingungen und Wellen Optik Stralenoptik Wellenoptik Quantenpyik Quanteneffekte bei elektroagneticer Stralung Interferenz on Quantenobjekten Kopleentarität und Unbetiteit Ato- und Kernpyik Pyik der Atoülle Pyik de Atokern Spezielle Relatiitätteorie Von der klaicen Pyik zur Relatiitätteorie Relatiitice Kineatik Relatiitice Dynaik

2 831.book Seite 3 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 3 Mecanik (LB S ) Grundeigencaften on Körpern und Stoffen (LB S. 16) 1. Die Mae lät ic betien, inde an eine betite Anzal N on Tropfen in ein Becergla gibt, deen Mae orer genau betit wurde. Dann wird die Mae de Becerglae it den N Tröpfcen betit. Die Mae eine Tropfen Öl erält an dann folgenderaßen: T = E -- A N. Die Betiung der Dicte erfordert da Meen on Mae und Voluen. Die Mae kann it einer Waage betit werden. Da Voluen de enclicen Körper kann o erittelt werden: Eine Badewanne wird it Waer gefüllt und der Waertand arkiert. Eine Peron teigt in die Wanne und tauct weitgeend ein. E wird wiederu der Waertand arkiert. Nac de Herauteigen au der Wanne wird der Waertand it eine Mebecer bi zur zweiten Markierung aufgefüllt. Da aufgefüllte Voluen it gleic de Körperoluen. Die Dicte kann dann it r = berecnet werden. V Beacte: Erittelt wird die ittlere Dicte. Diee erändert ic deutlic it de Ein- bzw. Auaten und liegt dann in der Regel zwicen 0,98 g c 3 und 1,0 g c Au Voluen und Mae kann die toffpezifice Dicte betit werden. Geuct: r Gegeben: V = 0, d = 1,79 kg Löung: r = V r = g = 8,95 g c 3 00 c 3 E könnte ic bei de Stoff u Kupfer andeln (Tabellenwert: r = 8,95 g c 3 ). Die Aufgabe it dealb nict eindeutig löbar, weil der Zuaenang zwicen Dicte und Stoff nict eindeutig it. 4. Die Anzal der Atoe kann au der AVOGADRO-Zal und au der olaren Mae erittelt werden. Geuct: N Gegeben: = 100 g N A = 6, ol 1 M Fe = 55,85 g ol 1 M Al = 6,98 g ol 1 M Cu = 63,55 g ol 1 Löung: N = N A M N Fe = 6, ol g ol = 1, ,85 g N Al = 6, ol g ol =, ,98 g N Cu = 6, ol g ol = 0, ,55 g 100 g Eien beteen au 1, Atoen, 100 g Aluiniu au, und 100 g Kupfer au 0, Die Mae kann au der olaren Mae und der Stoffenge n berecnet werden. Geuct: Gegeben: n H = 1, ol M H = 1,008 g ol 1 n Fe = 0,7 ol M Fe = 55,85 g ol 1 n NH3 = 0, ol M NH3 = 17,0 g ol 1

3 831.book Seite 4 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Löung: Au n = M folgt = n M H = 1, ol 1,008 - g ol = 1,1 g Fe = 0,7 ol 55,85 - g ol = 39,1 g NH3 = 0, ol 17,0 - g ol = 3,4 g 6. Die Mae eine Ato kann au der olaren Mae (Tabellenwert) und der AVOGADRO-Kontanten erittelt werden. Geuct: Gegeben: N = 1 N A = 6, ol 1 M C = 1,01 g ol 1 M Fe = 55,85 g ol 1 M U = 38,03 g ol 1 Löung: Au --- N = folgt = M - N N A M N A it N = 1 C = -- 1,01 g ol 6, gol = 1, Fe = g 6, gol = 9, U = g ol 6, gol = 3,95 10 Die Mae eine Kolentoffato beträgt 1, g, die eine Eienato 9, g und die eine Uranato 3,95 10 g. 7. Da Voluen kann an au der AVOGADRO-Kontanten, der olaren Mae und der Dicte eritteln. Die erforderlicen Werte können Tabellenwerken entnoen werden. Geuct: V Gegeben: r W = 1 g c 3 r M = 0,79 g c 3 M W = 18 g c 1 M M = 3 g c 1 N A = 6, ol 1 Löung: Au --- V = --- N folgt V = V --- N V N A N A Mit V = M erält an: r V = -- M und it N = 1 r N A V = -- M r N A V W = -- 18g c 3 ol =, c 3 1g 6, ol V M = -- 3g c 3 ol = 6, c 3 079g, 6, ol Ein Molekül Waer at ein Voluen on, c 3, ein Molekül Metanol on 6, c Unter Diffuion it die Erceinung zu erteen, da ic die Teilcen eine Stoffe it de eine anderen ericen. Typice Beipiele für Diffuion i Alltag ind: da Aubreiten on Gerücen (Parfü, Scweiß, Zigarettenrauc) in der Luft (dabei pielt auc äufig die Lufttröung eine Rolle); da Auflöen und Verteilen on Zucker und Salz in Flüigkeiten (Kaffee, Tee, Waer für Kartoffeln); da Eindringen on Farbe in Papier oder Wände. 9. a) Die Atoe bzw. Moleküle rutcen ineinander, änlic wie an da beobacten kann, wenn an z. B. Erben und Zucker ict.

4 831.book Seite 5 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 5 b) Die Maen der Augangtoffe und de Geice ind gleic. E gilt der Satz on der Eraltung der Mae. 10. a) E wirken zu einen die Koäionkräfte zwicen den Teilcen de Waer owie die Adäionkräfte zwicen Waer und Gla. b) Da beide Kräfte zwicenolekulare Kräfte it geringer Reicweite ind, kot e nict auf da Verältni irer Beträge an, ondern or alle auf die jeweiligen Bedingungen. In er engen Rören pielen die Adäionkräfte zwicen Waer und Gla eine größere Rolle al bei weiten Gefäßen, wo diee Kräfte nur eine Randkrüung bewirken. Die kapillare Steigöe ergibt ic zu: = - σ r g r ( Oberfläcenpannung, r Dicte, g Ortfaktor, r Radiu der Kapillare). Sie ängt bei einer gegebenen Flüigkeit nur o Radiu ab. 11. Welce Modell an anwendet, ängt o jeweil gegebenen Saceralt ab. Die genannten Saceralte tragen Beipielcarakter. a) Maepunkt: Becreibung der Flugban tarrer Körper: Abclag de Balle, wobei der Ball in Rotation eretzt wird b) Maepunkt: Bewegung läng einer Strecke tarrer Körper: Becreibung einer Pirouette it Änderung der Drezal c) Maepunkt: Bewegung läng einer Strecke tarrer Körper: Auto bei Einparken, Kurenfarten bei Einbezieung der Kräfte, die auf die einzelnen Räder wirken d) Maepunkt: Bewegung der Erde u die Sonne tarrer Körper: Becreibung der Erdrotation Gleicförige Bewegungen (LB S. 163) 1. a) A gleicförige Bewegung B in Rue C gleicförige Bewegung it größerer Gecwindigkeit al bei A D gleicförige Bewegung in entgegengeetzter Rictung zu A und C E in Rue b) Abcnitt A: = - = 60 = 6 = 1,6 k t 10 Abcnitt B: = 0 Abcnitt C: = - = 60 = 1 = 43, k t 5 c) Entceidender Untercied: Die Übergänge zwicen den erciedenen Bewegungarten würden nict zu eine Zeitpunkt, ondern in eine Zeitinterall or ic geen. Der Grap ätte keine Ecken. 13. a) I Augangzutand ind die Farzeuge A und B 300 oneinander entfernt. Wärend B zunäct tet, färt A gleicförig in Rictung B. Wärend A ier gleicförig in der gleicen Rictung weiterfärt, beginnt B bei t = 50 gleicförig in der ugekerten Rictung zu faren. Die Farzeuge entfernen ic wieder oneinander. b) Der Scnittpunkt der Grapen gibt den Ort und die Zeit an, wo ic beide Farzeuge treffen. Da it etwa bei x = 50 und t = 55 der Fall. 14. a) E liegen folgende Bewegungarten or: I: Gleicäßig becleunigte Bewegung au de Stilltand II: Gleicäßig becleunigte Bewegung it einer kleineren Becleunigung al bei I III: Ungleicäßig becleunigte Bewegung, wobei die Becleunigung ier größer wird IV: Gleicäßig erzögerte Bewegung bi zu Stilltand b) Die betreffenden Körper aben zu de Zeitpunkt t den gleicen Betrag der Gecwindigkeit.

5 831.book Seite 6 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 15. a) Relatigecwindigkeit bezüglic de Radfarer: Fußgänger: 15 k + 5 k = 0 Auto: 50 k 15 k = 35 b) Relatigecwindigkeit bezüglic de Fußgänger: Auto: 50 k + 5 k = 55 Radfarer: 15 k + 5 k = a) t = -- t = 11-3, 6 = 0,4 95 b) Bei Elfeter it der Abcupunkt de Balle fetgelegt. Eine Poition or der Torlinie würde zwar die öglicen Winkel geringfügig eincränken, zugleic aber die Reaktionzeit erkürzen. Sie würde z. B. bei einer Poition on or der Torlinie nur noc 0,34 betragen. Eine Poition deutlic or der Torlinie it dealb nict zweckäßig. 17. a) Geuct: Gegeben: t 1 = 14 in = = 80 k/ =, / t = 10 in = = k k k k Löung: E gilt 1 + = 1 it 1 = 1 t 1 = 1 t 1 =, 840 = ,3 k b) = --- t 1 + t = = 5,9 = 93, k a) Al Dauer de Überolorgange wird der Zeitrau zwicen de Wecel auf die Überolpur bi zu Einordnen angeeen. Neben der Relatigecwindigkeit it auc die Länge der Farzeuge zu beacten. Geuct: t Gegeben: l Pkw = 5 l Lkw = Pkw = 90 Lkw = 7 k --- k = 40 = 30 0 Beziet an die Bewegung de Pkw auf den Lkw, dann gilt: Die Relatigecwindigkeit beträgt 90 k/ 7 k/ = 18 k/ oder 5 /. Der Geatweg de Pkw bei Überolen beträgt = 95. Die erforderlice Zeit it dann: t = --- t = 95 = 19 5 b) = Pkw t = 5 19 = 475

6 831.book Seite 7 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 7 c) Einige dieer Bedingungen ind: Relatigecwindigkeit ollte öglict groß ein. Dann erkürzt ic die Überolzeit. Die Geattrecke u einebar ein. Dabei it zu beacten, da die Relatigecwindigkeit zu Gegenerker er groß ein kann. Gleicäßig becleunigte Bewegungen (LB S ) 19. a) Die Bewegung erfolgt in den erten ier Sekunden becleunigt, dann bi zu Ziel näerungweie gleicförig (iee Diagra). b) Die Berecnung der Becleunigung erfolgt unter der Annae, da die Bewegung de Läufer zu Zeitpunkt t = 0 beginnt. Da it aber in der Realität nict der Fall, weil bi zu Beginn der Bewegung eine betite Reaktionzeit erforderlic it. Dait it die tatäclice ittlere Becleunigung größer al die berecnete. Darüber inau geen wir on einer gleicäßig becleunigten Bewegung au. Geuct: a Gegeben: = 0 t = 3,70 in t in Löung: Au = a -- t erält an durc Utellung: a = - t a = - 0 =,9 ( 370, ) Die durccnittlice Becleunigung beträgt auf den erten 0 etwa,9. c) = - t = = 9,7 = 35 k , 7 d) Für die Augenblickgecwindigkeit gilt = - bei kleine t t Eine Möglickeit der Meung wäre die folgende: Zwei Lictcranken, die it einer elektronicen Ur gekoppelt ind, werden in kurzer Entfernung oneinander (z. B. = 1 ) angebract. Bei Aulöen der 1. Lictcranke beginnt die Ur zu laufen, bei Aulöen der. Lictcranke wird ie getoppt. Dabei u beactet werden, da die Lictcranken durc einen Körperteil augelöt werden, der ic nict tark unterciedlic bewegt (wie da z. B. bei Beinen und Aren der Fall it). Bei der gleiczeitigen Meung für erere Läufer it z. B. die Variante denkbar, da die Lictcranken enkrect zur jeweiligen Ban angeordnet werden. 0. a) Da Auto bewegt ic zunäct it gleicäßig becleunigt, färt dann gleicförig weiter (a = 0), becleunigt dann it a = 3 und erzögert ancließend it. b) E wird daon augegangen, da zu Zeitpunkt t = 0 gilt: 0 = 0, 0 = 0. Dann kann an die für da Zeicnen der Diagrae erforderlicen Werte berecnen: -t-diagra: 1 = a t 1 = 15 = 30 = 30

7 831.book Seite 8 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 3 = = 60 4 = 3 10 = 40 (nac 45 ) -t-diagra: = a -- t 1 = (15 ) = 5 = 1 + t = = 55 3 = + t + a -- t 4 3 = (10 ) 3 = = = t a -- t 4 = (10 ) 4 = = 155 Dait ergeben ic die folgenden Diagrae: in / t in in t in

8 831.book Seite 9 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 9 c) Au den Betractungen zu den Diagraen (iee Teilaufgabe b) ergibt ic: = t a -- t = (5 ) = = 1300 In 40 wird ein Weg on 1300 zurückgelegt. d) Die Höctgecwindigkeit wird nac 35 erreict. Sie beträgt 60 (iee b). e) a = kont. = = a t = a -- t Mit t = -- erält an: = a V V -- - = a a a Die Utellung nac ergibt: = () = a 1. E liegt eine gleicäßig becleunigte Bewegung or. Dait können die betreffenden Bewegunggeetze genutzt werden. a) Geuct: Gegeben: t = 5,0 a = 1,8 Löung: = a t = 1,8 5,0 = 9 b) = a -- t 1,8 = --- (5,0 ) c) = =,5 - t =, , = 4,5 = 16, k ---

9 831.book Seite 10 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik. a) in k/ t in b) Für da -t-diagra u an die zurückgelegten Wege berecnen: in 13,9 1 = a t -- 1 = (7 ) 49 7 t (Man kann auc recnen: 1 = ) = 1 + t = ,9 15 = 58 3 = + t 3 a -- t 3 13,9 3 = ,9 4 (4 ) 4 a in / t in 3 = ,6 7,8 1 3 = 85,8 86 Dait erält an die dargetellten Diagrae t in 3 3. a) Der Analteweg ergibt ic au der gleicförigen Bewegung wärend der Reaktionzeit und de Weg, der wärend de Breen zurückgelegt wird. Geuct: Gegeben: a = 5,5 = 30 k ---, 50 k ---, 70 k ---, 100 k --- Löung: = t 1 + a -- t Mit t = -- erält an: = t a a Dait ergibt ic für die erciedenen Gecwindigkeiten: = 30 k --- : = , , 3,6 5, 5 = 7,67 + 6,31 14

10 831.book Seite 11 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 11 = 50 k --- : 30 = 70 k --- : 5 = 100 k --- : 96 b) Der Analteweg ergrößert ic it teigender Gecwindigkeit überproportional. Dait wird bei öeren Gecwindigkeiten ein Analten or plötzlicen Hindernien kau noc öglic. Hinwei: Bei den für Pkw angegebenen Brewegen (eit on 100 k/ auf null), die bei etwa 35 liegen, andelt e ic u die reinen Brewege bei optialen Bedingungen und one Berückictigung der in der Praxi tet orandenen Reaktionzeit. 4. Die Geattrecke ergibt ic au den fünf Teiltrecken. Al Geatzeit wird 11 in angenoen. Geuct: Gegeben: 0 = 3 t 1 = in = 10 1 = 6 t = 3 in = 180 = 9 t 3 = 1 in = 60 3 = 3 t 4 = in = 10 t 5 = 3 in = 180 Löung: Berecnet werden jeweil die Einzelwege 1 bi 5. 1 = 0 t 1 + a -- t 1 it a = -- t 3 1 = (10 ) 10 1 = = 540 = 1 t = = = 1 t 3 + a -- t = (60 ) 60 3 = = = t 4 a -- t = (10 ) 10 4 = = 70 5 = 3 t 5 5 = = 540 = = = 3 330

11 831.book Seite 1 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 5. E oll näerungweie die Augenblickgecwindigkeit de letzten Waggon a Banteigende betit werden. Für die Augenblickgecwindigkeit gilt: = - bei kleine t. t Get an daon au, da die Zeit it einer Stoppur geeen werden oll und unbedingt auc ein Sicereitabtand zu farenden Zug eingealten werden u, dann könnte an z. B. folgende Verfaren wälen: Da Banteigende dient al Markierung für die Zeiteung. E wird die Zeit geeen, die der letzte Waggon zu Paieren dieer Markierung brauct. Au der Länge de Waggon und der Zeit ergibt ic ein Näerungwert für die Gecwindigkeit. 6. a) Für eine gleicäßig becleunigte Bewegung it Anfanggecwindigkeit gilt: = 0 t a -- t (1) = 0 a t () U zu den Gleicungen = (t) und = (t) zu gelangen, u a eliiniert werden. Die Abbrezeit ergibt ic au () it = 0 zu: t = 0 a Setzt an in (1) = H und t = 0, dann erält an: a H = 0 a a a H = -- 0 a Die Utellung nac a ergibt: 0 a = -- (3) H Durc Einetzen on (3) in (1) und () erält an die geucten Gleicungen: (t) = 0 t -- t 4 H (t) = 0 -- t H b) Au = t ergibt ic it 0 = 750 und H = 5 c: H 750 = t 0, t in 0,03 0,06 0,09 0,1 in in / ,03 0,06 0,09 0,1 t in

12 831.book Seite 13 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 13 0 Au = 0 t -- t ergibt ic it 0 = 750 und H = 5 c: 4 H 750 = 750 t - 4 0,05 t t in 0,03 0,06 0,09 0,1 in,0 3,5 4,47 4,95 in c ,03 0,06 0,09 0,1 t in c) Die Verzögerung (Becleunigung) ergibt ic au de Weg-Zeit- und de Gecwindigkeit- Zeit-Geetz: Au = 0 t a -- t erält an it = H : H = 0 t a -- t (1) Au = 0 a t ergibt ic it = 0: 0 = a t oder t = 0 a () Eingeetzt in (1) ergibt: H = = -- 0 a a a und dait: a = -- 0 H 750 a = - 0,05 a = 5, Die Verzögerung de Gecoe i Holz beträgt 5, d) E werden die in Teilaufgabe a abgeleiteten Gleicungen für (t) und (t) iteinander erknüpft: Au = t erält an H ( t = 0 ) --- H (1) Die Gleicung für den Weg lautet: 0 = 0 t -- t () 4 H Setzt an (1) in () ein, o erält an: 0 = 0 ( 0 ) H - 0 ( 0 ) H H 0

13 831.book Seite 14 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Die Vereinfacung der Gleicung ergibt: ( = 0 0 ) H ( ) -- H 0 0 = 0 H 0 H 0 H + 0 H H 0 = 0 H H Die Utellung nac ergibt: 0 = () = 0 H - H Dait kann an eine Wertetabelle berecnen: in c in Dait erält an da nebenteende Diagra. Au de Diagra it ablebar: Die albe Auftreffgecwindigkeit at da Geco in etwa 3,7 c Eindringtiefe. Hinwei: Der exakte Wert it 3,75 c in c 7. Au = g -- t und = g t ergibt ic: = g 1 13,89 = -- 9, t in = 9, a) Die Höe (Weg) kann au de Weg-Zeit-Geetz erittelt werden. Geuct: Gegeben: t 1 = 1, t = = 35 Löung: = g -- t 1 = 9,81 (1 ) = 4,9 = 9,81 ( ) = 19,6 Der Körper befindet ic dait nac 1 in 30,1 Höe und nac in 15,4 Höe.

14 831.book Seite 15 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 15 b) Geuct: t, Gegeben: = 35 Löung: Au = g -- t ergibt ic t = t = , g t =,67 = g t = 9,81,67 = 6, = 94,3 k 9. a) Die Gecwindigkeit de Fallcirpringer nit zunäct tark zu und erreict nac etwa 8 Sekunden freien Fall eine axiale Gecwindigkeit on 50. Mit dieer kontanten Gecwindigkeit bewegt ic der Fallcirpringer weiter. Bei Öffnen de Fallcir bei etwa 1 wird die Bewegung tark abgebret und erreict cließlic eine kontante Gecwindigkeit on etwa 6 k. b) Al freien Fall kann an die Bewegung eine Körper dann aneen, wenn der Einflu de Luftwidertande ernacläigbar it. Da it bei ielen Körpern der Fall, wenn die Falltrecke und dait auc die Fallzeit/Fallöe klein it. E it auc bei cweren, kleinen Körpern eer der Fall al bei leicten, größeren Körpern. 30. a) Bei de gegebenen Saceralt kann an on eine freien Fall augeen. Geuct: Gegeben: t = 4,0 Löung: = g -- t = 9,81 (4,0 ) = 78,5 Da Felplateau liegt ca. 79 über der Waeroberfläce. b) = g t = 9,81 4,0 = 39, = 141 Die Auftreffgecwindigkeit beträgt etwa 39 (140 k ). c) Mit = 78,5 : = 39,5 erält an au = g -- t : t = --- g t = -- 39, 5 9,81 t =,8 k Die Hälfte eine Wege at der Stein in ca.,8 zurückgelegt. d) Man erittelt die Fallzeit für geat 0 = 78,5 0 = 58,5 und bildet die Differenz zur gegebenen Geatfallzeit on 4,0.

15 831.book Seite 16 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Au = g -- t folgt t = t = -- 58, 5 9, g t = 3,45 Dait ergibt ic al Fallzeit für die letzten 0 : 4,0 3,45 = 0,55. e) Zur Fallzeit on 4,0 kot die Zeit inzu, die Scall brauct, u o Auftreffpunkt bi zu Felplateau zu gelangen. Für den Scall gelten die Geetze der gleicförigen Bewegung. Au = - folgt t = --. t t = 78, t = 0,3 Folglic ört an den Aufclag de Steine nac einer Zeit on 4,0 + 0,3 = 4, a) Anzuwenden ind bei der Löung die Geetze de freien Fall. Geuct: t Gegeben: = 190 Löung: Au = g -- t ergibt ic t = t = , g t = 4,7 Die axiale Dauer eine Experient unter den Bedingungen der Scwereloigkeit beträgt 4,7. b) Geuct: Gegeben: t = 4,7 = 9,4 Löung: = g -- t = 9,81 (9,4 ) = 433 Wollte an die Zeit erdoppeln, o üte der Weg etwa ieral o groß ein. Beacte: Die Abweicungen koen durc Rundung der Werte zutande. c) Geuct: Gegeben: = 110 Löung: Au = g -- t folgt it t = -- : g = und dait = g g = 9, = 46,5 = 167 k Die axiale Gecwindigkeit der Fallkapel beträgt 46,5. Beacte: Man kann auc die Gleicung = g t anwenden. Der Wert für t it dann con ein Näerungwert.

16 831.book Seite 17 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 17 d) Geuct: a Gegeben: = 4 0 = 46,5 Löung: E liegt eine gleicäßig erzögerte Bewegung bi zu Stilltand or. Au = 0 a t folgt it = 0: t = 0 a Eingeetzt in = 0 t a -- t erält an: = = -- 0 a a a und dait: a = ,5 a = -- 4 a = 70 Die Verzögerung beträgt 70. Da it etwa da 7face der Fallbecleunigung. Zuaengeetzte Bewegungen (LB S ) 3. Die gegebenen Größen ind in der nict aßtäblicen Skizze dargetellt. Betrag und Rictung der reultierenden Gecwindigkeit können grafic oder recneric erittelt werden = 5 = co a = 1,6 = 5 + 1, ,6 co 45 = , , = 38, = 6, = k Der Surfer bewegt ic it 6, in Rictung Ot-Südot. Genauer: Der Winkel zwicen 1 und beträgt 10, E get u einen enkrecten Wurf nac oben, wobei die Wurföe gegeben it. Dabei it die Abwurföe zu beacten. Geuct: 0 Gegeben: 1 = 1,50 = 7 = 7 1,50 = 5,5 Löung: Au = 0 g t ergibt ic it = 0: 0 = g t = 0 oder t = 0 (1) g Für den Weg gilt: = 0 t g -- t (1) eingeetzt ergibt: = 0 0 = 0 g g g

17 831.book Seite 18 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Durc Utellung nac 0 erält an: 0 = 0 = g 9, 81 5,5 0 = 10,4 Da Kind wirft den Ball it etwa 10 enkrect nac oben. 34. Anzuwenden ind die Geetze de enkrecten Wurfe nac oben. Geuct: 0, t geat Gegeben: 1 = 0 = 8 Löung: Für die Gecwindigkeit gilt: 1 = 0 g t (1) Entprecend erält an für den Weg 1 = 0 t g -- t () Die Utellung on (1) nac t ergibt: t = 0 1 (3) g Durc Einetzen on (3) in () erält an: 1 = 0 ( 0 1 ) g ( ) -- g g Diee Gleicung kann an crittweie nac 0 uforen: 1 g = g = = g = 0 = g , = 1,4 Die Steigzeit ergibt ic au = 0 g t it = 0 zu t = 0. Die Dauer bi zu Erreicen de g Abwurfpunkte it gleic t. 1,4 t = -- =, 9,81 Die Dauer bi zu Erreicen de Abwurfpunkte beträgt oit etwa 4, a) Für den freien Fall bzw. den Wurf nac unten gelten folgende Geetze: = g t = 0 + g t = g -- t = 0 t + g -- t

18 831.book Seite 19 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 19 Für den Zuaenang zwicen Gecwindigkeit und Zeit ergibt ic dait: freier Fall t in in 0 9,81 19,6 9,4 39, 49,1 Wurf nac unten t in in 10 19,8 9,6 39,4 49, 59,1 Dait erält an folgende -t-diagra: in t in Für den Zuaenang zwicen Weg und Zeit erält an: freier Fall t in in 0 4,9 19,6 44,1 78,4 1,6 Wurf nac unten t in in 10 14,9 39,6 74,1 18,4 17,6 Dait erält an folgende -t-diagra: in t in

19 831.book Seite 0 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik b) Bei waagerecten Wurf gilt für die Gecwindigkeit: 0 = 0 + ( g t) Dezufolge erält an: t in in 3, 14,0,0 31,1 40,4 50,1 Für den Weg in x- und y-rictung gilt: x = 0 t y = g -- t Darau ergibt ic die Bankure, die an zeicnen und näerungweie aueen könnte. Grundätzlic it bei bekannter Funktion (Wurfparabel) auc die Berecnung der Banlänge öglic. E gilt: b = a 1 + [ f' ( x) ] dx Diee Berecnung it allerding rect aufwändig. Die Grapen ind in die Diagrae unter Teilaufgabe a getricelt it eingezeicnet. 36. E wird daon augegangen, da die ecanice Energie de Balle gleic bleibt. Dann gilt: g 1 = g g 1 = g X 0 = g ( 1 ) X 0 = 9,81 ( 4,5 1 ) 1 0 = 8,3 Der Ball wurde it 8,3 abgeworfen. 37. E liegt ein waagerecter Wurf or. a) Geuct: y Gegeben: x = = y Löung: Die Zeit bi zu Ziel ergibt ic au x = 0 t zu t = x In dieer Zeit erfolgt in y-rictung ein freier Fall: y = g -- t Mit (1) ergibt ic: x y = g ,81 y = ( 100 ) y = 16, c

20 831.book Seite 1 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 1 b) Der Abcuwinkel u etwa größer al null ein. Get an daon au, da die Wurfweite genau 100 beträgt, dann gilt für diee: in α g w = und dait in a = - g ,81 in a = 550 in a = 0,00 34 a = 0,185 8 a = 0,09 Der Abcuwinkel üte 0,09 betragen, dait da Geco genau in Höe de Abcupunkte auftrifft. 38. a) Allgeein gilt für die Wurfparabel bei crägen Wurf: y = tan a x g x (1) 0 co a w 0

21 831.book Seite Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik Die Sprungweite x lät ic allgeein eritteln, wenn an Gleicung (1) nac x utellt: x tan a x + y = 0 oder x g -- 0 co a tan a -- x + 0 co a y -- = 0 0 co a g g Al Löung dieer quadraticen Gleicung erält an: 4 4 x 1, = 0 co a tan a ± 0 co a tan a -- 0 co a y g g -- g Mit 0 = 8,0, g = 9,81, a = 40 und y = 1 erält an: x 1, = 3,1 ± ( 3,1 ) + 7,66 x 1, = 3,1 ± 4,4 x 1 = 7,45 Für einen Winkel on 45 erält an: x 1, = 3,6 ± ( 3,6 ) + 6,5 x 1, = 3,6 ± 4,14 x 1 = 7,40 Hinwei: Eine negatie Sprungweite act pyikalic geeen keinen Sinn. b) Genutzt wird die bei Teilaufgabe a abgeleitete Gleicung: 4 4 x 1, = 0 co a tan a ± 0 co a tan a -- 0 co a y g g -- g Für die erciedenen Winkel a erält an it 0 = 8,0, g = 9,81 und y = 1 folgende Werte: a in Grad x in 6,09 7,03 7,45 7,17 6,17 Dait erält an folgende grafice Dartellung: x in a in Grad

22 831.book Seite 3 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 3 Zuaenetzung und Zerlegung on Kräften (LB S. 166) 39. Die reultierende Kraft kann an zeicneric oder recneric eritteln. E gilt: F = F 1 + F + F 1 F co a Dait erält an folgende Reultierende: a) F = 86 N b) F = 185 N c) F = 114 N d) F = 60 N 40. a) Je nac Aufängung wirken die Kräfte al Zug- oder Druckkräfte. (I) (II) F 1 F F F 1 F F Au den Skizzen it die Rictung der Kräfte zu entneen. b) Die Beträge der Teilkräfte können grafic (aßtäblice Skizze) oder recneric erittelt werden. Fall (I): in 30 = F tan 30 = F F F 1 F = - F = F F 1 = F = 1,73 F in 30 tan 30 Fall (II): Analog zu Fall (I) erält an: F = - F = F F 1 = F = 1,73 F in 30 tan 30 c) Für eine olce Variante üte in a = tan a ein. Da it näerungweie für kleine Winkel a der Fall. 41. Die Reultierende au den beiden Teilkräften it gleic der Geatkraft, die auf die Aufängung wirkt. Die Kräfte auf die Seite können grafic oder recneric erittelt werden. Unter Nutzung der in der Skizze angegebenen waagerecten Hilflinie erält an: co 30 = F - und dait F = -- F = -- g co 30 co 30 F 60 F 1 F 600 kg 9,81 F = - co 30 F F = N Au Syetriegründen at F 1 den gleicen Betrag.

23 831.book Seite 4 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 4. a) F H F N F G a b) F N = F G co a it F G = g F N = 90 kg 9,81 co 1 F N = 864 N F H = F G in a F H = 90 kg 9,81 in 1 F H = 184 N c) Bei kontanter becleunigender Kraft gilt it de newtoncen Grundgeetz: a = Mit F = F H erält an: a = -- g in a = g in a a = 9,81 in 1 a =,0 F d) 8 % Gefälle bedeutet: Auf 100 beträgt der Höenuntercied 8. Dait erält an für den Neigungwinkel: tan a = a = 4,6 a 100 Dait betragen die Kräfte: F N = g co a F N = 90 kg 9,81 co 4,6 F N = 880 N F H = g in a F H = 90 kg 9,81 in 4,6 F H = 71 N

24 831.book Seite 5 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 5 Newtonce Geetze (LB S. 167) 43. Aufgrund der Trägeit wirken bei cnellen Aneben (große Becleunigung) große Kräfte (Trägeitkräfte), bei langaen Aneben aber nur (näerungweie) die Gewictkraft bzw. die Gegenkraft dazu. 44. Sicereitgurte: Bei cnellen Abbreen (Auffarunfall) wirken ereblice Trägeitkräfte in Fartrictung. Durc den Sicereitgurt wird ein Aufclagen de Körper auf Lenkrad/Araturenbrett erieden. Airbag: Airbag, die ic bei großen Becleunigungen autoatic aufblaen, dienen al Abfederung für den Körper und erindern ein Aufclagen auf arte Kanten. Kopftütze: Eine Kopftütze erindert da Zurückclagen de Kopfe or alle in zwei Gefarenituationen: Auffarunfall on inten, Aufprall auf Hinderni, bei de nac einer Vorwärtbewegung de Körper in der Regel eine Bewegung de Oberkörper und Kopfe nac inten erfolgt. Knautczone: Durc eine Knautczone orn und inten wird bei Unfällen der Bre- und Becleunigungweg ergrößert und dait die Becleunigung erringert. Eine Verkleinerung der Becleunigung, die ein Vielface der Erdbecleunigung betragen kann, bedeutet eine Verkleinerung der Trägeitkräfte, durc die die Unfallfolgen weentlic beeinflut werden. 45. a) a in 1 0, F in N b) Die grafice Dartellung zeigt den Zuaenang zwicen der wirkenden Kraft F und der Becleunigung a bei eine Körper it betiter Mae. Zwicen Kraft und Becleunigung betet direkte Proportionalität. Da bedeutet: Je größer die Kraft auf einen beweglicen Körper it, deto größer it auc eine Becleunigung. c) Man kann entweder on der graficen Dartellung augeen (ein innolle Wertepaar für die Gerade) oder au den gegebenen Wertepaaren den Mittelwert bilden. Au den Wertepaaren ergibt ic it = -- F : a 1 = 3,33 kg, = 3,39 kg, 3 = 3,30 kg, 4 = 3,33 kg und dait al Mittelwert: = 3,34 kg. 46. Get an on eine gleicäßigen Abbreen au, o können neben de newtoncen Grundgeetz die Geetze der gleicäßig becleunigten Bewegung angewendet werden. Geuct: F Gegeben: = kg = 65 k = 18 = 55 Löung: F = a (1) Die Becleunigung lät ic folgenderaßen audrücken: Au = a t folgt t = --. a Eingeetzt in = a -- t erält an = und dait a = --- () a

25 831.book Seite 6 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Einetzen on () in (1) ergibt: F = F = kg - 55 F = 3 40 kg Die erforderlice (durccnittlice) Brekraft beträgt 3 40 N. 47. a) E wird on einer gleicäßig becleunigten Bewegung augegangen. Folglic können zur Löung neben de newtoncen Grundgeetz die betreffenden Bewegunggeetze genutzt werden. a = F a = N kg a = 0,54 Die axiale Becleunigung eine ICE beträgt etwa 0,5. b) Au = a t folgt t = -- a 7,8 t = -- 0,54 t = 51,5 Für den Weg au de Stilltand gilt: = a -- t 0,54 = -- (51,5 ) = 716 Bei kontanter Becleunigung erreict der Zug nac etwa 50 eine Gecwindigkeit on 100 k/. Dabei wird ein Weg on etwa 700 zurückgelegt. Für Pkw kann an eine durccnittlice Zeit on etwa 10 bi zu Erreicen on 100 k/ anneen. Die Becleunigung it bei eine Pkw alo weentlic größer al bei eine ICE. c) Geuct:, F Gegeben: a = 0,6 / 0 = 00 k = 55,6 Löung: Au = 0 a t folgt it = 0: t = 0 a Da Weg-Zeit-Geetz lautet: (1) = 0 t a -- t () Setzt an (1) in () ein, o erält an: 55,6 = --- 0,6 = 576 = 0 0 = 0 a a a

26 831.book Seite 7 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 7 Für die Brekraft gilt: F = a F = kg 0,6 F = N Der Zug kot nac etwa 600 zu Steen. Die Brekraft beträgt ca. 300 kn. d) E liegt eine gleicäßig erzögerte Bewegung bi zu Stilltand or, für die folgende Weg-Zeit-Geetz gilt: in = 0 t a -- t Mit 0 = 00 k und a = 0,6 500 erält an: t in t in in Verciedene Arten on Kräften (LB S ) 48. Die Mae it an den erciedenen Orten kontant, die Gewictkraft kann it der Gleicung F G = g berecnet werden. Für den Ortfaktor gilt: g Mond = 1,6 g Mar = 3, a) Geuct: F G Gegeben: = 14,7 t = kg Löung: Die Gewictkraft kann it der Gleicung F G = g berecnet werden. F G, Erde = 9, kg = 144 kn F G, Mond = 1, kg = 3,8 kn b) Die Gewictkraft der Rautation auf der Erde it etwa 1-al o groß wie die eine Pkw. Auf de Mond it ie etwa doppelt o groß wie die Gewictkraft eine Pkw auf der Erde. 50. Der Haerwerfer u die Radialkraft aufbringen. Geuct: F Gegeben: = 7,0 kg = 100 k = 7,8 r =,5 Löung: F r = - r 7, 8 F r = 7,0 kg ---,5 F r =,16 kn

27 831.book Seite 8 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 51. a) Die Radialkraft it gleic der Haftreibungkraft. Darau ergibt ic die axiale Gecwindigkeit. Geuct: Gegeben: = 1,5 t r = 30 = 0,55 Löung: Für die Radialkraft gilt: F r = -. r Die Reibungkraft lät ic berecnen it F R = F N it F N = g auf ebener Strecke. Dait erält an: - = g oder = g r r = 0,55 9,81 30 = 1,7 = 45,8 k Der Pkw kann die Kure it einer axialen Gecwindigkeit on 45 k durcfaren. b) Bei deutlic cnelleren Durcfaren kann nict er die erforderlice Radialkraft aufgebract werden. Der Krüungradiu bei Durcfaren der Kure wird ergrößert, d.. der Pkw gerät auf die Gegenfarban. Der Pkw wird au der Kure getragen (eine Hauptunfallurace!). 5. a) Der Betrag einer Trägeitkraft ängt on Mae und Becleunigung ab: F T = a. Bei Verzögerungen on 35 g bi 50 g bedeutet da: Die auf einen Körper wirkenden Trägeitkräfte ind 35- bi 50-al o groß wie die Gewictkraft de Körper. b) Geuct: F T Gegeben: a = 40 g = 40 9,81 1 = 65 kg = 0,6 kg Löung: F T = a F T, 1 = 65 kg 40 9,81 F T, 1 = 5,5 kn F T, = 0,6 kg 40 9,81 F T, = 35 N Die Trägeitkraft auf die Peron würde 5,5 kn betragen, die auf den Scir 35 N. c) Die Kraft auf die Peron it o groß, da ein Abtützen nict öglic wäre. Solce Kräfte könnte nur ein Sicereitgurt aufneen. Die Trägeitkraft auf den Regencir würde bewirken, da er wie ein Geco nac orn becleunigt wird. Gegentände ollten dealb nict loe auf die Ablage gelegt werden. d) Erfolgt da Abbreen er cnell, z. B. bei Aufprall auf einen Bau, dann können kurzzeitig er große Becleunigungen und dait entprecende Trägeitkräfte wirka werden, die auc bei einer Gecwindigkeitänderung on 30 k zu ereblicen Scäden (Verletzungen) füren können.

28 831.book Seite 9 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik Die becleunigende Kraft it die Hangabtriebkraft al eine Koponente der Gewictkraft. Ir entgegen wirkt die Gleitreibungkraft. Geuct: a Gegeben: = 10 kg F H = 0,50 a = 30 Löung: Für die Becleunigung gilt: a = F it F = F H F R F H = g in a F R = F N = g co a a = - g in a g co a a = g in a g co a a = 9,81 in 30 0,5 9,81 co 30 a = 0,66 Der Körper rutct it einer Becleunigung on 0,66 die geneigte Ebene inab. 54. a) E kann der Energieeraltungatz der Mecanik genutzt werden E pot = E kin g = F G = = g 9,81 15 = 17, b) In Punkt B wirkt neben der Gewictkraft die Zentrifugalkraft in gleicer Rictung. Dezufolge gilt: F = F G + F Z F = g + - = g + - r r F = 65 kg 9,81 17, ,8 F = 5,7 kn c) Der Grenzwert it erreict, wenn die Zentrifugalkraft genau o groß wie die Gewictkraft it, alo gilt: g - und dait r - (1) r g Die Gecwindigkeit ergibt ic bei reibungfreier Bewegung au energeticen Betractungen: g ( r ) = 1 -- = g ( r ) it = 15 Eingeetzt in (1) ergibt: g( r r ) -- = ( r ) g oder r + r r -- = r 10

29 831.book Seite 30 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Der Radiu der Ban üte indeten 10 ein, dait der Wagen nict abebt. Beacte: Die Aufgabenkizze it (bewut) nict aßtabgerect. d) Geuct: F R Gegeben: = 10 = 5 k = 1,4 Löung: E wird daon augegangen, da die bewegungeende Reibungkraft entlang de geaten Wege kontant it. Dann kann an folgenden energeticen Anatz acen: g 1 = F R g Die Uforung ergibt: g F R = g - g( 1 ) 1 -- F R = kg 9,81 F R = ( 15 7 ) kg 1,4 10 F R = N 37 N 10 F R = 45 N Die Reibungkraft darf öcten 45 N betragen. e) E gibt er unterciedlice Möglickeiten, z. B. Vergrößerung der Höe 1, Verkleinerung der Höe, Verkürzung der Ban, Verkleinerung der Reibung. Mecanice Energie, ecanice Arbeit und Leitung (LB S ) 55. Man beacte: Die potenzielle Energie it daon abängig, welce Bezugnieau an annit. E ind dealb unterciedlice Löungen öglic. a) Bezugnieau Erdboden: E pot = g = 1 kg 9,81 1 E pot 10 J Beacte: Die Höe on 1 üte der Abtand zwicen Bezugebene und Scwerpunkt der Flace ein. b) E pot = 1,3 kg 9,81 7 E pot = 89 J c) E pot = kg 9, E pot = J = 9,4 GJ

30 831.book Seite 31 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik Auc die kinetice Energie it abängig o Bezugyte. E u gegebenenfall it angegeben werden. a) E kin = 1 -- E kin = 1 75 kg E kin = 3,75 kj b) E kin = 1 0,0075 kg E kin =,4 kj c) E kin = kg ,6 E kin = 848 kj 57. a) Geuct: E pot, E kin Gegeben: = kg = 50 = 180 k = 50 Löung: E pot = g E pot = kg 9,81 50 E pot = 13,7 MJ E kin = 1 -- E kin = kg E kin = 7,0 MJ Unter den gegebenen Bedingungen it die potenzielle Energie de Hubcrauber etwa doppelt o groß wie eine kinetice Energie. b) Man kann entweder eine innolle Höe oder eine innolle Gecwindigkeit orgeben und dann jeweil die andere Größe berecnen, die allerding auc einen innollen Wert aben ollte. E gilt: E pot = E kin und dait g = 1 -- = oder = g g Beipiele: = 70 = 400 = 50 = 89 Wie an leict fettellt, gibt e für größere Höen keine innolle Löung, weil der Hubcrauber dann Gecwindigkeiten fliegen üte, die er nict erreict. Die Maxialgecwindigkeit liegt bei Hubcraubern in der Größenordnung on etwa 300 k, die axiale Höe bei etwa 4500.

31 831.book Seite 3 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 58. a) Bei Rabär wird potenzielle in kinetice Energie ugewandelt. Bei Auftreffen auf einen Pfal erfolgt die Uwandlung on kineticer Energie de Rabär in kinetice Energie de Pfal. E wird Verforungarbeit errictet. b) Geuct: Gegeben: = 3,5 = 850 kg Löung: Nac de Energieeraltungatz der Mecanik gilt: g = 1 -- und dait = = g 9,81 3,5 = 8,3 = 30 k Der Rabär trifft it einer Gecwindigkeit on ca. 30 k auf den Pfal. Beacte: Die Gecwindigkeit it unabängig on der Mae. Praktic wictig it der große Ipul, die Wuct. 59. Anzuwenden it die Gleicung W = F co a. Dait erält an folgende Ergebnie: a) W = 10 N b) W = 85 N c) W = 60 N d) W = 0 e) W = 60 N Häufig gibt an in eine olcen Fall auc W = 60 N an. Da Vorzeicen at nur Bedeutung, wenn an Betractungen an eine Syte durcfürt und weitere Wecelwirkungen (z. B. der Autauc on Wäre) zu beacten ind. 60. a) Geuct: W, E kin Gegeben: = 950 kg 1 = 50 k = 13,9 t = 4 = 70 k = 19,4 Löung: Die Becleunigungarbeit it gleic der Änderung der kineticen Energie: W = E kin W = = ( 1 ) W = kg -- 19,4 13,9 W = N Die kinetice Energie ergibt ic au Mae und Gecwindigkeit. E kin = 1 -- E kin = kg -- 19,4 E kin = 179 kj Zu Becleunigen de Auto it eine Arbeit on N erforderlic. Seine kinetice Energie beträgt dann 179 kj.

32 831.book Seite 33 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 33 b) Geuct: Gegeben: W = N = 970 kg Löung: Die Becleunigungarbeit W it gleic der Änderung der kineticen Energie: W = E kin W = 1 -- ( it 1 = 0 1 ) W = 1 -- Die Utellung nac ergibt: = -- W = N 950 kg = 13,5 = 48,6 k Mit der berecneten Becleunigungarbeit würde da Auto au de Stilltand eine Gecwindigkeit on knapp 50 k erreicen. 61. a) Wärend bei Feder 1 ein linearer Zuaenang zwicen wirkender Kraft und Audenung betet, it bei Feder ein nictlinearer Zuaenang erkennbar: MIt zuneender Audenung wäct die Kraft überproportional. Der Antieg F/ it gleic der Federkontanten D an der betreffenden Stelle. Die Fläce unter de Grapen it gleic der Arbeit, die zu Denen der Feder erforderlic it. Sie it zugleic gleic der potenziellen Energie, die dann in der Feder gepeicert it. b) Für Feder 1 können die Arbeiten berecnet, für Feder au de Diagra abgecätzt werden. Denung on 0 auf 4 c: Feder 1: W = 1 -- F E = N 4 c 6 N c Feder : W 4,5 N c Denung on 4 auf 8: Feder 1: W = 1 -- F E 1 -- F E1 1 W = 4 N c 6 N c W 18 N c Feder : W 19 N c c) E gilt W = E. Darüber inau it die Fläce unter de Grapen gleic der Verforungarbeit. Dezufolge gilt: Die potenzielle Energie on Feder 1 it i Scnittpunkt der Grapen größer al die on Feder.

33 831.book Seite 34 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik 6. a) Mit F = k und den gegebenen Werten erält an: k = 10 N = 0,4 N Dait erält an folgende Wertetabelle: ( 5 c) - c in c F in N F in N in c b) Die Arbeit kann berecnet oder au de Diagra erittelt werden. Au de Diagra it ablebar: W N c 30 c W = F( )d 0 30 c W = k d = 1 --k 3 30 c W = N c c) Die i Bogen gepeicerte Energie, die gleic der Spannarbeit it, wird auf den Pfeil übertragen. Darau kann eine Anfanggecwindigkeit erittelt werden. Für die Bewegung de Pfeil gelten die Geetze de crägen Wurf. Geuct: Gegeben: W = N c = 36 N α = 30 = 100 g Löung: W = E W = = W - 0 = - 36 N 01, kg 0 = 6,8 Für die Wurfweite bei crägen Wurf gilt: in α = -- g 0 6,8 in 60 = --- 9,81 = 63,4 Der Pfeil fliegt etwa 63 weit.

34 831.book Seite 35 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik a) Geuct: W R Gegeben: = kg = 500 = 0,05 10 %ige Neigung, d.. tan α = - 10, α = 5,7 100 Löung: Die Reibungarbeit ergibt ic au der bewegungeenden Reibungkraft und de Weg: W R = F R Mit F R = F N = g co a erält an: W R = g co a W R = 0, kg 9,81 co 5,7 500 W R N Die Reibungarbeit beträgt etwa N. a 100 F G 10 b) Die Änderung der potenziellen Energie ergibt ic au de Höenuntercied. Bei einer Strecke on 500 beträgt er: in a = x und dait x = 500 in a = 49,7 500 Dait ergibt ic für die Änderung der potenziellen Energie: DE pot = g D DE pot = kg 9,81 49,7 DE pot = 536,3 kj Bei Hinauffaren ergrößert ic die potenzielle Energie de Pkw u etwa 536 kj. c) Bei einer gleicförigen Fart betet Kräftegleicgewict, d.. die Antriebkraft u genauo groß ein wie die Sue au der Reibungkraft und der Hangabtriebkraft. Für dieen Fall kann an die Leitung folgenderaßen berecnen: W P = - F = - t t Die Kraft F ergibt ic betraggeäß au Hangabtriebkraft und Reibungkraft. F = g in a + g co a Dait erält an für die Leitung: P = - g ( in a + co a) t Setzt an die gegebenen bzw. berecneten Größen ein, o ergibt ic: kg 9,81 P = 500 ( in 5, , co 5, 7 ) t 804 P =, 3kJ = 6,8 kw 30 Bei einer Farzeit on 30 erält an eine Leitung on P = 6,8 kw. d) Kinetice Energie de Pkw wird in potenzielle Energie und Reibungkraft ugewandelt. Dezufolge gilt: 1 -- = g + g co a Mit = in a und Kürzen durc erält an: 1 -- = g in a + g co a 1 -- = (g in a + g co a )

35 831.book Seite 36 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik und dait = g( in a + co a) 13, 9 = - 9,81 ( in 5,7 + 0,05 co 5,7 ) 13, 9 = --- 9, = 66, Der Pkw rollt noc etwa 66 aufwärt, wenn er a Beginn der Steigung eine Gecwindigkeit on 50 k ätte. Mecanik tarrer Körper (LB S ) 64. Geuct: n, w Gegeben: = 7 k = 0 d = 65 c Löung: w = -- r 0 w = -- 0,65 w = 30,8 1 Au w = p n folgt: n = --- w π n = 30,8 1 π n = 4, Die Berecnung der Winkelgecwindigkeit kann itilfe der Gleicungen w = j --, w = π n bzw. w = π -- erfolgen. t T a) Sekundenzeiger: w = -- π = 0, Minutenzeiger: w = -- π = 0, Stundenzeiger: w = - π = 0, b) Die Erde dret ic in 4 Stunden einal u ire Ace. Dait ergibt ic: w = π = 0,6 1 = 0,004 4 in 1 = 0, c) w = π n w = π 600 in 1 = in 1 = 63 1 d) w = π -- T w = --- π = 0,79 1 8

36 831.book Seite 37 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik a) Geuct: Gegeben: T = 4 = r = k = 6, Löung: = w r und it w = π T = π -- r T = π 6, = 463 Ein Punkt der Erdoberfläce a Äquator bewegt ic aufgrund der Erdrotation it 463. Diee Bewegung pürt an nict, weil ic Peronen gegenüber der Erdoberfläce und der ie ugebenden Luft in Rue befinden. b) Für die Gecwindigkeit gilt: = w r (1) Die Winkelgecwindigkeit it für alle Punkt der Erdoberfläce gleic groß. Der tatäclic wirkae Radiu r ängt it de Erdradiu r E und der geograficen Breite folgenderaßen zuaen: co j = r und dait r = r E co j () r E Setzt an () in (1) ein, o erält an: = w r E co j c) Für Berlin (Zentru) gilt: j 5,5 Dait erält an: = π 6, co 5, = 8 Äquator r E r j Die Gecwindigkeit eine Punkte der Erdoberfläce aufgrund der Erdrotation beträgt in Berlin 8. Da ind 61% der Gecwindigkeit, die a Äquator regitriert wird. 67. a) Geuct: J Gegeben: r = 7,85 -- g c 3 d = 0 c l = 1,0 Löung: Für da Trägeitoent eine Zylinder gilt: J = 1 -- r Mit = r V und V = π r l erält an: J = 1 -- r π r 4 l J = 7,85 g 3, 14 ( 10 c) c c 3 J = 14, g c = 1,48 kg Da Trägeitoent der Welle beträgt 1,48 kg.

37 831.book Seite 38 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik b) Geuct: a Gegeben: t = 30 r = 0,1 = 10 Löung: a = --- w w = t a = t r 10 a = 30 01, a = 3,3 Die Winkelbecleunigung der Welle bei Anlaufen beträgt 3,3. c) Geuct: w Gegeben: r = 0,1 = 10 Löung: w = -- r 10 w = - 01, w = r Die Welle erreict eine Winkelgecwindigkeit on d) Geuct: Anzal der Udreungen (Winkel j) Gegeben: w 0 = M = 15 N Löung: Berecnet werden kann der Drewinkel bi zu Stilltand, au de an die Anzal der Udreungen eritteln kann. Unter den gegebenen Bedingungen gilt für die gleicäßig erzögerte Rotation: w = w 0 a t und it w = 0: w t = -- 0 (1) a Für den Drewinkel gilt: j = w 0 t a -- t () w Einetzen on (1) in () ergibt: j = 0 w -- 0 w = 0 a a a Die Winkelbecleunigung a erält an au M = J a zu a = M J Dait it: w j = 0 J M j = ( ) 1,48 kg 15 N j = 493 Da eine Udreung eine Winkel on π entprict, fürt die Welle bi zu Stilltand noc etwa 78 Udreungen au.

38 831.book Seite 39 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik a) Geuct: n Gegeben: r = 8,5 g c 3 d 1 = 15 c l 1 = 1 c = 50 c d = 1 c r = 0,5 c l = 10 c Der Faden wickelt ic ab. Da Rad bewegt ic nac unten und rotiert dabei ier cneller. Die Bewegung it gleicäßig becleunigt. Au = a t folgt it = w r: w r = a t oder w = a - t r Mit w = π n und Utellung nac n erält an: n = - a t (1) π r Für die Becleunigung a kann an creiben: a = a r () Die Winkelbecleunigung a ergibt ic au de Grundgeetz für die Rotation M = J a zu a = M J Eingeetzt in () ergibt: a = M --- r (3) J Dabei it M da wirkende Dreoent (M = F G 0,5 c) und J da Trägeitoent de axwellcen Rade, da ic additi au de Trägeitoent J der Sceibe und de Trägeitoent J w der Welle zuaenetzt: J = J + J w (4) In (3) eingeetzt ergibt: a = - M r (5) ( J + J w ) Einetzen on (5) in (1) ergibt: n = --- M t r = - M t π r( J + J w ) π J Die Zeit t lät ic folgenderaßen eritteln: Au = a -- t folgt = - (6), wobei a die a Becleunigung it (iee Gleicung 5). Aufgrund der Koplizierteit der Aufgabe it e innoll, einzelne Größen geondert zu berecnen: Die Welle kann al Vollzylinder aufgefat werden. Dann gilt für da Trägeitoent: J w = 1 -- r = 1 -- r V r = 1 -- r π r 4 l J w = ,5 g c 3 π (0,5 c) 4 10 c J w = 8,34 g c Die Sceibe kann al Holzylinder aufgefat werden. Dafür gilt: J = 1 -- ( r = r V = r a + r i ) 1 -- ( r a + r i ) 1 -- ( π r a l1 π r i l1 ) ( r a + r i ) J = ,5 g c 3 π 1 c ( 75c, ) ( 05c, ) ][( 75c, ) + ( 05c, ) ] J = ,5 g c 3 π 1 c (56 c 56,5 c ) J = 4 45 g c Dait erält an für da geat Trägeitoent: J = J + J w J = 4 53 g c Hinwei: Da Trägeitoent der Welle könnte an ernacläigen.

39 831.book Seite 40 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik Dait ergibt ic al Becleunigung (5): a = M --- r it M = F G r = g r = r V g r J a = r V g r J a = 8,5 g c c ( 0,5 c) g c a = 9,1 c Mit dieer Becleunigung kann an die Zeit für die 50 c Fallöe nac (6) berecnen: t = t = - a - 50 c 9, 1c t = 3,3 Dait erält an al Drezal (1): n = - a t π r n = 9,1 c -- 3,3 π 0,5 c n = 9,6 1 b) Die Zeit (. o.) zu Durcfallen on 50 c beträgt 3,3. c) Die Rotationenergie ergibt ic au de Geaträgeitoent und der Winkelgecwindigkeit zu: E rot = 1 -- J w it w = π n E rot = g c 4π (9,6 1 ) E rot g c 7,7 kg --- Die Rotationenergie beträgt 7,7 J. Die Energie der Tranlation lät ic berecnen it E kin = Die Geatae ergibt ic au Geatoluen und Dicte ( = r V), die Gecwindigkeit au a und t: = a t. E kin = ,50 -- g 184 c 3 9,1 c -- c 3 3,3 E kin = g c E kin = 0,07 kg --- = 0,07 J Die kinetice Energie beträgt 0,07 J und dait die geate Bewegungenergie etwa 7,8 J. 69. a) Unter den gegebenen Bedingungen it da Trägeitoent de Holzylinder größer al da de Vollzylinder. Mit a = J it die Winkelbecleunigung bei Holzylinder kleiner. Er rollt M langaer. Der Vollzylinder kot alo eer unten an. b) Au der Verknüpfung on = a -- t und = a t ergibt ic: a = - (1) Die Gecwindigkeit ergibt ic au energeticer Betractung. Für den Vollzylinder gilt: g = 1 -- r J w it J = 1 -- r und w = -- r

40 831.book Seite 41 Dientag, 3. Februar 004 9:34 09 Mecanik 41 Dait erält an: g = 1 -- r = 4 -- g 3 Eingeetzt in (1) ergibt: a = 4 VZ --- g = --- g 6 3 Analog ergibt ic für den Holzylinder it er dünner Wandung: = g und a HZ = g Für einen reibungfrei inabgleitenden Körper gilt: g = 1 -- und dait: = g und a = g Ein Vergleic der Becleunigungen für die drei Körper ergibt: Die Becleunigung der reibungfrei inabgleitenden Körper it a größten, die de Holzylinder a kleinten. c) Mit den Werten (. Skizze) ergibt ic für die Höe: in 5 = --- und dait 60 c = 60 c in 5 = 5,4 c = 0,54 Vollzylinder: = 4 --g 3 = 1,8 Holzylinder: = g = 1,6 gleitender Körper: = g =, 70. a) Geuct: Gegeben: r = 10 c =,0 kg = 70 c = 0, c Löung: Zweckäßig it ein energeticer Anatz: g = J w Mit J = -- r und w = -- erält an: 5 r g = g = = 10 - g 7 = 10-9, , = 3,1 Die Kugel erreict eine axiale Gecwindigkeit on 3,1.

41 831.book Seite 4 Dientag, 3. Februar 004 9: Mecanik b) Die Scleifenban wird icer durclaufen, wenn i oberen Punkt der Ban die Zentrifugalkraft indeten gleic der Gewictkraft it. Wir betracten den Grenzfall: g --- R r Dait ergibt ic für die Gecwindigkeit: gr ( r) 9,81 ( 0, 0,1 ) 0,99 Die cleifenförige Ban wird icer durclaufen, weil die erforderlice Mindetgecwindigkeit kleiner al die tatäclic orandene it. c) Geuct: Gegeben: = 0,99 Löung: Au g = (iee Teilaufgabe a) erält an: = g d) Oberer Punkt: F 1 = 0 7 0,99 = ,81 = 7 c Unterer Punkt: Die Kraft etzt ic au Gewictkraft und Zentrifugalkraft zuaen. F = g R r 0,99 F =,0 kg 9,81 +,0 kg 01, F = 39 N I oberen Punkt der Ban wirkt keine Kraft, unten eine Kraft on 39 N. Ipul und Ipuleraltung (LB S ) 71. Beipiel Rakete: I Augangzutand it der Geatipul null. Mit Zündung der Triebwerke werden Gae it oer Gecwindigkeit au den Düen augetoßen. Sie aben einen betiten Ipul G G. Da bewirkt einen gleic großen Ipul in Gegenrictung, den die Rakete elbt erält: R R. Die Rakete bewegt ic dait entgegen der Rictung der Verbrennunggae. 7. Geuct: p Gegeben: = 65 kg, = 5 k = 1 g, = 750 Löung: Für den Ipul gilt: p = Für einen Vergleic it e innoll, die gleicen Eineiten zu erwenden. Fußgänger: p = 65 kg 5 = 90,3 kg 3,6 Geco: p = 0,01 kg 750 = 9 kg Der Ipul eine Fußgänger it etwa 10-al o groß wie der eine Gecoe. Da Beipiel zeigt: Der Betrag de Ipule eine Körper beagt nict über die Wirkung, die ein Körper erzielen kann.